Autem vel eum iriure dolor in hendrerit in vulputate velit esse molestie consequat, vel illum dolore eu feugiat nulla facilisis at vero eros et dolore feugait.
Yazar: admin
Kategori astronomiye, filozof, geometriye, hayatı, katkısı, matematiğe, matematikçi, miletli, Miletoslu, tales, Thales, ünlü
Miletli Thales Eski Yunanistan’da yaşıyordu. Tarihteki ilk bilim insanıydı.
Thales, herşeyin gerçekleştiğine inanmak yerine, yalnızca Yunan tanrılarından birinin emrettiği için, dünyanın nasıl çalıştığını açıklamak için doğadaki kalıpları aradı. Batıl inançlarını bilim ile değiştirdi.
Geometride yeni sonuçlar bulmak için tümden gelim mantığını kullanan ilk kişi oydu ve teoremlerin ispatını istemekle matematiği daha yeni bir seviyeye taşıdı.
Genel olarak onun hakkında bildiklerimiz, örneğin Aristoteles tarafından yaşadıktan sonra yüzlerce yıl sonra yazıldı.
Adını söylerken ilk heceyi vurgulayan thail-eez diyoruz .
Thales’ten önce başka bilim adamları da olabilirdi, ama öyleyse isimlerini bilmiyoruz.
Hayatın erken dönemi ve eğitim
Atina’nın Apollodorus’una göre, BCE’nin 2. yüzyıla ait bir Yunan alimi olan Thales, Anadolu’nun batı kıyısında, Maeander Nehri’nin ağzının yakınında bulunan antik Yunan kenti Milet’te, M.Ö. 624’de doğmuştur. Halen, Türkiye’nin Aydın ilinin altına düşer.
Tarih, doğum tarihini 620’lerin ortalarına yerleştiren mevcut tarihçiler tarafından desteklenmiş olmasına rağmen, yerle ilgili bir tartışma var. Çoğu bilim adamı Apollodorus’un görüşlerini kabul ederken, bazılarının Fenike’de doğduğunu, daha sonra ailesiyle birlikte Milet’e göç ettiğini iddia ediyor.
Thales’in biyografisi Diogenes Laërtius, MS 3. yüzyılda yazıyor, Thales’in ebeveynleri, Examyes ve Cleobuline’nin zengin ve seçkin Fenikeliler olduğunu söylüyor. Ancak bununla ilgili de bir tartışma var.
Pek çok alime göre, babasının adı Examyes, Semitik’ten ziyade açıkça Karyalı idi. O zamana kadar Karyalılar İyonyalılar tarafından tamamen özümsendiğinden, çoğu aslında Milesian kökenli olduklarına inanıyor. Ancak hiç kimse varlıklı ve seçkin olduklarını reddetmiyor.
Thales’in en az bir kardeşi olduğu, sonraki yıllarda yeğeni Cybisthus’u benimsemesi gerçeğinden açıkça anlaşılıyor. Aksi takdirde, Thales’in biçimlendirici yılları hakkında hiçbir şey bilinmemektedir.
Aile hayatına erkenden başlayıp ticaret sırasında Mısır ve Babylonia’yı ziyaret etmesi mümkündür. O zaman, hem Mısır hem de Babylonia entelektüel olarak Yunanlılardan daha ileriydi; matematik ve astronomide ustalardı.
Thales, Mısır ve Babil’deki öğretmenlerle iletişim kurmuş olmalı, çünkü Mısırlı rahiplerle geometri çalışmak için Mısır’a döndüğünü görüyoruz. Daha sonra matematik okumak için Babylonia’ya gitti. Diğer kaynaklar, zengin aileden gelen, otomatik olarak yurtdışında okumak için gönderildiğini varsayar.
Babasının adı Examyes ve annesinin adı Cleobuline idi. Masallarıyla ünlü Aesop ile aynı dönemde doğdu.
Thales, örneğin Babilliler ve Eski Mısırlılar gibi entelektüel olarak doğusundaki ve güneyindeki ülkelere göre daha az gelişmiş bir Yunan toplumunda doğdu. Babilliler usta gökbilimciler ve matematikçilerdi, Mısırlılar da bu alanlarda Yunanlıların çok ötesindeydiler.
Mısır ve Babil’de matematik, ticaret, astronomi ve inşaat projelerinde kullanıldı. Bu tamamen pratik bir bilimdi.
Gökbilimlerini incelemek için tanrıların ne düşündüğünü anlamak için gökbilimi kullanıldı.
Genç bir erkek olarak Thales, muhtemelen ailesinin iş kolu olan bir tüccar haline geldi.
Thales daha sonraki yıllarda astronomi ve matematiği öğrendiği Mısır’a gitti.
Babil’e seyahat etmiş olabilir; öyle olsaydı, Nebuchadnezzar döneminde olacaktı.
Thales Milet’e döndüğünde kariyerini değiştirdi, gelirlerinde büyük bir düşüş yaşadı ve Antik Yunanistan’ın ilkbilimadamı oldu.
Nili Sel basması için Hapi (Mısır Tanrısı)’na ihtiyaç yok
Thales, doğal olayların üzerinde çalışılabilecek ve anlaşılabilecek rasyonel sebepler olduğunu fark etti. Örneğin, Nil Nehri’nin yıllık su basması yukarıda gösterilen nehir tanrısı Hapi olmadan açıklanabilir
Mısır’da Nil Nehri seviyesindeki yıllık artış, Krallığın hasadının başarısı için hayati öneme sahipti. Her yıl siltli nehir doğacak ve etrafındaki toprağı besinler ve nem ile dolduracaktı.
Nehir daha sonra düşer ve Mısırlılar yeni verimli arazileri toplarlardı. Nil olmasaydı Mısır Krallığı olamazdı, çünkü yağmur neredeyse hiç düşmezdi.
Mısırlılar, Nil’in taşkınlarına birçok tanrılardan biri olan Hapi’nin neden olduğuna inanıyordu . Tanrılar memnuniyetsiz olursa, nehir taşar ve kıtlık olur …
Tanrılar her ne pahasına olursa olsun mutlu tutulmak zorunda kaldılar.
Thales, Nil’in Hapi yüzünden değil, doğal sebeplerle su bastığını söyledi.
Bugünlerde de, elbette Nil taşkınlarını biliyoruz, çünkü Afrika’da mevsimsel yağmurlar daha da güneye düşer.
Aslında Thales’in asıl nedeni hakkında spekülasyon yapmış gibi görünmesine rağmen, bunu ilk anlayan Eratosthenes bir başka antik Yunanlıydı .
Gündelik olaylardan tanrılara inanmak ve doğal olayları anlarsak olayları açıklayabileceğimizi ve tahmin edebileceğimize inanmak arasındaki geçiş Thales’in en büyük başarısıydı.
İnsanların, gözlemlediklerimizin altında yatan nedenleri hakkında düşünme yeteneğini ortaya çıkardı.
Bildiğimiz ilk bilimsel düşünce buydu: Thales, batıl inancı bilim lehine terk eden adamdı.
Zenginleşen bulutların içinde başı olan bir inek!
Karanlık bir akşam Thales, gece gökyüzüne bakarak Milet’te yürüyordu. Bir çukurun içine girdi, bunun üzerine onu ‘düşünür‘ olarak tanıyan yaşlı bir kadına güldü ve şöyle sordu: “Kendi ayaklarının altında ne olduğunu göremediğinde, göklerin sana ne söylediğini nasıl görebilirsin?”
Zengin Milet kentinde insanlar Thales’e düşünmenin kimseye fayda sağlamayacağını ve bu yüzden zengin olmayacağını söyledi.
Ancak Thales, itici güçlerinin yanlış olduğunu kanıtladı.
Milet kentinin bulunduğu Ionia bölgesinde hava durumu modelleri öğrenmişti.
Bir kış mevsimindeki hava durumu, bir sonraki sezonun zeytin hasadı için nasıl mahsül olacağını gösteriyordu. Hala mevsim kışken, sonraki hasat için Milet’teki tüm zeytin preslerini kiralamak için küçük para yatırmalar yaptı. Zeytin yetiştiricileri büyük bir zeytin mahsulünün geleceğini fark etmeye başladığında, yaz aylarında Thales’in bütün zeytin preslerini kiraladığını keşfetti.
Thales, haklarını zeytin yetiştiricilerine satarak bir servet kazandı. Hiçbir fiziksel çalışma yapmadı. Zeytin mahsulünün ne kadar büyük olacağını tahmin etmek için hava durumu desenlerine ilişkin gözlemleriniuygulayarak tek başına zihin gücü bakımından zenginleşti.
Yunan zeytinlik tanrısı Aristaeus’tan yardım almasına gerek yoktu.
Depremler
Eski insanlar depremlerin tanrılarının öfkelerinin bir ölçüsü olduğuna inanıyorlardı. Bazı kültürlerde insan fedakarlıkları da dahil olmak üzere fedakarlıklar, öfkeli tanrıları pasifleştirmeye çalışmanın normal yoludur.
Eski insanlar depremlerin tanrılarının öfkelerinin bir ölçüsü olduğuna inanıyorlardı.
Thales, depremler için rasyonel bir açıklama istedi. Tüm gezegenimizin, sonsuz bir su denizinde yüzen düz bir disk olduğu ve gezegenin suda dolaşan bir dalga çarptığında depremlerin geldiği teorisini verdi. Modern bilimin yararına Thales’in yanlış anladığını biliyoruz.
Bununla birlikte, teorisi, Zeus’un bir şeyden rahatsız olduğu için dünyanın sarsıldığını söyleme konusunda çok büyük bir ilerlemeydi.
Thales, en azından depremler için rasyonel bir açıklama bulmaya çalışmıştı .
Thales’in fikirlerinin (merhametle) bir başka faydası da, hiçbir fedakarlık yapılması gerek memesiydi.
Siyasi Danışman
Thales kadar akıllı bir erkeğin kral tarafından danışman olarak görev yapması için davet edilmesi doğaldır. Bu, Medya Kralı Cyaxares ile komşu Lydia Kralı Alyattes arasında çıkan beş yıllık uzun savaş sırasında gerçekleşti.
Savaş altıncı yıla devam ederken, Thales 28 Mayıs 585 585 tarihli güneş tutulmasını öngördü. O günlerde tutulmalar bir kâhin olarak alındı ve Thales’in öngördüğü gibi toplam tutulması neredeyse gerçekleşti, savaş hemen durdu.
Etkinlik, Thales’le aynı yüzyılda yaşayan bir şair ve filozof olan Xenophanes tarafından anlatıldı. Bununla birlikte, modern bilim insanları olayla ilgili şüphe duydular; Thales’in yerini, zamanını veya doğasını bu kadar doğru bir şekilde öngöremediğini iddia etmek. Bununla birlikte, bu olaydan sonra iki devlet bir müttefik oldu.
Lydia şimdi Perslere karşı mücadelelerinde Medya’ya katıldı. Lydia’nın ordusu bugünkü İran’a doğru ilerlerken, Thales muhtemelen kralın daveti üzerine onlara eşlik etti. Halys Nehri olarak da bilinen Kızılırmak nehrinin kıyılarına geldiklerinde durmak zorunda kaldılar.
Thales, krala nehrin aşağı havasında geçilebilmesi için suyun çoğunu yönlendirerek kanalın üstünü kazmasını tavsiye etti. Ancak, bu olaydan bahseden Herodot, bu konuda şüpheci oldu.
Lydia ile Pers arasındaki savaş Lydia’nın yenilgisiyle sonuçlandı. Miletus çatışmada yer almadığı için Persler tarafından korunuyorlardı. Thales, eve döndüğünde İyonyalılar konfederasyonunu savundu, bireysel devletler onun demoi veya semtleri haline geldi. Milet dışında bütün devletler konfederasyona katıldı.
Neler Yapıldı?
Thales madde hakkında derinden düşündü. Temelde, her şeyin aynı şeyden yapılması gerektiğine karar verdi – bugün olduğu gibi, tüm maddelerin atomlardan oluştuğuna inanıyoruz. Onun fikri, en temel haliyle, tüm maddesudur. Thales’in fikrinin kendi vatandaşı Democritus tarafından “tüm madde atomdur” haline dönüştürülmesi yaklaşık 200 yıl sürdü.
Thales’ten 600 yıl sonra yaşayan Antik Yunan tarihçi Plutarch, Mısırlı rahiplerin Thales’in “her şey su” teorisinin başlangıçta Mısır’dan çıktığını iddia ettiğini yazdı.
Astronomi
Thales Mısır’daki astronomi ve muhtemelen Babil’i öğrendi.
Ne zaman Arşimet 212 M.Ö. Syracuse Roma işgali sırasında öldürülen Romalı tarihçi Cicero olay hakkında yazdı. Bize, Romalıların Arşimed’in ayın ve gezegenlerin hareketini doğru şekilde tahmin eden, güneş ve ay tutulmalarını öngören bir makineye sahip olduğunu keşfetti. (Böyle bir makine aslında arkeologlar tarafından bulundu – Antikythera Mekanizması adı verilen inanılmaz derecede karmaşık bir cihaz .)
Romalılar ayrıca ilk Thales tarafından yapılmış olan Antikythera Mekanizmasının öncüsü olan göksel küreyi gösteren daha temel bir dünya bulmuşlardır.
Thales gezegenleri ve yıldızları Dünyadaki takımyıldızlarında gösteren bir küre inşa etti. Daha sonra Yunanlılar – muhtemelen Arşimet – bunu daha da geliştirdi ve oldukça sofistike cennetsel bir hesap makinesi – Antikythera Mekanizması inşa etti.
Çığır açan Matematik
Gökbilimde olduğu gibi, Thales Mısır ve belki de Babil’deki matematiği öğrendi.
Milet’te, öğrendiklerini inşa etti ve matematikte tümden gelim mantığını kullanan ve geometride yeni sonuçlar üreten ilk kişi oldu.
İlk kezmatematik teoremlerinin doğru olarak kabul edilmeden önce kanıt gerektirdiğini belirledi.
Matematiği pratik bir çalışma alanından pratik uygulamalar hakkında endişelenmeden keşfedilebilecek bir alana dönüştürmeye başladı. Bu yüzden Thales, kesinti ve ispat temelli bir konu olan modern saf matematiğe büyük atılımlar yaptı, bulguları için pratik kullanımlara aldırış etmedi. (Yeterince tuhaf, pratikte kullanım için düşünülmeden saf matematik yapılsa da, saf matematikte keşifler çoğu zaman gerçek dünyada önem kazanıyor!)
Thales, matematiğin öğretildiği ve matematiğin Antik Yunanistan’da gelişmesi için zemin hazırlayan Milesian Okulu’nu kurdu. Eski kaynaklara göre, disiplini Yunanistan’a Mısır’dan getiren ve birçok önemli matematiksel keşifler yapan Thales’ti.
En önemlisi çemberin çapı tarafından ikiye bölünmesi ve yarım daireye yazılan bir üçgenin daima dik bir üçgen olması (Thales teoremi).
Bununla birlikte, Thales’in astronomik keşifleri gibi, matematiksel başarıları da bazı modern bilim adamları tarafından şüphe ile karşılanıyor.
Thales’in matematik anlayışına katkılarının önemi vurgulanamaz.
Geometri alanındaki teorik çalışması, izleyen tüm batı bilimleri üzerinde muazzam bir etkiye sahip olacaktı.
Thales, Öklid Geometrisi ismini verdikten sonra Öklid’den önce geldi. Ancak Thales olmadan, asla bir Öklid olmamıştır.
Thales’in, biseksiyon dairelerinin temel ilkelerini tanımlayan ilk kişi olduğu söylenirve matematiksel olarak bir ikizkenar üçgeninin tabanındaki açıların eşit olduğunu gösteren ilk kişi olabilir.
Thales ayrıca iki açılı ve bir tarafın eşit olduğu üçgenlerin eşit olduğunu gösterdi.
Bu, yüce teoriden öte bir şeydi, çünkü bu prensipler, gemilerin denizdeki mesafesini bulmak gibi pratik amaçlar için kullanılabiliyordu.
Bu tür geometri anlayışları olmasaydı bugün aldığımızın çoğu imkansız olurdu. Thales’in matematiksel gelişimi, navigasyon ve mimariden mühendisliğe ve daha derin bir astronomi anlayışına kadar çeşitli pratik disiplinleri ortaya çıkardı.
Thales, kendisinden sonra gelen önemli bir teoremi ile ünlüdür.
Thales Teoremi: “A, B ve C, AC hattının dairenin çapı olduğu bir daireye işaret ediyorsa, o zaman ABC açısı dik bir açıdır” diyor.
Tanrılara İnanç
Thales tanrıları reddetmedi. Tanrıların her şeyde var olduğuna inanıyordu. Bunun bir sonucu olarak, tüm maddelerin içinde yaşamın bir yönü vardı. Doğanın temel prensiplerini anlayarak insanların aslında tanrılarını daha iyi tanıyacaklarını ve anlayabileceklerini düşünüyordu.
Miras
Thales, Antik Yunanistan’da bilimin kurucusuydu. Bilgisini özellikle Anaximanderve Pisagor’a ileten Milesian Okulu’nu kurdu . Yunan bilimi ve matematiği, Arşimed döneminde yaklaşık 300 yıl sonra zirveye ulaştı .
Antik Yunan bilgisinin yeniden keşfedilmesi, Avrupa’daki Rönesans ve Bilimsel Devrimi tetikleyen bir kıvılcımdı ve modern teknolojik dünyamızı yönlendiren bir kursa bilim kurdu.
Batıl inançların bilim lehine reddedilmesi Thales ile başladı.
Aile Hayatı ve Sonu
Eski tarihçilerden gelen hesaplar, Thales’in hiç evlenip evlenmediği konusunda aynı fikirde değildir. Bazıları evlendiğini ve bir oğlu olduğunu söylüyor. Diğerleri evlenmediğini, ancak yeğenlerinden birine oğluymuş gibi davrandığını söylüyor.
Zenon, İ.Ö. 5. yüzyılda (495-435) yaşamış Elea’lı ve bugün üzerine pek az bildiğimiz Eski Yunanlı bir filozoftur. Ne yazık ki günümüze hiçbir yapıtı kalmamıştır. Zenon üzerine bildiklerimizi daha çok Eflatun’a (Parmenides adlı yapıtına) ve Aristo’ya (Fizik adlı yapıtına) borçluyuz. Zenon kolay kolay yutulmayacak bir düşüncenin savunucusu olan Parmenides’in sadık bir öğrencisiydi. Parmenides şu inanılmaz düşünceyi savunuyordu:
Gerçek tektir ve değişmez.
Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanırlar…
Zenon hocasının felsefesiyle alay edenleri susturmak için dört paradoks geliştirir. Zenon’un günümüze kalmasını sağlayan aşağıda açıklamaya çalışacağım (ve ne derece ciddi olduklarını göstermek amacıyla savunacağım) işte bu dört paradokstur. Bugün, yani 2500 yıl sonra bile, bu dört paradoks üzerine tartışma dinmemiştir ve gün geçtikçe filozoflar bu konuda daha fazla düşünce üretmektedirler. Bertrand Russell, Henri Bergson, Alfred North Whitehead, Zenon’un paradokslarını konu etmiş çağdaş filozoflardan birkaçıdır. Sanırım Hegel de konu etmiştir.
Tolstoy Savaş ve Barış’ında Zenon’un paradokslarından söz eder.
Zeno, MÖ 495 civarında güney İtalya’daki Yunan Elea kolonisinde doğdu. Onun hakkında çok az şey biliniyor. O Orada genç bir Sokrates bir araya geldi ve bir gösterimin yeterince Platon’un kitaplarından birinde bir karakter olarak dahil edilecek yapılan filozof Parmenides’in öğrencisiydi ve 449 M.Ö. Atina’ya bir gezi hocasına eşlik etti.
Elea’ya döndüğünde siyasette aktif oldu ve nihayet kentin tiran Nearchus’una karşı bir komploda yer aldığı için tutuklandı. Komplodaki rolü nedeniyle ölümüne işkence gördü. Sorgulanmasıyla ilgili birçok hikaye ortaya çıktı.
Bir fıkra, kaptanları, diğer komplocuları ortaya çıkarması için onu zorlamaya çalıştığında, tiranın arkadaşlarını seçtiğini iddia eder.
Diğer öyküler, dilini ısırıp, zorbaya tükürdüğünü veya Nearchus’un kulağını veya burnunu ısırdığını belirtiyor.
Zeno’nun kendi kendini yetiştirmiş bir köylü çocuğu olduğu söylenir.
Zeno, hıyanet veya ona yakın bir suç ile başı kesilerek öldürülmüştür.
Diogenes Laertos’a göre, Zeno doğduğu şehrin tiranı tarafından işkence ile öldürüldü.
Zeno, varlığın birliğini kabul ettirmek için, haklı olarak ün yapmış kanıtlarıyla, hareketin olanaksızlığını göstermeye çalıştı.
Zeno’nun paradoksları üzerine her çağın en büyük bilginleri kafa yormuşlardır. Olmayan ergi yöntemi çok erken bir tarihte bu paradokslara parlak bir biçimde uygulanmıştır.
Başlıca eserleri, ”Tabiat Üstüne”, ”Karşı Fikirler” ve Emperdokles üstüne eleştirili bir “Yorumlama” dır.
Zenon muhteşem zekasıyla -ki Platon onu diyalektik imgelem gücü nedeniyle Elealı Palamedes diye tanımlar- hocasının savlarını pekiştirecektir. Bunu yaparken kendi geliştirdiği dolaylı argümanlarla örülü bir diyalektik kuracaktır.
Aristoteles’e göre diyalektik: muhtemel veya akla yakın, çoğunluk tarafından kabul edilen öncüllerden hareketle, yine akla yatkın, ikna edici gibi görünen sonuçlara, yani dar anlamda bilimsel olmayan sonuçlara varan bir akıl yürütmedir.
Bilimsel akıl yürütme olan apodiktik akıl yürütmenin altında olan diyalektik, kesin olarak bilimsel değeri olmayan, aldatıcı olarak doğruymuş gibi görünen sofistik akıl yürütmelerdir.
Diyalektikte kullanılan önermeler bilimsel değil, yalnızca tartışmayı mümkün kılan, yaygın olarak kabul edilen kabullerle gerçekleşir.
Diyalektiğin faydası bilimsel olarak kanıtlanması mümkün olmayan bazı şeyleri dolaylı olarak kanıtlamaya yaramasıdır. Örneğin özdeşlik ilkesi böyle bir kanıtlamaya ihtiyaç duyar.
Bu doğrudan kanıtlanamaz çünkü herhangi bir ilkenin kanıtlanması zaten bu ilkeye dayanır.
Özdeşlik ilkesinin kanıtlanması mümkün değildir, özdeşlik ilkesi sayesinde herhangi bir kanıtlama yapılabilir.
Özdeşlik ilkesi, bu ilkeyi kabul etmeyen insanların görüşlerinin yanlışlığı veya saçmalığı gösterilerek dolaylı olarak kanıtlanabilir. Bu “saçmaya indirgeme” yoluyla dolaylı kanıtlama veya dolaylı çürütmedir.
Zenon’un uyguladığı yöntem budur. O Parmenides’in görüşlerine karşı çıkanlara, yani hareketi ve çokluğu kabul edenlere, bu kabulün ortaya çıkaracağı saçma sonuçları göstererek mümkün olmadığını kanıtlamaya çalışır.
Yani önce hareketin ve çokluğun varlığını teslim eder, sonra bunlarla saçma sonuçlara ulaşır ve dolaylı olarak hareket ve çokluğun olduğu iddiası doğru değilse, tam tersi, yani hareketin ve çokluğun olmadığı ilkesi doğru olacaktır.
Zenon’un amacı Parmenides’İ olumlamak, onu doğru ve haklı çıkarmaktır.
Zeno, bir filozof ve logistti, matematikçi değildi. Aristoteles, diyalektiğin icadıyla, bir arguer’in bir öncülü desteklediği, bir diğeri ise fikri saçmalamayı azaltmaya çalıştığı bir tartışma şekli olarak gösterildi. Bu tarz, büyük ölçüde, içsel bir çelişki bularak saçma bir fikrin azaltılması olan, absürdün azaltılması sürecine dayanıyordu.
Argümanların amacı, öğretmenin fikirlerini savunmaktı. Parmenides, gerçekliğin bir, değişmez ve değişmez olduğuna inanıyordu. Hareket, değişim, zaman ve çoğulculuk sadece yanılsamalardı.
Bu, tabii ki, birçok eleştirmen çekti. Zeno’nun paradoksları, zıt pozisyonu tutmanın, gerçekliğin çok fazla olduğunu, çelişkili ve saçma olduğunu göstermeye çalıştı. Bu nedenle, “bir” doğru felsefe olmalıdır.
Aşil’le Kaplumbağa Yarışı
Zenon, paradokslarının birinde, yarıtanrı Aşil’le kaplumbağayı yarıştırır. Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan, Aşil’in önünden başlar yarışa. Zenon, Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunur.
Gerçekten de Aşil’in kaplumbağayı yakalayabilmesi için, önce kaplumbağanın yarışa başladığı ilk noktaya erişmesi gerekmektedir. Aşil bu noktaya eriştiğindeyse, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Şimdi Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya erişmelidir. Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya vardığındaysa, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Çünkü kaplumbağa durmamaktadır. Bu böyle sürer gider ve Aşil kaplumbağaya hiçbir zaman erişemez.
Yaşamda böyle olmaz demeyin. Parmenides de, Zenon da, sizin gibi, yaşamda Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağını biliyorlar. Ancak, gördüğümüzün gerçek olmadığını, duyularımızın bizi aldattığını ileri sürüyorlar.
Bu paradoks üzerine biraz düşünelim. Aşil yarışa kaplumbağanın 100 metre gerisinden başlasın. Aşil saniyede 100 metre koşsun. Kaplumbağa da saniyede 10 metre koşsun. Varsayalım ki öyle…
Aşil’in yarışa başladığı noktaya Ao adını verelim.
Aşil bir saniye sonra kaplumbağanın bulunduğu ilk noktaya, A1 noktasına erişecektir.
Bu bir saniyede kaplumbağa 10 metre yol alacaktır ve A2 noktasına varacaktır.
Aşil A2 noktasına 1/10 saniye sonra varacaktır.
Bu 1/10 saniyede kaplumbağa 1 metre gitmiş olacaktır.
Aşil bu 1 metreyi, 1/100 saniyede koşacaktı
Paradoks olur da matematikçiler boş durur mu? Matematikçiler bu paradoksu çözmüşler.
Öte yandan okur, bize bu yazılık güvensin, S sonlu bir sayıdır ve 10/9’a eşittir.
Filozoflar bu yanıttan pek hoşnut kalmazlar. Her şeyden önce sonsuz toplamdan rahatsız
olurlar. Matematikçilerin matematik yaparken sonsuz tane sayıyı toplamalarına söz etmezler, göz
yumarlar, ama gerçek yaşamdan alınmış bir probleme uygulanmasına karşı çıkarlar. Matematiğin
gerçek yaşama her zaman uygulanabildiği nereden biliniyor?
Matematik, doğa yasalarını bulmaya çalışır. Bunu da oldukça iyi başarır. Örneğin matematik sayesinde uçaklar, trenler, binalar yapılır, hatta aya gidilir. Matematiğin birçok uygulaması vardır. Bu uygulamalar matematiğin doğayı anlamamızı sağlayan başarılı bir yöntem olduğunu gösterir. Ama her yere her zaman matematik uygulanabilir mi?
Örneğin, iki elma artı üç armut beş meyve eder, çünkü 2 + 3 = 5’tir. Ama bu matematiksel gerçeği iki litre suyla üç litre alkole uygularsak, beş litre sıvı elde edeceğimiz çıkar, ki bu da yanlıştır. Demek ki matematiği
uygularken dikkatli olmalıyız.
Doğa, matematiğin tam bir modeli değildir. Doğa matematiğin ancak yaklaşık bir modeli olabilir.
Yukardaki hesap gösterse gösterse Aşil’in kaplumbağayı eğer yakalarsa 10/9 saniyede yakalayacağını gösteriyor. Aşil’in kaplumbağayı yakalayıp yakalamadığını bilmiyoruz ki, ne zaman yakalayacağı sorusunu sorup yanıtlayalım…
Sorumuz, Aşil’in kaplumbağayı ne zaman yakalayacağı değil, yakalayıp yakalayamayacağı…
Yanlış anlaşılmasın, çağdaş filozofların çoğu – hepsi değil ama – Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağına inanıyorlar.
Filozofların derdi bu değil.
Filozofların derdi Zenon’un paradoksu…
Zenon’un paradoksunda yanlış nerede?
Eğer mantığımızı kullanarak saçma bir sonuç kanıtlarsak, mantığımızda (yani ya varsayımlarımızda ya çıkarım
kurallarımızda) bir yanlış var demektir. Bu yanlışı bulmalıyız.
Zenon’un bu paradoksunda bir başka sorun daha var.
O da şu: Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz tane iş yapmalı; önce
A1 noktasına gitmeli, sonra A2 noktasına gitmeli, sonra A3 noktasına gitmeli…
Sonsuz tane iş yapabilir miyiz? İşte en önemli soru bu. Matematikçi kendi düşünsel dünyasında sonsuz tane sayıyı toplayabilir, ama biz, yaşamda, sonsuz tane sayıyı toplayamayız. Sonsuz tane iş yapamayız.
En azından sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünmek oldukça zor.
Yoksa Aşil kaplumbağaya erişmek için sonlu tane mi iş yapıyor?
Bu soruya geçmeden önce Zenon’un ikinci paradoksundan söz edelim.
İkiye Bölünme Paradoksu
Zenon, salt Aşil’in kaplumbağayı yakalayamayacağını söylemekle yetinmiyor. Aşil’in bir noktadan bir başka noktaya gidemeyeceğini de söylüyor.
Diyelim Aşil A noktasında ve B noktasına gidecek.
Aşil A’dan B’ye gitmek için önce yolun yarısına gitmeli.
Yolun yarısına gittikten sonra kalan yolun yarısına gitmeli. Daha sonra kalan yolun yarısına…
Bu böylecene sonsuza değin sürer.
Diyelim
A’yla B arasındaki uzaklık 1 metre. Aşil önce 1/2 metre gitmeli.
Gittiğini varsayalım.
Geriye 1/2 metre kalır.
Şimdi Aşil kala n bu 1/2 metrenin yarısına gitmeli, yani 1/4 metre daha gitmeli.
Geriye 1/4 metre daha kalır. Aşil bu kalan 1/4 metrenin yarısına gitmeli, yani1/8 metre daha gitmeli…
Daha sonra 1/16 metre daha gitmeli…
Eğer attığınız her adım önceki adımın yarısını ölçerse, o zaman sonsuz sayıda adım atsanız bile, kat edilen toplam mesafe ilk mesafenizin iki katını ölçer:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32 + 1/64 + ……..
Aşil sonsuz iş yapamayacağından
B noktasına varamaz…
Havada uçan bir oka bakalım.
Okun sonsuz tane iş yaptığını, yani sonsuz tane noktadan geçtiğini varsayalım.
Bunu düşünmek oldukça zor. Olsa olsa beynimiz okun havada sonlu tane fotoğrafını çekiyordur ve bu fotoğrafları
bir sinema şeriti gibi gözümüzün önünden geçiriyordur. Bu konuya birazdan geleceğim.
Paradoksa geri dönelim.
Ama şimdilik, beynimizin dış dünyayı sonlu biçimde algıladığını aklımızda tutalım.
Okur belki sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünüyordur: birinci iş, ikinci iş, üçüncü iş…
O zaman sonsuz iş yapmaya sondan başlayalım!
Birinci paradoksa çok benzeyen bu ikinci paradoksu biraz değiştirip, Aşil’in,
bırakın B noktasına gidememesini, yerinden bile kımıldayamayacağını da kanıtlayabiliriz.
Gerçekten de Aşil’in A’dan B’ye gidebilmesi için önce yarı yola gitmesi gerekir.
Yolun yarısına gidebilme si için önce yolun dörtte birine gitmesi gerekir.
Ama daha önce yolun sekizde birine gitmesi gerekir…
Daha önce de on altıda birine gitmesi gerekir…
Dolayısıyla Aşil A noktasından öteye adımını atamaz bile.
İlerleyebileceği bir nokta yoktur ki! Gideceği her noktanın önce yarısın a gitmesi gerekmektedir.
Yoksa A’yla B arasında ve A’dan hemen sonra gelen bir nokta mı var?
Galiba öyle…
Paradoksun ikiye bölmekten kaynaklandığı kesin. Aşil’in gitmesi gereken fiziksel uzaklığı hep ikiye bölüyoruz. Demek ki fiziksel uzaklığı (uzayı) durmadan ikiye bölemeyiz. Demek ki bir zaman sonra ikiye bölemememiz gerekir. İkiye böle böle, bir zaman sonra öylesine küçük bir uzaklık elde ederiz ki, elde edilen bu mini minnacık
uzaklık bir kez daha ikiye bölünemez. Bir başka deyişle, uzay sürekli değildir.
Uzay, bölünmeyen en küçük uzay parçacıklarından oluşmuştur. 20. yüzyılın parçacık kuramı da bu yönde düşünmemiz gerektiğini söylemiyor mu zaten? Bu uzay parçacıklarına uzaybirim diyelim
(Bergson bu paradoksları ve aşağıda açıklayacağım ok paradoksunu şöyle çözmeyi öneriyor: Bir hareketin
belirlenmesi için hareketin başladığı ve bittiği noktaların verilmesi gerekmektedir. Okun hareketini ikiye bölmek demek, bir hareketin değil, iki hareketin olduğunu göstermek demektir. Okun hareketini ikiye bölmeye hakkımız yoktur. Okun bir ve bir tek hareketi vardır. Okun aldığı yolu ikiye bölebiliriz ama okun hareketini ikiye bölemeyiz.)
Uzayın uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık (!). Her uzaklık sonlu sayıda uzaybirimden oluşur.
Üçüncü Paradoks(Hareket Yoktur)
Zenon’un üçüncü paradoksuna göre, hareketyoktur, hiçbir şey hareket edemez. Uçan bir ok ele alalım örnek olarak. Okun hareket ettiğini sanıyoruz değil mi?
Zenon yanıldığımızı kanıtlıyor.
Ok her an durmaktadır. İnanmazsanız okun havada bir fotoğrafını çekin.
Fotoğrafta okun durduğunu göreceksiniz.
Demek ki ok her an durmaktadır. Ok her an durduğuna göre hep duruyor demektir. Öyle değil mi?
Okun hareket edebilmesi için en az bir an hareket etmesi gerekmektedir. Oysa ok her an durmaktadır. Her an durmakta olan ok hep durmaktadır.
Uzayın sürekli olamayacağını yukarıda gördük.
Uzay küçük, çok küçük, bölünemeyen uzaybirimlerinden oluşmuştur.
Okun bir uzaybirimi uzunluğunda olduğunu varsayalım.
Uzaybirim uzunluğundaki ok, bir uzaybiriminin içinde hareket edemez, çünkü okun o uzaybiriminde hareket edebilmesi için, okun uzay biriminden daha kısa olması gerekir ki, uzaybirimden daha kısa bir nesne olamayacağını biliyoruz. Her uzaybiriminde hareketsiz duran ok, hep hareketsizdir.
Sinema da öyle değil midir? Sinema ekranında yürüyen bir insan aslında yürümeyen binlerce insan resminin gözümüzün önünden hızla geçmesi değil midir? Doğada hareket de aslında hareketsizlik değil midir?
(Bunların benim düşüncelerim olmadığını, Zenon’un düşünceleri olduğunu anımsatırım. Okuru kışkırtmak amacıyla, kendimi Zenon’un yerine koyarak Zenon’un paradokslarını savunur görünüyorum.)
Uçan ok her an durmaktadır. Ama bir sonraki uzaybiriminde var olmaktadır. Bergson’un da dediği gibi, aynen sinema ekranında yürüyen bir insan örneği, ok bize hareket edermiş gibi görünmektedir. Oysa her an durmaktadır.
Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?
Yaydan çıkarak hedefe, hiçbir başka hareket yapmadan ulaşır. Pekala, ok madem tekdüze bir haldedir o zaman ok, seçili bir zamanda sadece bir noktada durağan halde bulunmak zorundadır. Zira, tekdüze nesneler böyle hareket eder. Ok, art arda eklenmiş birim zamanlarda yol katettiği üzere, her seçili zamanda “tekdüze durma” zorunluluğuna sahiptir. Bu sayede, ok asla hedefini bulamayacaktır.
Zaman en küçük ölçü ve bölünmez olan anlarının, oluşur. Bir ok ya hareket halinde ya da hareketsizdir. Bir ok hareket edemez, çünkü hareketin gerçekleşmesi için, ok bir anın başında bir yerde ve bir anın sonunda başka bir yerde bulunmalıdır. Bununla birlikte, bu, anın bölünemez olduğu anlamına gelir ki bu imkansızdır, çünkü tanım gereği, bölünmezler.
Hareketin sürekliliği fikri, yıkılması inanılmaz zor bir fikirdir. Matematikte, diferansiyel ve integral hesapta, değişimin, devinimin sürekliliği oldukça açık bir şekilde önümüze seriliyor. Özellikle türev ve integral, en basit değişim dinamiklerinde dahi, oldukça doğru sonuç çıkarıyor. Zenon da, hareketin sürekliliğini ve gerçek hayatta yarışçıların yarışları tamamlayabildiğini biliyordu.
Süreksiz ve “sıçramalı” hareket fikrinin ne kadar sağlıksız olduğunu göstermek için bu paradokslara başvurdu.
Dördüncü Paradoks (Uzay Paradoksu).
Zenon’un son paradoksunu anlamak kolay değil. Yukarda da dediğim gibi Zenon’dan yazılı bir yapıt yok elimizde. Zenon’un paradokslarını bize aktaran Aristo. Aristo’nun aktardığı biçim pek anlaşılır gibi değil. Bu yüzden dördüncü paradoksun çeşitli yorumları var. Vereceğim yorum Aristo’nun aktardığı yorum değil ama ona çok yakın.
Yukarda, uzayın sürekli olmadığını, bölünmeyen uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık, daha doğrusu Zenon kanıtladı.
Her şey varsa ve her şey uzaydaysa uzay nerededir? Eğer uzay başka bir uzaydaysa bunu sonsuza kadar götürebiliriz, öyleyse uzay gerçekten var değildir.
Şimdi aşağıdaki şekle bakalım
Her kare bir uzaybirimini simgelesin.
Sol üst köşede A nesnesi, sağ alt köşede B nesnesi var.
A ve B aynı anda ve aynı hızla “hareket” etsinler. A sağa, B sola gitsin.
Bir zaman sonra A sağdaki karede, B de soldaki karede olur.
Şimdi paradoksal soruyu soralım:
A ve B nerede karşılaştılar?
Hiç karşılaşmadılar! Çünkü aralarında karşılaşabilecekleri bir yer yok!
Zenon’un Parmenides’i desteklemek için yaptığı savunmalar bunlar ve benzerleridir ama yunan düşüncesi “varlık vardır; var olmayan var değildir” söylemine takılıp kalmayacak, çoğulcu materyalistler hem varlığı, hem oluşu kabul etmek ve açıklamak ihtiyacını duyacak ve çalışacaklardır. Onun çabaları sonsuz, sürekli, sayı, uzay, zaman, hareket gibi temel kavramların felsefi analizine büyük katkıda bulunmuştur. Onun felsefe tarihi içindeki önemi de her şeyden çok bu kavramlar üzerine tuttuğu ışıktan ileri gelmektedir.
Paradoksların kısıtlayıcı ve ayırıcı bilgileri; 1.Madde, gözlemlenen hareketi icra ederken, herhangi bir zamanda, herhangi bir mekanda durağan pozisyonda olma zorunluluğuna sahiptir. 2. Doğada madde, aynı zamanda iki farklı yerde bulunamaz. Madde, seçili zamanda sadece bir yeri kaplayabilir ve, hızına rölatif olarak belirlenecek zaman farkından düşük sürede, başka bir mekanda bulunamaz. 3. Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır. Olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?
Zenon’dan çok çok sonra, Aristo “Physica” kitabında, Zenon’un üç atlısına cevap vermiştir. Aristo’ya göre, asıl mevzu Zenon’un paradokslarını farklı yorumlamaktı.
Aristo, Zenon’un paradokslarını çözerken, “sonsuz uzay ve mekan” temelinden yararlandı, aslına bakarsak bu tanım bize hiç yabancı değil…her gün iç içe olduğumuz bir durum bu. Sonlu sonsuzluk!
En yakınınızda duran cetveli hemen alın ve inceleyin. Sayılar arasında, ufak çizgiler bulunur. Bu cetveli bir sayı doğrusu olarak düşünün. Bir ve iki arasındaki ufak çizgiler ise, kesirli sayılar olacaktır.
1, hemen ardından, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5…2, 2.1, 2.2,2.3…şeklinde gidecektir.
Pekala, 1 ile 1.1 arasındaki ilk “sıçrayış” ne zaman gerçekleşiyor? Aslına bakarsak, hiçbir zaman.
Zira, 1 ile 1.1 arasında sonsuz sayı vardır.
1.1 ile, 1.2 arasında da!
Bu tarz durumlara, “sonlu sonsuz” denir. İki sonlu veri arasındaki, sonsuz verilerdir.
Aristo da, Zenon’un paradokslarını bu şekilde çözmüştür. Sonsuz mekan ve zamanda koşmaya başlarsak, sonsuza kadar ilerlemeye çalışıp, “hareketimizin” sorgulanmasına sebep oluruz. Fakat, yarışın hem zamanen, hem de mekanen bir sonu vardır. Bu sayede, ne kadar “yarımlara” bölünüyor olsa da, bahsedilen yarışı sonlandırabiliriz. Zira, hem zaman hem de mekan kısıtlaması vardır.
Aynı açıklamayı, Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu için de yaptı. Akhilleus ile kaplumbağa arasındaki mesafe de sonludur. Biz, her ne kadar iki sayı arasında sonsuz sayı bulunsa da, hiçbir sorun yaşamadan sayabiliyorsak, Zenon’un koşucusu da aynı şekilde yarışı bitirebilirdi.
Aristo, Ok Paradoksu’na da aynı çözümü uygulamıştır. Uçan okun, yeteri kadar birim zamana bölünüp, akışı ile gözlemlendiğinde, bu “karelerin” akıcı bir hareket sergileyeceğini düşünüyordu. Fakat, bu iki beyefendiden de çok sonra, Werner Heisenberg, Zenon’un “Bir cisim, birim zamanda hem harekete, hem de konuma sahip olamaz.” görüşünü biraz daha ileri götürerek, Nobel kazanmayı başardı.
Zira, parçacığın birim zamanda, hem hızını, hem de konumunu eşit kusursuzlukta bilebilmek, imkansızdı. Heisenberg belirsizlik ilkesi, kendi makalesini hak edecek düzeyde ağır bir konu. Sürekli ve süreksiz hareket kavramları, her gün karşılaştığımız hareketin ve sayıların doğasının aslında ne kadar büyüleyici olduğunu tekrar önümüze serdi.
Her ne kadar dört argüman mantıksız görünse de, kafa karıştırıcı olmaktan ziyade, açıklamak ve matematik için çok ciddi sorunlara yol açmak o kadar basit değildir. Gerçek yakınsama ya da sonsuzluk kavramı olmayan Yunanlı matematikçiler için, bu akıl yürütmeler anlaşılmazdı.
Aristoteles, Zeno’nun paradokslarının gelecek 2500 yıl boyunca matematiksel dolaba gizlendiğini ve neden olmadığını göstermeden, onları “yanlış” olarak attı.
O zamanlar, esas olarak felsefenin yenilikleri olarak azaltıldılar. Ancak, yirminci yüzyılda Bertrand Russell ve Lewis Carroll gibi insanların çabalarıyla matematiksel olarak canlandılar. Bugün, yakınsak seriler ve Cantor’ın araçlarıyla donanmış Sonsuz kümeler üzerine kuramlar, bu paradokslar bazı memnuniyetle açıklanabilir.
Bununla birlikte, bugün bile tartışma hem paradoksların hem de rasyonelleşmelerin geçerliliği konusunda devam ediyor.
Yunanlıların Elea filozof Zeno’suna (MÖ 495-435) atfedilen unutulmaz paradokslar nedeniyle sonsuzluk fikrine ulaştığına dair kanıtlarımız var.
Zeno, bu İkilem paradoksu, mekanın ve zamanın sonsuz bölünebilirliği varsayımı altında hareketin asla başlayamayacağını iddia etmek için kullandı.
Bu paradokslar, sonsuzluk kavramının kullanımı tarihindeki ilk örneklerdir. Sınırsız sayıda adımın hala sınırlı bir toplamı olabileceği şaşırtıcı sonucuna “yakınsama” denir.
Aşil’in veya bir odadan ayrılmaya çalışan kişinin daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerektiği fikrini ortadan kaldırarak paradoksları çözmeye çalışılabilir. Yine de, Aşil’in daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerekiyorsa, asla kazanamayacağından şüphe kalır.
Bu paradokslar sonsuzluğun rahatsız edici özelliklerine ve sonsuz süreçlerin veya olayların anlamını anlamaya çalıştığımızda bizi bekleyen tuzaklara işaret eder.
Aşil ve Kaplumbağa Paradoksuna Yakınsaklık Cevabı
Hızlı bir koşucu olan Aşil’in bir kaplumbağaya karşı yarışması istendi. Aşil saniyede 10 metre koşabilir, kaplumbağa saniyede sadece 5 metre. Parça 100 metre uzunluğunda. Adil bir sporcu olan Aşil, kaplumbağaya 10 metrelik bir avantaj sağlar. Kim kazanacak ?
Her ikisi de koşmaya başlar, kaplumbağa 10 metre ileridedir.
Bir saniye sonra Aşil, kaplumbağaların başladığı noktaya ulaştı. Kaplumbağa, sırayla, 5 metre yürüdü.
Aşil tekrar çalışır ve kaplumbağanın daha önce olduğu noktaya ulaşır. Kaplumbağa, sırayla, 2,5 metre yürüdü.
Aşil tekrar kaplumbağanın bulunduğu yere koşuyor. Kaplumbağa, sırasıyla, 1,25 metre ileride koşuyor.
Bu bir süre devam eder, ancak Aşil kaplumbağasının sadece bir saniye önce olduğu noktaya ulaşmayı başardığında, kaplumbağa yine biraz mesafe kat etti ve hala Aşil’in önündedir. Bu nedenle, denediği kadar, Aşil yalnızca, kalan mesafeyi yarıya indirmeyi başarır; bu, elbette, Aşil’in aslında kaplumbağaya asla ulaşamayacağını ima eder. Böylece, kaplumbağa Aşil’i hiç de mutlu etmeyen yarışı kazanır.
Açıkçası, bu doğru değil, ama hata nerede?
Şimdi matematiğe dönelim. Herhangi bir yeni nesneyle ilgilenmeden önce, onları tanımlamamız gerekir:
Bir dizi, sonsuz bir eklemenin sonucudur – henüz nasıl kullanılacağını bilmiyoruz – her bir kısmi toplamın, sadece çok sayıda terimin toplamı olduğunu unutmayın. Dolayısıyla, kısmi toplamlar bir sekans oluşturur ve biz sekanslarla nasıl başa çıkacağımızı zaten biliyoruz.
Aslında, bir dizi pozitif ve negatif terimler içeriyorsa, bir çoğu birlikte eklendiğinde iptal edilebilir. Bu nedenle, farklı yakınsama modları vardır: pozitif terimli serilere uygulanan bir mod ve terimleri negatif ve pozitif olabilen serilere uygulanan diğer bir mod.
Koşullu olarak yakınsak dizilerle çalışmak oldukça zordur. Birinin gerçek olmasını beklediği birkaç işlem bu seri için geçerli değildir. Belki de en çarpıcı örnek, birleşme yasasıdır. Yana a + b = b + a herhangi iki reel sayılar için a ve b pozitif veya negatif, bir bir dizi toplamı sırasını değiştirerek sonuca üzerinde çok az etkisi olması gerektiğini de beklenebilir. Ancak:
Koşullu yakınsak serilerin birkaç sürpriz içerdiği görülüyor. Somut bir örnek olarak, alternatif harmonik serisini yeniden düzenleyebiliriz, böylece 2’ye yaklaşır.
Kesinlikle yakınsak seri, beklediğiniz gibi davranır.
Bu bölümü başlattığımızda bir öykü ile bitirmeden önce seriye bir derece soyut sonuç daha vereceğiz. Daha teorik öneme sahip olan tek sonuç
Son hikayemiz sık sık ” Eğik Kule Lire ” olarak adlandırılıyor. Aşil ve Kaplumbağa hakkındaki tanıtım hikayesi, yakınsak (geometrik) bir dizi kullanarak çözebileceğimiz açık bir paradoks oluştursa da, bu hikaye, inanılmaz ancak gerçek bir duruma ışık tutmak için farklı (harmonik) bir serinin özelliklerini kullanır.
Çalışkan ama çok çalışan bir öğrenci olan Jillian, kütüphanede uyuyakaldı ve geceleri içeri girdi.Uyandığında oda loş bir şekilde yanıyordu ve yalnızdı. Zamanı geçirmek (ve sabahları kütüphaneciyi sinirlendirmek için) masanın kenarından taşmaları için bir masaya kitap yığmaya karar verdi.
Sınırsız bir kitap kaynağına sahip olduğunu varsayarsak, hepsi eşit genişlik 2 ve ağırlık 1 (örneğin), üretebileceği en büyük çıkıntı nedir? Daha ilginç hale getirmek için diyelim ki her seviyede sadece bir kitap kullanabilir .
Ancak öykü zamanımız sona ermiştir – sonraki bölüm, bir serinin yakınsak veya uzaklaşıp dağılmadığını hızlı ve verimli bir şekilde belirlemek için uygun testler sunar.
Knidos’lu Eudoxus, M.Ö. 408 yılında Knidos’da doğmuştur.( Knidos Muğla’nın Datça ilçesinin en batı ucudur.) Knidos’lu Eudoxus, birçok bilgin gibi, gençliğinde çok fakirlik çekmiş biridir. Eudoxus oranematiğini zirveye ulaştırmıştır.
Eudoxus, genç yaşlarında Tarentum şehrinden Atina’ya gitmiş, Platon’un öğrencisi olmuş ve orada en iyi ve birinci sınıf matematikçi, idareci ve asker olan Arkitas’ın (İ.Ö. 428-347) yanında öğrenim görmüştür. Atina’dayken kalmış olduğu yer çok uzak olmasına rağmen, derslere yürüyerek gidip geldiği söylenmektedir. Eudoxus, Atina’da sevilmediğini anlayınca, burayı terkederek, bugünkü Kapıdağı Yarımadasında bulunan Sızık şehrine gelerek burada tıp öğrenimi yapmıştır. Matematik dışında iyi bir hukukçu ve bir de iyi bir doktordu.
Bir ara Mısır’da bulunmuş ve Mısır genı ve kaşlarını traş etmiştir. Dersler vererek geçimini sağlamış ve Atina’ya dönüşünde, hocası Platon, onun şerefine bir şölen düzenlemiştir. Hemşehrileri olan Knidosluların idâri kanunlarını düzenlemek amacıyla Knidos’a gittiğinde, çok iyi karşılanmış ve çok büyük bir saygı görmüştür.
Ciddi astronomi çalışmalarıyla da ünlüdür. İlme çok büyük katkılarda bulunmuştur. Zamanının birçoğunu söylevler vermek ve felsefe yaparak geçirmiştir. Çağdaşlarına göre, ilmi yönüyle ve ilmi düşünceleriyle, birkaç yüzyıl ileridedir. Galile ve Newton gibi, gözleme ve deneye dayanmayan fikir, düşünce ve görüşleri hoş görmemiş ve inanmamıştır.
Yeni keşfedilmiş olan bir uzunluk veya buna karşılık gelen sayı bir tam sayı değildi ve tam sayıların oranı ile ifade edilemiyordu; bu durum, felsefelerini tam sayılar üzerine kuran Pythagorasçıları son derece rahatsız etmişti; ya aritmetikle geometri arasındaki koşutluğu reddedecekler veya irrasyonel sayıların varlığını kabul edeceklerdi. Doğru olan yapıldı ve sayı kavramı irrasyonel sayıları da içine alacak şekilde genişletildi.
Bu işlem aslen bir Pythagorasçı olan Eudoxos tarafından gerçekleştirildi. Eudoxos, daha sonra Eukleides’in Elementler adlı yapıtının V. ve VI. Kitaplarında işlenecek olan genel oranlar kuramı ile sayı kavramına yeni bir içerik kazandırdı.
Bir doğrunun orta orana göre bölünmesine Altın Oran veya Kutsal Oran denir. Yunanlılar, Eudoxos’un bulmuş olduğu altın oranın bir güzelliği ve kutsallığı olduğuna inanırlardı. İrrasyonellerin anlamlandırılması kadar güç olan diğer bir sorun da eğrilerle sınırlanmış olan alanların veya hacimlerin bulunması sorunuydu. Eudoxos, bu sorunu çözmek için, günümüzde tüketme yöntemi denilen yöntemi geliştirmişti.
Bu yöntemle, bilinen bir büyüklüğün, mesela bir doğrunun uzunluğunun, bir bilinmeyenin, mesela bir eğrinin niteliklerine iyice yaklaşıncaya kadar kendi içinde nasıl bölünebileceğini göstermişti. Archimedes’e göre, Eudoxos, piramitlerin ve konilerin hacimlerinin, sırn ve silindirlerin hacimlerinin üçte birine eşit olduğunu kanıtlamak için bu yöntemden yararlanmıştı.
Eudoxus alan, hacim ve bazı cisimlerin yüzölçümlerini bulmuş ve bunlar hakkında birçok teoremin ispatını vermiştir. Gezegenlerin görünen hareketlerini açıklamış ve bu hareketlerinin dairesel olduklarını söylemiştir. Güneş saatini bulan, bir yılın 365 gün 6 saat olduğunu ortaya koyan ilk bilim adamıdır.
Ayrıca Eudoxos, dairelerin alanlarının, çaplarının karesiyle orantılı olduğunu da göstermişti; uygulamış olduğu yöntem bir bakıma, bir dairenin alanını bulmak için, bu dairenin içine çok sayıda çokgen yerleştirme işlemine benziyordu. Eğrilerle sınırlandırılmış geometrik biçimlerin alanlarının ve hacimlerinin hesaplanmasını olanaklı kılan ve daha sonra Eukleides’in Elementler’inin VII. Kitab’ında derinlemesine geliştirilen bu tüketme yöntemi, integral hesabının temeli olarak kabul edilmektedir.
Eudoxos, kurmuş olduğu ortak merkezli küreler sistemi ile bilimsel astronominin öncülüğünü yapmıştır. Uzun bir süre Mısır’da kalmış olduğu için Mısır astronomisinin inceliklerini, buradayken öğrenmiş olduğu düşünülebilir. Mezopotamya bölgesine ve İran’a gitmemiştir; ancak çeşitli milletlerden insanların toplanmış olduğu Knidos’ta Asya bilimine de âşina olması olanaklıdır.
Bugün matematikte kullandığımız ve adına Archimedes aksiyomu dediğimiz aksiyomu yine Eudoxus’a borçluyuz. Bu da onun ünlü orantılı doğrular kuramıdır. İki doğru parçası veya iki sayı verildiğinde, en küçüğünün her zaman en büyüğünü kapsayan bir tam katı vardır. Bu aksiyom, matematik tarihinde uzun yıllar matematik çağlarının konusu olmuştur.
Mısır’dayken Heliopolis rahiplerinden bilgiler edinmiş ve Heliopolis ile Cercesura arasında bulunan bir gözlemevinde gözlemler yapmıştır. Augustus döneminde bu gözlemevinin etkinliklerini sürdürmekte olduğu bilinmektedir. Eudoxos’un da Knidos’ta bir gözlemevi kurduğu ve burada gözlemler yaptığı söylenmektedir.
Yazar: admin
Kategori deperm, fay, matematik, ölçeği, richter, rihter
Deprem veya yer sarsıntıları evrenin ilk hazır olduğu zamandan beri kendini göstermiştir. Enerji bilim uzmanlarına göre aslında bu olay sadece dünyanın enerjisini boşaltma eylemidir. Her yıl dünyada binlerce insan hayatını kaybetmektedir. Peki deprem ve matematik arasında bir ilişki var mı? Varsa nasıl bir uzlaşma içindeler?
Türkiye’de deprem sismik ölçüm merkezi olarak Boğaziçi Üniversitesine bağlı Kandilli rasathanesi önemli bir araştırma merkezi olarak jeolojik olayları yakından takip etmektedir. Deprem şiddeti, deprem derinliği, P ve S dalgaları, magnitute gibi verisel raporlar çıkarmaktadır. Şimdi birkaç deprem ölçümleri üzerinden yorum yapalım.
Bir depremin gücü arttıkça yıkım gücü artar. (Bilinen bir durum)
Bir deprem yeryüzüne ne kadar yakın olursa yıkım gücü artar
Dalga biçiminde yayılan sarsıntıların yıkım etkisi daha büyüktür.
Temel bilmemiz gerekenler bunlardır. Peki 2 şiddetindeki deprem 3 şiddetindeki depremden ne kadar güçlüdür?
Bu hesaplama için logaritma fonksiyonunu kullanalım. Çok zor olmayan basit düzeyde bir logaritma hesaplamasıdır. Bu hesaplamaların ilk bulucusu Charles Richter’dir. Bugün tüm deprem şiddetlerini Richter ölçeğine göre hesaplama yapıyoruz. Sorumuza gelelim 3-2=1 olacaktır. Bu şu anlama gelir 3 şiddetindeki bir deprem 2 şiddetindekinden 10 kat daha fazla şiddette olacaktır. Aynı şekilde 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 olacak ve 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır. Bu sonuçların hesaplanması lise düzeyinde bir logaritma hesabından başka birşey değildir.
Farklı bir soruyla devam etsek, 8.3 şiddetinde olan bir depremden 4 kat daha fazla güce sahip deprem kaç şiddetinde ölçülmüştür?
8.3+log4= 8.3+0.6=8.9 richter ölçeği şiddetinde olacaktır. log4 sayısının değeri ayrıca hesaplanmalıdır. (log4=0.6)
Deprem matematiği üstünde çalışan birçok jeofizikçi depremin ne zaman olacağının bilinemeyeceğini söylüyor. Ayrıca bir depremin bir yeri vurma olasılığının gün geçtikçe artması gerekirken çalışmalar sonucunda azaldığını gözlemlemiştir. Bir bölgede depremin olacağı yine olasılık kuramının yegane bir sonucundan başka bir şey değil. Uzun zamandan beri deprem olmamış bölgelerdeki fay hatlarına bakılır, fay hatlarının kayaları sıkıştırdığının veri analizi çıkarılır ve depremin sıkışmaya bağlı olarak olup olmayacağı tahmin edilir.
California Üniversitesinde deprem araştırmaları yapan iki insan (Lean Knopoff ve Didier Sornette) bir bölgede depremlerin ne denli olacağını araştırmışlar ve şayet bölgede beklenen deprem olmuyorsa depremin olma şansının azalacağını öne sürmüşlerdir. Kullandıkları yöntem eski olasılıkların gelecekte gerçekleşen olasılıkları nasıl etkileyeceğini ifade eden “Bayes Teoremi” ile ilişkilendirmişlerdir. Sornett’e göre bir depremin yakın zamanda olacağı geçmiş sarsıntıların ne yoğunlukta olacağına bağlıdır. Bu ifade de olasılık kuramıyla ilgilenen insanlar için dalgalanma fonksiyonun yoğunluğuna eşittir.
Bazı bölgelerde araştırmacılar 3 yıl gibi geçirerek o bölgede depremsel dalgalanmaların yoğunluk tablosunu çıkararak bölgedeki depremlerin kaç şiddetinde olabileceğini ve hangi zamanlarda yer sarsıntısı olacağını bulmuşlardır. Bu bölgelerden bir tanesi Oregon Bölgesidir. Fakat bu çalışma Arizona bölgesinde hüsranla sonuçlanmıştır. Yoğunluk fonksiyonu “Bayes Kuralı” ile hesaplanırken bu bölgede “Poisson dağılımı” etkili olmuştur. (Bu fonksiyon dağılımlarının ne olduğu hakkında çok detaylı bilgi almak isteyen okur Olasılık ve İstatistik kitaplarından detaylı bir şekilde bilgi edinebilir) Bu bölgede de depremin oluşması için önceden ne kadar depremin olduğunun bir önemi yoktu. Ve eğer bu bölgede deprem oluşmazsa deprem olma olasılığının artması gerekirken (Halkın bildiği teori) azalacağı yönündeydi. Dolayısıyla bir bölgede deprem yoğunluk fonksiyonunun tablosunu çıkarmak için örneklem tablosunun geniş tutulması gerekecektir.
Ayrıca ülkemizde gerçekleşecek ve büyük bir yıkım yaratacak İstanbul depremi 2030 yılına kadar bir süre içerisinde kesin gerçekleşeceği yönünde. Şiddet olarak 7.0 ve 7.5 arası olması öngörülüyor. Marmara bölgesinde bulunan fay hatlarının hareketleri göz önüne alındığında bölgenin hareketli olduğu sismologlar tarafından ifade ediliyor. Yerin gerçekleşme derinliğine bağlı olarak yıkımın büyük olması öngürülüyor.
Yazının bitiminde okurların Gölcük depreminde enkaz altından çıkarılan insanların havanın kıpkırmızı olduğunu ve anlaşılmayan bir ses duyduklarını ifade eden cümleleri sizce ne anlam ifade ediyor?
Her yıl çok sayıda deprem oluyor. Bu depremlerin bir kısmı insanlar tarafından hissedilemeyecek kadar düşük şiddette olurken bazıları sebep oldukları tahribatlar ile felaketlere yol açıyor. Richter büyüklük ölçeği -ya da kısaca Richter ölçeği- depremlerin şiddetini ölçmekte kullanılan, adını en sık duyduğumuz ölçek. Peki, Richter ölçeği tam olarak nedir ve bize depremler hakkında hangi bilgileri verir?
Richter ölçeği 1935 yılında Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından geliştirilmiştir. Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:
ML=log(A/A0(δ))
Bu formülde ML depremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder. Şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için depremin şiddetinin Richter ölçeğine göre 1 birim artması gerçek şiddetinin on katına çıkması anlamına gelir. Ölçeğin geliştirildiği zamandaki teknolojilerle ancak 3 ve daha büyük şiddetteki depremler ölçülebilmesine rağmen, aslında ölçeğin alt sınırı yoktur. Hatta günümüzde var olan hassas sismograflarla Richter ölçeğine göre değeri negatif olan depremleri bile belirlemek mümkündür (Birden küçük sayıların logaritması negatiftir).
Richter ölçeği ile büyüklüğü 8’den fazla olan depremlerin şiddeti ölçülemez. Çok büyük depremlerin şiddetini ölçmek için başka yöntemler kullanılır. Fakat diğer yöntemlere göre yapılan ölçümlerden de kamuya açık yayın organlarında “Richter ölçeğine göre” şeklinde değinilmesi yaygındır.
Richter ölçeği sadece depremin büyüklüğü hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar.
Dünyanın aktif deprem kuşaklarından biri olan Alp-Himalaya deprem kuşağı üzerinde olan ülkemizin yüz ölçümünün % 42’si birinci derece deprem kuşağında yer almaktadır. Bu nedenle deprem ile ilgili biraz daha bilgi sahibi olmak iyi olacaktır.
Sismoloji (Deprem Bilimi) terimi deprem anlamına gelen Yunanca “seismos” ve bir şey hakkında konuşmak anlamına gelen “logos” kelimelerinin birleşiminden oluşur.
Modern sismolojinin babası İrlandalı Robert Mallet olarak kabul edilse de temeli MÖ 4. yüzyılda, yeryüzü sarsıntılarına yeraltı boşluklarındaki hava hareketlerinin neden olduğunu düşünen Aristoteles’e kadar gider.
MS 2. yüzyılda Çinli astronom, şair ve matematikçi Zhang Heng insanların hissetmediği sarsıntıları bile tespit edebilen ilk sismografı icat etmiştir.
Ancak araştırmacılar bugün cisim dalgaları (yerküre içinde hareket eden dalgalar) ve yüzey dalgaları olarak sınıflandırılan sismik dalgaları 20. yüzyılın başlarında tam olarak anlayabildi.
Richter ölçeği Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından 1935’te geliştirilen, bir depremin büyüklüğünü ve sarsıntı oranını ölçmek için kullanılan bir ölçektir.
Daha doğrusu bir zamanlar kullanılıyordu dersek daha doğru olacaktır çünkü şu anda kullandığımız ölçeğin adı Moment Magnitüd Ölçeği. Ancak bu yeni ölçekte Richter ölçeğine göre ayarlandığı için aralarında bizim ayrım yapabilmemiz pek de mümkün değil. Bu geçişin nedeni ise 7’den büyük depremlerde Richter ölçeğinin doğru sonuç verememesi.
Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:
M L = log (A / A 0 (δ))
Bu formülde ML depremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder.
Peki depremleri ifade ederken kullandığımız rakamlar ne anlam ifade etmelidir bizler için…
Öncelikle şunu açıklığa kavuşturalım. Her ne kadar depremler için 6, 7, 8 gibi birer artan ifadeler kullanılsa da aslında şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için bu sayılar logaritmik olarak 10’ar olarak artarlar.
Yani 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 ise 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır.
Richter ölçeği sadece depremin şiddeti hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar. Bunu yaklaşık 30 olarak kabul edersek kabaca 7 şiddetindeki bir depremde salınan enerji miktarı 5 şiddetinde salınandan 900 kat daha büyüktür diyebiliriz.
Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin edemeseler de bunu hayvanlar daha iyi yapabilmekte.
Köpekler, bizim kulaklarımızın duyamadığı çok yüksek frekanslı P dalgalarını duyabiliyor. P dalgaları cisim dalgalarının bir tipidir. Bazen birincil ya da sıkışım dalgası olarak da adlandırılıyor. Diğer dalgalardan daha hızlı yol alıyor ve deprem sırasında ilk tespit edilen dalga tipi olarak biliniyor.
Cisim dalgalarının diğer bir tipi olan S (ikincil) dalgaları daha yavaştır ve parçacıkları dalganın kendisine dik yönde, ya aşağı yukarı ya da yanlara doğru hareket ettirirler.
Günümüzde sismik dalgalar artık anlaşılmış olsa da bilim büyük depremler sırasında ya da öncesinde gökyüzünde görüldüğü bildirilen çok renkli ışıkları henüz açıklayamıyor. Bu ışıklarının görülmesi MÖ 4. yüzyıla kadar dayanıyor. Araştırmacılar bu deprem ışıklarının, büyük sarsıntılardan önce stres arttıkça fay hattında oluşan pozitif yüklerin bir sonucu olabileceğini düşünüyor.
Doğanın güçlerine karşı şu an elimizde tam kesinleşen bir bulgu yok, varsayımlar üzerine konuşuyoruz ancak deprem kuşağında bir coğrafyada yaşadığımıza hatırlayarak bu konu hakkında farkındalık düzeyimizi arttırmamız oldukça önemli bir konudur.
Coğrafi rakamlar sadece mevsim şartları, sıcaklık, nem, derece, yağmur ölçümü vb. Sayılarla açıklanır. Coğrafi koşullar da zengin / fakir bir ülkenin ekonomisini tanımlar. Hindistan gibi birçok ülke, iklimi, yağışları, nehirleri ve hava durumu tahminleri nedeniyle tarımsal ekonomiye sahiptir.
Harita Oluşturmada, Gece ve Günlerin Oluşumu, Güneş ve Ay Tutulması, Boylam Enlem, Maksimum ve Minimum Sıcaklık, Barometrik Basınç, Deniz Seviyesinden Yükseklik, Yer Ölçümü, Uluslararası, Yerel ve Standart Zamanın Hesaplanması, Araçlar vb. Ve işte başka birçok hesaplama da var. Pencap, Haryana ve UP Hindistan’da çok verimli ülkelerdir, bu yüzden tahıl dükkanlarına katkıda bulunurlar, orada endüstriler kurulur ama bu eyaletlerde mayın yoktur.
Coğrafyada matematiğin kullanıldığı çeşitli yollardan söz edilir. Düzlem Öklid geometrisi alandaki küçük alanların araştırılmasında kullanılırken, matematiksel coğrafyanın her iki geleneksel öğesi olan harita çıkıntılarının yapımında küresel geometri ve trigonometri gerekir.
Matematiğin coğrafyaya yeni uygulanmasında ağların mekânsal analizinde topoloji giderek daha fazla kullanılmaktadır.
Grafik teorisi, drenaj desenleri gibi çeşitli ağ türlerini tanımlamak için endeksler sağlar.
Jeomorfolojideki dinamik süreçleri incelemek için diferansiyel denklemler gerekir. Bölgesel coğrafya verilerinin tanımlanması ve analizinde trend yüzey analizi, faktör analizi, küme analizi ve çoklu ayırıcı analiz gibi istatistiksel teknikler uygulanabilir.
Coğrafyadaki sorunları basitleştirmek için matematiksel modeller çeşitli şekillerde kullanılmaktadır.
Yerçekimi modeli gibi analog modellerin örneklerinden bahsedilmiştir.
Simülasyon modelleri ve Markov zinciri stokastik modelleri belirli coğrafi süreçlerin çalışılmasında değerlidir.
Oyun teorisi kısaca belirtilmiştir. Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir.
Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir.
Coğrafya, matematiksel teknikleri benimsemede nicel değer ve hassasiyet konusunda büyük kazanım sağlamıştır.
Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir.
Matematiğin Müzik ile ilgili olduğunu göstermek için bu konuyu oluşturmaya karar verdik, çünkü birçok kişi müzikte Matematik olduğu gerçeğini görmezden geliyor. Belki Math’ı sevmiyorsun ama endişelenme; Her bir kavramı basit bir şekilde anlatmaya çalışacağız, sadece sese olan duyarlılığımızın beynimizdeki mantığa bağlı olduğunu bilmeniz için. Bu gerçekten ilginç, bu yüzden önyargılarını bir kenara bırak. İyi öğrenildiğinde tüm bilgiler güzeldir.
Müzik konusundaki matematik konusuna gitmeden önce, bazı temel kavramları hatırlayalım.
Müzikte Fizik
Tamam, buradaki web sitesinde ilk başlıklarda , sesin bir dalga olduğunu ve sesin frekansının müzik notunutanımlayan şey olduğunu yorumladık . Fakat frekans nedir? Bu bir tekrarlamadır. Örneğin, bir bisiklet tekerleğinin döndüğünü hayal edin. Bu tekerlek 1 saniyede bir dönüş yaparsa, bu tekerlek frekansının “saniyede bir dönüş” veya “bir Hertz” olduğunu söylüyoruz. Hertz, yalnızca bir frekans birimini temsil eden bir addır ve normal olarak “Hz” ile kısaltılır. Örneğimizin bu tekerleği saniyede 10 tur tamamlarsa, frekansı 10 Hertz (10 Hz) olacaktır.
Güzel, ama sesle bağlantı nerede? Ses bir dalgadır ve bu dalga belirli bir frekansta salınır. Bir ses dalgası bir saniyede bir salınımı tamamlarsa, frekansı 1 Hz olacaktır. Bir saniyede 10 salınımı tamamlarsa, frekansı 10 Hz olacaktır. Her frekans için farklı bir sese (farklı bir nota) sahip olacağız. Örneğin bir not, 440 Hz’lik bir frekansa karşılık gelir.
Müzikte matematik
Ve Matematik müzikte nereye girer? Bir frekans 2 ile çarpıldığında notun hala aynı olduğu görülmüştür. Örneğin, 2 = 880 Hz ile çarpılan A (440 Hz) ayrıca bir A’dır, ancak sadece bir oktavdır . Eğer hedef bir oktavı düşürmek olsaydı, sadece 2’ye bölünmesi yeterli olurdu, o zaman bir not ile onun notunun ½ arasında bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz.
Çok iyi, devam etmeden önce, geçmişe, Eski Yunanistan’a dönelim. O zamanlar Pisagor adında bir adam vardı ve Matematiğe (ve müziğe) gerçekten önemli keşifler yaptı. Oktavlar hakkında gösterdiğimiz şey, gerilmiş bir dizeyle “oynamayı” keşfetti. Ekstremitelerine bağlı gerilmiş bir ip hayal edin. Bu dizgiye dokunduğumuzda titrer (aşağıdaki çizime bakın):
Pisagor, bu ipi iki parçaya bölmeye karar verdi ve her ekstremiteye tekrar dokundu. Üretilen ses aynıydı, ama daha akuttu (çünkü yukarıdaki bir oktav aynı nota idi):
Pisagor orada durmadı. İp 3 parçaya bölünmüşse sesin nasıl olacağını deneyimlemeye karar verdi:
Yeni bir sesin çıktığını fark etti; öncekinden farklı. Bu sefer, yukarıdaki bir oktavla aynı nota değil, başka bir isim alması gereken farklı bir nota değildi. Bu ses, farklı olmasının yanı sıra, bir öncekiyle iyi çalıştı, kulağa hoş bir uyum yarattı, çünkü bu bölümler şimdiye kadar Matematik ilişkilerinin 1/2 ve 2/3 olduğunu gösterdi (beynimiz iyi tanımlanmış mantık ilişkilerini sever).
Böylece alt bölümler yapmaya ve sesleri matematiksel olarak ölçekler yaratan ölçekler yaratarak birleştirerek, daha sonra bu ölçekleri çalabilecek müzik aletleri yaratılmasını teşvik etti. Tonlu aralığı, örneğin, bu ses dengesiz ve gergin dikkate almak beynimizi kılan bir ilişki 32/45, karmaşık ve yanlış ilişki, faktör elde edilmiştir. Zamanla, notlar bugün bildiğimiz isimleri alıyordu.
Matematik ve müzik ölçekleri
Birçok halk ve kültür kendi müzik ölçeklerini yarattı . Buna bir örnek, Pisagor fikriyle başlayan (dizeleri kullanan) Çin halkıdır.
Uzatılmış bir dizgede C çaldılar ve daha önce gösterdiğimiz gibi bu dizgiyi 3 parçaya böldüler. Bu bölümün sonucu G notu oldu. Bu notların uyumu olduğunu fark ettim; G ile başlayan prosedürü tekrarladılar, bu ipi tekrar 3 parçaya böldüler, D notu elde ettiler. Bu not, G ve C ile hoş bir uyum gösterdi. Bu prosedür D’den başlayarak A ile sonuçlandı. A’dan başlayarak, E aldılar.
Bu ipi tekrar üç parçaya bölme prosedürünü bir kez daha tekrarladılar ve B ile sonuçlandılar, çünkü bir sorun vardı, çünkü B C ile oynandığında iyi uymuyordu (deneyin ilk notu). Aslında, bu notlar birbirlerine “yakın bir rahatsızlığa” neden olan birbirine çok yakındı.
Bu nedenle Çin, B’yi bir kenara alarak C, G, D, A ve E notlarını alarak bölümlerini tamamladı. Bu notalar, Çin Notaları için temel teşkil etti ve 5 nota ( Pentatonic ) ile ölçeklendi . Bu Pentatonik Ölçek, hoş ve ünsüz olmak için, her zaman uyum ve istikrarla bağlantılı olan Oryantal Kültürü çok iyi temsil etti.
Pentatonic Scale, yaratılışından bu yana, “ Pentatonic Scale ” başlığında söylediğimiz gibi, melodiler için iyi bir seçenek . Ama şimdi notların ve frekansların konusuna dönelim, çünkü ölçeğin 5 notunu gösterdik.
12 notun matematiği
12 nota ile çalışan batı müziği B notalarını Oryantal Kültür’ün yaptığı gibi atmadı. Batılı insanlar, C ve B notalarının birbirine yakın olduğunu gözlemledi ve daha kapsamlı bir ölçek oluşturmaya karar verdi. Bu ölçekte, tüm notlar birbiri ile aynı mesafeye sahip olmalıdır. Ve bu mesafe C ve B (bir yarı ton ) arasındaki aralık olmalıdır . Başka bir deyişle, C ve D arasında, örneğin, bir ara not bulunmalıdır, çünkü C ve D (bir ton) arasındaki mesafe C ve B mesafesinden (bir yarı ton) daha büyüktür. Bir frekans analizi yoluyla, B notundaki frekansın 1.0595 sayısı ile çarpılmasının C frekansına geleceğimiz keşfedildi.
B frekansı: 246.9 Hz
C frekansı: 261.6 Hz
B frekansını 1.0595 ile çarparak şöyle olur:
246.9 x 1.0595 = 261.6 Hz (not C).
Amaç, diğer notalarla aynı ilişkiyi (mesafeyi) korumak olduğundan, bu notu C’den sonra hangi notun geleceğini bulmak için kullanacağız. C sıklığının 1.0595 ile çarpılması:
261.6 x 1.0595 = 277.2 Hz (keskin Not C)
C keskininden sonra ne olduğunu görmek için bu prosedürü tekrarlayın:
277.2 x 1.0595 = 293.6 Hz (not D)
Bu mantığı izleyerek tüm kromatik ölçeği oluşturabileceğimize dikkat edin ! Başka bir deyişle, C sıklığını on iki kez “1.0595” sayısıyla çarptıktan sonra, C’ye geri döneceğiz. Bu, “1.0595”, 12 √2 karekökünün sonucuna karşılık geldiği için mümkündür . 12 √2 ‘nin 12 kez kendi kendine çarptığına dikkat edin ( 12 √2) 12 = 2. Ve zaten 2 ile çarpılmış bir notun yukarıda bir oktav olduğunu gördük.
Şimdi bu sayıların tesadüfen gelmediğini açıkça görebiliyoruz. Başlangıçtan bu yana amaç, ölçeği ilk notun geri döneceği şekilde 12 aynı bölüme ölçek ayırmaktı.
O böyle oldu Eşit Ilıman Ölçeği da Kromatik olarak adlandırılan çıktı.
Müzikte Logaritma
Çok fazla ayrıntıya girmeyeceğiz, ama biraz Math’ı bilenler burada 2 numaralı logaritma ile çalıştığımızı fark ettiler. Bu nedenle, piyano yapımcıları piyano gövdesinde bir logaritma grafiği oluşturduğunu Müzikal Matematik Keşfi’ne referans vermek için. Kontrol et:
Logaritma grafiği örneği:
Vücut planı:
Müzikle ilgili birçok soruya daha birçok Matematiksel açıklama var, ama onları burada göstermek için Matematikte ileri konu hakkında konuşmak gerekir, Fourier dizileri, Riemann Zeta Fonksiyonu, vb. daha derine inme
Buradaki amacımız müziğin matematiksel olarak nasıl çalıştığını ve beynimizdeki mantıksal ilişkilerin nasıl anlaşıldığını, huzur ve gerginliği yarattığını göstermekti. Açıkçası, yaklaşımı kullanarak her şeyi yaptık (yuvarlak sayılar), çünkü daha doğru bir analiz okuyucuların çoğuna sıkıcı gelecektir.
Bu konuda öğrettiğimiz her şeyi ezberlemek gerekli değildir; sadece müziğin hiçbir yerden gelmediğini düşün. Müzik, sayısal bir organizasyonun sonucudur. Bütün bunların yorumlanması, harika ve gizemli beynimiz tarafından yapılır.
Sonuç olarak, eğer bir müzisyenseniz, yani (bir şekilde veya başka bir) matematikçisiniz, çünkü müzik dinlerken hissedeceğiniz zevk duyguları bilinçaltı hesaplamaları gizler. Beyniniz hesaplamaları sever, bu bir hesaplama makinesidir! Ne kadar çok pratik yapar, müzik okur ve bilir, bu fakülte o kadar çok gelişir. Muhtemelen daha önce size büyük hisler getirmeyen şarkıları dinlerken zevk almaya başlayacaksınız.
Bunu ilk yarıyılda Fizik öğrencisiyle karşılaştırabiliriz. Modern bir Fizik kitabı okursa, ona Yunanca gibi görünür. Ona hiç zevk vermeyecek. Fakat birkaç yıl sonra iyi bir Matematik temeline sahip olacağı ve bu kitapla yeniden yüzleşeceği zaman, belki konuyu sevebilir ve hayatının geri kalanını bunun içinde geçirmek isteyebilir.
Gökbilimci Galileo Galilei, 1623’te tüm evrenin “matematik dilinde yazıldığını” gözlemledi ve gerçekten de, bilim ve toplumun matematiksel düşüncelerle yönetilme derecesi dikkate değer. Belki de daha da şaşırtıcı olan, müziğin, bütün tutkusu ve duygusuyla birlikte, matematiksel ilişkilere dayanmasıdır. Oktav, akor, pul ve anahtar gibi müzikal kavramların hepsi basit matematik kullanılarak basitçe anlaşılabilir ve anlaşılabilir.
Adım: dalga frekansları
Müzik sihirle yayılıyor, pahalı müzik setinizden kaçıyor – ya da yüksek sesle geçen bir araba radyosundan ya da gitar çalınan bir maestrodan – ve kulak zarlarınızı tek bir baskınla dolduruyor. Aslında, ses havada bir dalga olarak ilerler ve ses bir atmosfer olmadan üretilemez. (Ya da korku filmlerinin söylediği gibi: uzayda kimse çığlık attığını duyamaz.)
Bir ses dalgası daha yüksek ve daha düşük hava basıncının küçük ceplerine neden olur ve duyduğumuz tüm seslere bu basınç değişikliklerinden kaynaklanır. Müzik ile bu ceplerin kulağınıza çarpma sıklığı duyduğunuz ses tonunu kontrol eder.
Örneğin, “Orta C” (genellikle piyano derslerinde öğrenilen ilk nota) adlı notu düşünün. Bu not yaklaşık 262 Hertz frekansına sahiptir. Bu, Orta C çalındığında, her saniye kulağınıza 262 cep daha yüksek hava basıncı çarpması anlamına gelir. Aynı şekilde, hava cepleri o kadar hızlı gelir ki, bir cep her 0.00382 saniyede bir kulağınıza vurur. Bir cep havası geldiğinde her seferinde bir X koyarak bir grafik çizebiliriz:
Bu grafik, Orta C’nin bir tür “resmini” sağlar. Kendi başına bize fazla bir şey söylemez. Ancak, bu tür grafikler farklı müzik notaları arasındaki ilişkilere yeni bir bakış açısı sağlar.
Temel bir kural, daha yüksek eğimli notaların daha sık hava cebi girişlerine karşılık gelen daha yüksek bir frekansa sahip olmasıdır. Örneğin, Orta G notu (Orta C’den daha yüksek yedi ton), saniyede 392 hava cebine karşılık gelen yaklaşık 392 Hertz frekansına veya gelenler arasında saniyede 0.00255 saniyelik bir zaman dilimine sahiptir:
Daha yüksek nota sahip (Orta G) hava cepleri daha sık gelir – daha yüksek bir frekansa ve dolayısıyla grafikteki daha fazla X’e karşılık gelir.
Bir ambulans sireni veya bir tren düdüğü dikkatlice dinlerseniz, araç yaklaşırken gürültünün daha yüksek ve araç geçtikten sonra daha alçakta olduğunu fark edeceksiniz. Bunun sebebi, yaklaşan hareketin X’leri bir araya sıkıştırması, daha sık gelmesi ve daha yüksek bir adım üretmesidir, çıkış hareketi X’in gerilmesi ve daha düşük bir adım üretmesidir. Bu, eylemdeki müzikal frekanstır.
Peki bu bize nasıl yardımcı oluyor? Eh, ses frekansları bilgisini dikkatli kullanarak, oktav ve akor gibi müzikal gizemleri çözülebilir.
Eğlenceyi ikiye katlayın: Octaves
Hiçbir nota, birbirinden tamamen tek oktav olanlardan daha iyi uymuyor. Orta C ve Yüksek C veya Orta G ve Yüksek G gibi nota çiftleri. Bu tür çiftler, popüler bir müzikte, gökkuşağının üzerindeki klasik Somewhere’in ilk iki notadaki gibi , ya da ilk “Ben şarkı … ” Yağmurda şarkı söylemek – ya da üçüncü doğum günün kutlu olsun ilk iki notu .
Genellikle bir senfonide, bir enstrüman (keman gibi), başka bir enstrümanınkinden bir oktav (kontrbas gibi) çalar. Piyano düzenlemeleri kaçınılmaz olarak farklı oktavlarda aynı notayı içerir. Mavi ya da caz müziğinin doğaçlama yaparken, pek hangi konularda oktav , oynamak için tercih sadece notlar hangi içinde size oynamayı tercih oktav. Bir oktav olan Notlar, neredeyse aynı nota veya en azından aynı nota yeni bir varyasyona benzer.
Notları bir oktavın birbiriyle çok iyi uymasını sağlayan şey nedir? Orta C’nin tam üzerinde bir oktav olan Not Yüksek C’yi düşünün.
Yüksek C için hava cepleri her 0.00191 saniyede bir gelir. Bu tam olarak Orta C’nin zaman periyodunun yarısıdır (ya da sıklığının iki katı). Yüksek C’nin gelişi rastgele ya da keyfi değil ya da şapkadan seçilmemiştir. Daha ziyade, bunlar kesinlikle Orta C’ye gelenlerin iki katı.
Bu, oktavların evrensel bir gerçeğidir. Bir oktav yukarı çıkmak her zaman frekansı iki katına çıkarmakla aynıdır. Yüksek C sıklığının Orta C’nin iki katı olduğu gibi, Yüksek D’nin sıklığı da Orta D’nin iki katıdır. Bir oktavın birbirinden ayrı olduğuna dair notlar her zaman bu temel ilişki tarafından birleştirilir.
Hem Orta C hem de Yüksek C’yi aynı anda oynarsak, hava cepleri belirli bir düzende birbirine uyar:
Yüksek C sıklığı, Orta C’nin tam olarak iki katı olduğundan, iki nota mükemmel bir şekilde sıralanır. High C’ye giden her iki hava cebi , Middle C’ye bir varışa mükemmel şekilde karşılık gelir . İki notadaki X’ler tam olarak eşleşir. İki notun birbirine çok iyi uymasının ve gerçekte neredeyse aynı olmasının nedeni budur. Yüksek basınçlı hava cepleri mükemmel senkronizasyona ulaşıyor.
Benzer şekilde, Yüksek D’nin Orta D’ye çok iyi uymasının ve gerçekte herhangi bir notun yukarıda veya altında bir oktav nota ile çok iyi uymasının nedeni de budur. Her durumda, bir notun sıklığı diğerinin frekansının tam olarak iki katıdır ve mükemmel bir uyum sağlar.
Bunu görmenin kolay bir yolu bir gitarda. Orada, on ikinci perdede gitar teli basmak teli tam olarak yarıya indirir. Bu, tam olarak iki kat daha hızlı titreştirir. Bu iki kat daha yüksek bir frekansa neden olur ve bu nedenle bir oktav daha yüksek bir nota karşılık gelir. Örneğin, bir gitarın ilk teli normalde Orta E’ye ayarlanmıştır. On ikinci perdeyle aynı teli çalmak, frekansı iki kat daha yüksek olan bir oktav notu olan Yüksek E üretir.
Aynı desen oktavları arttırdıkça devam ediyor. Orta C’nin üstündeki iki oktav (bazen Yüksek Yüksek C olarak adlandırılır), Orta C’nin dört katı frekansa sahiptir. Ve bunun üstünde bir oktav olan Sekizinci Orta C’ninkinin frekansına sahiptir. oktav ve sonsuza dek frekansları iki katına çıkarmak – ancak belirli bir noktadan sonra, notlar yalnızca köpeklerin duyabileceği kadar yüksek olurdu.
Mükemmel uyum içinde
Bir oktavın birbirinden çok iyi uyduğuna dikkat edin. Bir anlamda, birbirlerine çok iyi uyuyorlar. Birlikte Orta C ve Yüksek C oynarsanız, o zaman hiçbir uyumsuzluk yoktur. Ancak, sonuç bir tür oyuk hatta sıkıcı geliyor. Başka notlar da getirirsek akorlar gibi daha ilginç kombinasyonlar ortaya çıkar. Ama hangi notalar kulağa hoş geliyor, hangileri kulağa hoş gelmiyor?
Orta C ve Orta G notalarını göz önünde bulundurun. Aslında, bu notalar “beşinci” bir aralık oluşturur ve birbirine iyi uyar. Ama bu neden? Peki, dalga grafiklerini birlikte inceleyelim:
Middle C’nin her ikinci gelişinin, Middle G’nin üçüncü gelişiyle neredeyse mükemmel bir şekilde hizaya geldiğini görüyoruz, bir kez daha, iki dalga paterni birbirine iyi uyuyor. İki nota çarpışma yerine birbirini tamamlıyor. Bu yüzden pek çok müzik C ve G notalarını içerir – gümüş huş ağacı Land’in korosunun ilk iki notasından, Star Wars müzikal temasının ilk iki notasına kadar .
Middle G için 3 zaman periyodu Middle C için 2 zaman periyoduna karşılık geldiğinden, Middle G’nin frekansının Middle C’nin 3/2 katı kadar olduğunu söyleyebiliriz. 3/2 güzel, basit bir kesirdir. , bu yüzden C ve G birlikte iyi geliyor.
Buna karşılık, C ve F-Sharp notaları birbirine iyi uymuyor. Eğer bu iki not birleştirilirse, kulağa doğru gelmiyor. Nadiren, en azından sürekli bir şekilde olmayan, müzik besteleri veya herhangi bir tür şarkıda çift olarak görünürler. Grafiklerine bir bakış nedenini açıklar:
Bu sefer, X’ler sıraya girmedi. Birbirleriyle basit ilişkileri yoktur. Uyum sadece orada değil. (Pekala, C için beş zaman periyodunun yedi F-Sharp periyodundan çok uzakta olmadığı doğrudur . bekleyin.) Yani, C’yi F-Sharp ile birleştirmek çok iyi değil, fakat C’yi G ile birleştirmek iyi çalışıyor. Bu temel gerçekler, en sevdiğiniz müzik tarzından bağımsız olarak uygulanır.
Bir akor vuruşu
C ve G notalarını birleştirmek, iyi fakat çok heyecan verici olmayan bir ses çıkarır. Gerçekten hoş bir ses elde etmek için üçüncü bir not ekleyelim: E. Orta E, Orta C’nin üzerinde dört yarı ton (“üçüncü bir” “) ve Orta G’nin altında üç yarı ton (” küçük bir üçüncü “) iken Her üç nota birlikte çalınır, berber dörtlüsü gibi tatlı bir şekilde uyumlu, mutlu bir ses olan “C ana akor” u oluşturur. Row, kürek, kürek, kürek ve Mozart ve Beethoven ve Major Major Major’daki senfoniler ve Schubert gibi çeşitli müzikler için temel oluşturur .
Bu üç nota neden – C, E ve G – birlikte çok tatlı geliyor? Bir bakalım.
X’in çizgisinin kesin olarak mükemmel bir şekilde sıralandığını görüyoruz. Aslında, Orta C için 4 zaman periyodu ve Orta E için 5 zaman periyodu ve Orta G için 6 zaman periyodu pratik olarak eşittir. Yani, her 0,015 saniyede bir, X’lerin hepsi aynı hizada.
Bu nedenle, X’lerin belirli bir kısmı bu üç not için sıraya girmese de, epey bir kısmı öyle. Çeşitlilik ve tutarlılığın bu birleşimi, insanlık için bilinen en hoş seslerden biri ve Mendelssohn’dan Metallica’ya kadar olan melodilerin temeli olan C Major akorunu üretmek için gereken şeydir.
Bu yüzden, insanlığın güzel müzik arayışı, farklı notaların hava ceplerinin X’lerini dizmek için yaratıcı ve ilginç yollar bulmak anlamına geliyor.
Öfke, öfke
Öyleyse neden C ve G notaları birbirine iyi uyuyor, ancak C ve F-Sharp notaları uymuyor mu? Hangi notaların X’lerinin sıralanmasına ve hangi notaların sıralanmayacağına kim karar verir? Cevap, matematik karar verir!
Yüksek C’nin, Orta C’den iki kat daha büyük bir frekansa sahip olduğunu unutmayın. ve benzeri – Orta C ve Yüksek C arasında sıkışmış. Frekansları nelerdir? Nasıl uyuyorlar?
Erken müzisyenler – BCE altıncı yüzyılın Yunan matematikçi ve müzisyen Pisagoru kadar – her anahtar için özel olarak müzik aletleri ayarladılar. Örneğin, C tuşunda oynarken, Middle G notu, frekansı Middle C’nin tam olarak 3/2 katı olacak şekilde ayarlanmış olacak ve bu , X’in çizgisine tam olarak uymasını sağlayacak, böylece notlar tam olarak birbirine uyacak. . Ancak, bu sistem hangi notaları çalmayı planladığınıza veya hangi anahtarda müzik yazdığınıza bağlı olarak farklı ayarlamalar gerektiriyordu.
Son birkaç yüz yılda, bunun yerine daha evrensel bir sistem kullanılmıştır. Eşit tavlama denilen, iyi tavlamanın bir sürümü olarak adlandırılan bu sistem, oktavın on iki notalarını eşit olarak yerleştirir. Bu şekilde, seçilen tuşa veya çalınan müziğe bakılmaksızın tek bir ayar kullanılabilir.
Eşit tavlama, her oktavı on iki eşit yarı-tona ayırmak için bir sistemdir. Her bir oktav, frekansı 2 katıyla çarpmayı temsil ettiğinden , her yarı ton, frekansı 2’nin on ikinci köküyle çarpmayı temsil eder – on iki kopya hep birlikte çarpıldığında iki üreten sayı. Bu sayı yaklaşık 1.059463’tür, çünkü hepsi birlikte çarpılan 1.059463’ün on iki kopyası 2’ye eşittir.
Peki bu ne anlama geliyor? Orta C ile taban olarak başlarsak, Orta C’nin yarı tonu üzerinde olan Orta C-Sharp, Orta C’nin 1.059463 katı olan Orta C’den daha büyük olan bir frekansa sahiptir. 1.059463 ile çarpılan 1.059463 veya 1.122462 ile çarpılan bir frekans.
Bu şekilde devam edersek, sonunda Orta G’ye, Orta C’nin üzerinde yedi yarı tona ulaşıyoruz. Orta G’nin frekansı, Orta C’nin 1.498307 katıdır.
Fakat bekle. 1.498307, neredeyse tamamen 1.5 veya 3/2 ile aynıdır. Bu, neden Orta G için her üç zaman diliminde, Orta C için iki zaman dönemine karşılık geldiğini açıklar. İki frekansın, basit bir oranı vardır, 3/2, ve bu yüzden birbirine çok iyi uyuyorlar.
Benzer şekilde, Orta E’nin frekansı Orta C’nin 1.259921 katıdır. Bu oran 1.25 veya 5 / 4’e çok yakındır ve Orta E için her beş zaman periyodunun neden Orta C için dört zaman periyoduna karşılık geldiğini açıklar. G, not E de C ile iyi uyuyor.
Bir başka iyi örnek, frekansı Orta C’nin 1.334840 katı olan Orta F notudur. Bu, 1.333333 veya 4/3’e çok yakındır. Ve gerçekten de, C ve F aynı zamanda iyi uyum sağlarlar (aralıklarına “dördüncü” denir).
Öte yandan, Middle F-Sharp’ın, Orta C’nin 1.414214 katı olan bir frekansı vardır. 1.414214 sayısı, herhangi bir basit basit kesime çok yakın değildir (1,4 veya 7/5’den çok uzak değildir, ama 7 gibi rakamlar fazla yardımcı olamayacak kadar büyüktür). Bu nedenle F-Sharp ve C notaları birbirine iyi uymuyor.
Bu nedenle, hangi notaların birbirine iyi uyduğunu bulmak için, deneme, yanılma ya da müzik teorisini yıllarca incelemeye gerek yok. Eşit tavlama ilkesini hatırlamamız ve basit bir frekans oranı alıp almadığımızı görmek için birlikte 1.059463 kopyalarını çoğaltmamız gerekir.
Anahtarın kilidini açma
Deneyimli müzisyenler her zaman hangi anahtarın çalınacağını tartışırlar. Bir caz müzisyeni için, ritim aldığımda, ritim aldığımda , “Tabii dostum. Hangi anahtar?”
Bir şarkının anahtarını değiştirmek tüm notları aynı miktarda artırır veya azaltır. Bu değişiklik, şarkıyı belirli bir müzik aletinde çalmayı daha uygun hale getirebilir veya bir vokalistin eşlik etmesi için daha rahat hale getirebilir. Düzgün yapılırsa, anahtar değişikliğinin, şarkının “sesler” üzerinde hiçbir etkisi olmamalıdır – yeni anahtarda eskisi kadar tanınabilir, tıpkı güzel ve aynı derecede çekici olmalıdır. Aslında, tam olarak aynı şarkı olmalı, sadece daha yüksek veya daha düşük bir adımda yapılmalıdır.
Bu nasıl olabilir? Bir şarkı nasıl aynı olabilir ama farklı olabilir? Sesi değiştirmeden perdesi nasıl değiştirebiliriz?
Frekans anlayışımızdan cevap açıktır. Notları yükseltmek (diyelim) için, frekanslarını daha hızlı yaparız, yani X’leri birbirine yaklaştırır. Fakat şarkıyı aynı yapmak için, X’ler arasındaki ilişkileri tıpkı eskisi gibi bırakıyoruz . Her X satırını aynı faktörle sıkıştırıyoruz. Aynı şekilde, her notu tam olarak aynı sayıda yarı ton yükseltiriz.
Örneğin, C anahtarında bir şarkı çaldığınızı ve önceki gibi C, E ve G notaları olan bir C Major akor kullandığınızı varsayalım. Daha sonra E’nin anahtarına geçmek ve bunun yerine E Major akorunu kullanmak istersiniz. Bunu nasıl yapıyorsun?
Peki, Orta C’yi Orta E olarak değiştirmek için notu dört yarı ton kadar yükseltmeniz veya frekansı 1.259921 ile aynı değerde çarpmanız gerekir. Bu yüzden, akorun sesini korumak için , diğer iki nota ile aynı şeyi yapmanız gerekir . Ayrıca Orta E, Orta G-Sharp’a dönüşmek için frekansı 1.259921 ile çarpan dört yarı ton kadar yükselir. Ve, Middle G dört yarı tondan High B’ye yükseldi. Sonuçta ortaya çıkan hava cep gelişleri şöyle gözüküyor:
Böylece, dört yarı ton (veya 1.259921 faktörü) dışında, C Major’a benzeyen bir Akordu E Major oluşturduk. E Major akoru, daha önce gördüğümüz C Major akoru kadar tatlı, aynı derecede hoş geliyor. Tek fark, E Major akorunun biraz daha yüksek olması. Anahtarları C’den E’ye başarıyla değiştirdik.
Bu E Major akoru (E, G-Sharp ve B’den oluşan) ve önceki C Major akoru (C, E ve G’den oluşan) arasında birçok benzerlik vardır. Her birinde, üst sıradaki her dört boşluk ve orta sıradaki her beş boşluk ve alt sıradaki altı boşluk, hepsi iyi sıraya dizildi. Böylece, her küçük zamanda, üç satır için de X’ler neredeyse birbirlerinin üzerindedir. Bu yüzden iki akor aynı hoş sese sahip.
Öte yandan, E Major için bu birleşme daha hızlı gerçekleşir. C Major için, X’in her 0.015 saniyede bir kez sıralaması, E Major için ise her 0.012 saniyede bir kez sıraya girmesi. Bu yüzden, E Major – her bakımdan C Major’a benzer şekilde ses çıkarırken – vokalistin iyi takdir edebileceği gerçeği de biraz daha yüksek.
Bu yüzden bir dahaki sefere yeni caz müziğine olan muzaffer performansında güzel bir yıldıza eşlik ediyorsun ve sana dönüp göz kırparak, “Bu sefer C yerine E tuşuyla yapalım” diyor panik. Tüm frekanslarınızı 1.259921 faktörü ile yükseltin ve izleyicinin vahşi alkışını bekleyin.
Ünlü Yunan filozofu ve matematikçi Pisagor, bir keresinde “tellerin uğultusunda geometri var, kürelerin arasında bir müzik var” dedi. Pythagoras aslında bu ifadeyi doğrudan bir şiir olarak yorumluyor olsa da müzik ve matematik arasındaki ilişki. Görüyorsunuz, müzik tamamen matematikle iç içedir, öyle ki temel bir akor bile matematiksel olarak tanımlanabilir. Müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı daha da vurgulamak için, matematiği dalga frekansları, ölçekler, aralıklar ve sesler gibi ortak müzikal kavramlarda inceleyelim.
Müzik ve Matematik Çalışmaları Tarihi
Müziğin performans ve zevk için uzun süredir çaldığı yaygın bir bilgi olmasına rağmen, müzik çalışması, özellikle de matematikle ilişkisi, performans için müzik kadar eşit bir şekilde devam etmektedir. Yunanlılardan Mısırlılara, Kızılderililere, Çinlilere, hemen hemen her eski uygar kültür, müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı inceledi . Ünlü filozof Plato’nun müziğe, özellikle de uyumlara aşırı bir ilgi duyduğu ve hem bireyin hem de toplumdaki önemini vurgulamasına yardımcı olduğu biliniyordu. Müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin önemini tespit eden tek filozof Plato değildi – antik Çin filozofu Konfüçyüs’ün müzik içerisinde bir takım temel gerçekler olduğunu söylediği söylenir.
Dalga frekansları
Müzik dinlediğimizde, bir şarkı ya da nota koleksiyonu duyduğumuzu varsayıyoruz, ancak beynimizin aslında işlediği ses dalgaları. Örneğin, bir nota çalındığında, ses dalgaları bir enstrümandan veya amplifikatörden hareket eder ve kulak davullarımızda yankılanır ve beynimize hangi adımın veya notanın çalındığını söyleyen bu ses dalgasının frekansıdır (örneğin orta C’nin üstündeki E yaklaşık 329.63 Hz’de yankılanır). Ses dalgalarını anlamak, özellikle de oktav notaları arasındaki fark biraz matematik ve fizik gerektirir. Belirli bir notun sıklığını bulmak için, sabit bir not alın (geleneksel olarak 440Hz frekansı olan A’nın orta C’sidir) ve 2 adımın on iki kökü ile çarparak yarım adım öteye kadar İstediğiniz not orta A’dan (not orta A’nın altındaysa), gücü negatif yapın). Bu seni şaşırtıyorsa, endişelenme! Aşağıda orta C frekansının nasıl bulunacağına bir örnek verilmiştir:
Bazı notaların veya aralıkların birlikte çalındığında neden hoş göründüğünü merak ediyorsanız, bunun için de matematiksel bir açıklama var! Yukarıda gösterildiği gibi, her notun benzersiz bir frekansı vardır, ancak bir araya getirildiğinde, bu frekansların tümü güzel bir harmonik akor yapmaz. Aslında, bazı not kombinasyonları oldukça delici ve sert gelebilir. Peki ne verir? Güzel bir sondaj akoru yapan aralıklar, benzer düzenlerde yankılanan ses dalgalarına sahip olma eğilimindedir. A (440 Hz) ve E (659.25 Hz) olan orta A ana aralığına bakalım. Her ses dalgasını inceliyorsanız, altta A, üstte E ise, E’nin frekansının A’nınkinden yaklaşık 3/2 daha büyük olduğu ve kolay ve sindirilebilir bir fraksiyon yaptığı anlaşılacaktır. Bu basit matematiksel ilişki, büyük ölçüde iki notun birlikte çok hoş görünmesine neden olurken, daha soyut bir kesir daha hoş olmayan, daha az hoş bir sesle sonuçlanacaktır.
Sınıfta Müzik ve Matematik
Müzik ve matematik arasındaki bağlantılar geniş ve karmaşık görünebilir, bu yüzden yardım etmek için, sınıfta müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin birkaç farklı yolu:
Desen etkinlikleri
Öğrencilerin bir deseni analiz etmelerini ve ardından kalıbın kurallarını bildirmelerini sağlayın.
Sonra, sıradakileri tahmin etmek için kuralı kullanmalarını sağlayın.
Notları ve dinlendirmeleri ekleme ve çıkarma
Kesirleri daha iyi anlamak için kompozisyonları inceleyin
Şekilleri, kesirleri, oranları, sıralama ve kombinasyonları anlamak için zaman imzalarını analiz edin
Yazar: admin
Kategori ahenk, matematik, müzik, ölçü, ritim
Müzik ne kadar duygusal ve sıcaksa matematik bir o kadar mantıksal ve soğuk. Oysa araştırmalar müziğin ve matematiğin yakından ilişkili olduğunu gösteriyor. Öyle ki beynimiz müziğin içerdiği karmaşık duygusal mesajlardan başka içindeki matematiği algılayacak şekilde gelişmiş. Hatta müzikle uğraşmanın matematiksel algılamayı geliştirdiği öne sürülüyor.
Müziğin matematikle ilişkisinin anlaşılabilmesi için beynimizin müziği nasıl algıladığının ve müzik icra ederken nasıl çalıştığının keşfedilmesi gerekiyor.
Müziği algılayabilmemiz için öncelikle seslere bazı “anlamlar” yükleyebilmemiz gerekir. Müzik seçilmiş frekanstaki seslerle yapılır. Bu seslere perde denir ve bir müzik aleti akort edilirken notalar bu perdelere göre ayarlanır.
Ritim algısı beyindeki işitsel ve motor işlevlerden sorumlu bölgelerde gerçekleşir. Bir müzik algısının oluşabilmesi için ritmin ve perdenin bir şekilde birbiriyle etkileşim halinde olması gerekir.
Müzik icra etmek ise en azından üç temel motor kontrol işlevi gerektiriyor. Bunlar zamanlama, notaları sıralama ve motor hareketlerin organizasyonu.
Zamanlama, yani sesleri ya da notaları neredeyse mükemmel bir şekilde doğru aralıklarla sıralayabilme, sinirsel bir “metronoma” sahip olduğumuzu gösterir. Bir piyanist on parmağıyla hiç şaşmadan bir dizi hareket yapar. Bu hareketin koordinasyonu yine beynin birçok farklı bölgesininin birlikte çalışması sayesinde gerçekleşebiliyor.
Araştırmalar, müzisyenlerin beyninlerindeki gri maddenin motor, işitsel ve görsel-uzamsal bölümlerinin hacimsel olarak farklı olduğunu göstermiş durumda. Bu da beynin ilgili alanlarının “kullanıma” bağlı olarak belirgin biçimde gelişim gösterdiği anlamına geliyor. Müzisyenlerin beyinlerinin bellekle ilgili kısmının da daha gelişmiş olduğu da uzun zamandır biliniyor.
İşitme duyularımızla algılayabildiğimiz titreşimlere ses diyoruz. Ses dalgaları, enerjinin yayılma biçimlerinden biridir. Sesin kaynağı kulağımızın algılayabileceği hızda titreşen herhangi bir cisim olabilir; bir yaylı çalgının gövdesi ya da bir hoparlörün diyaframı gibi.
Bir gitarın teline vurduğumuzda tel titreşmeye başlar. Ne var ki telin yüzey alanı çok küçük olduğundan havayı yeterince titreştiremez. Sesin bir şekilde yükseltilmesi gerekir. Bu işi gitarın gövdesi yapar. Her çalgının farklı ses karakterine sahip olmasının nedeni çalgının gövde yapısıdır.
Her ne kadar kulağımız hassas bir algılayıcı olsa da belli aralıktaki frekansları işitebilir. Bu saniyede yaklaşık 20 ile 20.000 titreşim aralığıdır. Frekans saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz’dir (Hz). (Hertz, 19. yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim insanının adıdır.)
Bazı canlılar daha geniş bir frekans aralığını algılayabilir. Örneğin köpekler 50 ile 45.000 Hz, kedilerse 45 ile 85.000 Hz aralığındaki sesleri duyabilir. Yarasalar 120.000 Hz’e, yunuslarsa 200.000 Hz’e kadar olan sesleri algılayabilir.
Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz) algılarız. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Müzik konusunda iyi eğitilmiş kişiler, frekansları birbirinden sadece 2 Hz farklı olan iki sesi bile birbirinden ayırabilir.
Eski Yunanlılar matematik ve müziğin ayrılmaz bileşenler olduğunu düşünürdü. Müziği oluşturan seslerin arasındaki matematiksel ilişkiyi keşfetmişlerdi. Yunanlı matematikçi ve filozof Pisagor’un öğretisine yer verilen okullarda müzik de aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı düzeyde ele alınırdı.
Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, bu notaları oluşturan sesler arasındaki matematiksel ilişkiyi biz de keşfedebiliriz. Evimizdeki herhangi bir telli çalgıyı bunun için kullanabiliriz. Eğer telli bir çalgımız yoksa, bir parça tahta ve bir tel (bir gitar teli ya da misina olabilir) kullanarak basit bir çalgı yapabiliriz.
Yaklaşık yarım metre uzunluğundaki bir tahtanın iki ucuna çiviyle tutturarak gereceğimiz telin altına, tahtanın iki ucuna yakın yerlere birer destek koymalıyız ki tel tahtadan biraz uzaklaşsın ve serbestçe titreşebilsin. Destek olarak kalem kalınlığında iki tahta parçası kullanabiliriz.
Telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan çalgımızın teline vurduğumuzda çıkan sese “armonik” denir. Bu aynı zamanda, tek telli çalgımızın çıkarabileceği en kalın sestir. Buna “çalgının temel frekansı” da denir.
Çalgımızın temel frekansının 220 Hz (saniyede 220 titreşim) olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun üçüncü oktavındaki “la” notasının frekansıdır (Buna kısaca la3 diyelim).
Telin rastgele seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp tele vurarak değişik frekansta sesler elde edebiliriz. Parmağımızı telin tam ortasına basarak tele vurursak, kulağımıza telin birinci armoniğiyle uyumlu gelen bir ses duyarız. Bu ses, bir oktav yukarıdaki la notasıdır (la4) ve frekansı telin temel frekansının iki katı, yani 440 Hz’dir.
Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4’üne denk gelen noktaya basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine la (la5) notasıdır, ama bu kez frekans dört katına, 880 Hz’e çıktı; yani bir oktav daha inceldi.
Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit bir matematiksel ilişki var. Beynimiz bir şekilde bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor.
Aslında elimizde bir cetvel yoksa telin tam ortasını göz kararı bulmak zordur. Ama müzik kulağı iyi olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın gözümüze göre çok daha duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız.
Oktavlar bir telin en basit biçimde bölünmesiyle elde edildiğine göre, kuşkusuz değişik notalar oluştururken ona da temel olacak. Bir oktav aralıklı iki do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa, öteki notalar arasında da benzer bir ilişki vardır. Eğer bir oktavı rastgele değil de belirli oranlarda bölecek olursak farklı notalar elde ederiz.
Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım.
Oktavdan sonraki en önemli aralık ‘’beşli’’dir. Bunun için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli adı, başlangıç boyundaki tel ile boyu onun 2/3’ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş nota bulunmasından gelir.
Bir başka aralıksa dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen ses ile orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa uyumlu gelir. Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir.
Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam ortasına basarak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri, ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz.
Yedi notalı sisteme göre sayısal bölünme, yedi notaya karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), re (1,125), mi (1,250), fa (1,333), sol (1,500), la (1,667), si (1,875).
En basit ve günümüzde de geçerli olan sistem, bir oktavın on ikiye bölünmesiyle elde edilen (bir oktavı oluşturan ana ve ara notalar) eşit aralıklı sistemin Johann Sebastian Bach tarafından oluşturulan halidir. Bu sistemde birbirini takip eden iki notanın frekansları arasındaki farkın katsayısı yaklaşık 1,1225’tir.
Bu bilgiler ışığında müziğin eğlence amacıyla dinlenen ya da icra edilen bir olgu olmaktan öte, atalarımızdan miras kalmış, beynimizin derinlerine kazınmış çok yönlü bir iletişim aracı olduğunu söyleyebiliriz.
Hem duygusal hem de fiziksel mesajlar veren, evrensel bir iletişim aracı…
Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler. Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır.
Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır.
Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir.
Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Bilim “doğru” yu, sanat ise “güzel” i temsil eder. Bilimde teoriler ve ispatlar vardır. Bir teori ortaya atılır ve bu teori belli prensiplere ve kurallara bağlı olarak sonuca ulaştırılır. Sanatta ise bireysel düşünceler daha ön plandadır. Kurallar ve prensipler, değişik zamanlarda değişik ekollere göre farklılık gösterebilir. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Bir teorinin ispatındaki güzellik matematikçiler için bir doyum noktası olabilir. Aklımıza ispattaki güzellik nedir diye bir soru gelebilir. Daha kısa olması mı? Daha kolay olması mı? Sertöz’ün (1996: 6,7) “Matematiğin Aydınlık Dünyası” isimli kitabında Tosun Terzioğlu bunu ” matematiğin iç estetiği” olarak adlandırmaktadır ve bu yüzden matematiği sanatla bağdaştırmakta ve hatta en çok müzikle ilişkilendirmektedir. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar. Müzikte önce “güzel” vardır, sonra “doğru”. Ancak bu tartışılabilir. “Hermann Weyl şöyle demiştir, “Çalışmalarımda her zaman doğru ile güzeli birleştirmeyi denedim; fakat bir tanesini seçmek zorunda kalsam, genellikle güzeli seçerim.” … İngiltere’nin önde gelen matematikçilerinden G.H.Hardy ise kitabında şöyle demektedir, “Dünyada çirkin matematiğe yer yok” ” (Rothstein,1996: 139). Matematikteki güzel bir ispat insanları kolay kolay ağlatmaz, öte yandan müzikteki güzel bir beste veya icra dünyadaki dengeleri hiçbir zaman değiştiremez.
Matematik, önünüze bir problem koyar ve çözmenizi ister. Bir süre sonra bir bakarsınız ki önünüze konulan problemler birbirleri ile bağlantılı, uyumlu, karışıklıklar içinde çok basit gerçekler gizlenmiş. Sizin bulmanızı bekliyor. Doğru, güzel ve uyumlu. Kimileri matematiğin doğadan geldiğine inanırlar. Matematik zaten vardır ve biz onu anlamaya çalışırız. Kimileri ise matematiği insanların yarattığına inanırlar. ” Müzik, nedensiz bir şekilde insanı harekete geçirmede etkilidir, matematik ise nedensiz bir şekilde doğayı harekete geçirmede etkilidir” (Winkel, 2000: 5). Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir? Birçok insan için matematik kısaca “baş belası” dır. İnsanlar matematiği sevmediklerini söylemekten sakınmazlar. Bazı insanlar için ise matematik hayatın kendisidir ve sevmenin bir yoludur. Bunun için de anahtar matematiği anlamaktır.
Matematik ve müziği birbirinden ayıran önemli unsurlar olmasına rağmen bu iki disiplin birçok açıdan son derece ilişkilidir. Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir. Matematik ve müzik ilişkisi çeşitli boyutlarda düşünülebilir; İlk olarak müziğin kökenindeki matematikten bahsedebiliriz. Müziğin armonik yapısı matematikseldir. Sadece matematikseldir demek yanlıştır ancak belirli kurallara bağlı olarak biçimlendirilir. Tarihin değişik dönemlerinde değişik kurallar uygulanmıştır ancak mutlaka matematiksel bir köken olmuştur. İkinci olarak müziğin bilişsel aktiviteler üzerine etkisi akla gelmektedir. Gerek arka plan müziği olarak kullanılan müzik, gerekse müzik eğitimi kişilerin bilişsel performanslarını dolayısı ile matematik performanslarını geliştirmektedir. Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı” , matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.
MÜZİĞİN TEMELİNDEKİ MATEMATİK
Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. “Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır. Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton’un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır. Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları şaşırtıcı gelmemelidir” (Archibald,1923: 2). Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki ilişkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür. Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır. Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur. Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur. Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi “tetrakord” olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize “altın oran” konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır. Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir. Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M) Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir. Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz; 3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m 2:27/32=16/27 6M 2:64/82=81/128 6m 2: 8/9=9/16 7m Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir. Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir . Tampere edilmiş 5 li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür. Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995). Euclid (M.Ö. 300)’in çalışmaları temel olarak Pythagoras’a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Maj. 3 ‘lü ve Maj. 6’lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid ‘in Maj. 3’lüsü 4/5=64/80 iken, Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10). Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine ‘oran’ anlayışı büyük önem taşımaktadır. Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ’a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır. Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir. Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci’dir. Leonardo Fibonacci (1175-1240) bir İtalyan matematikçisidir. Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak ençok “tavşan çiftliği” problemi ile meşhur olmuştur. Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur. Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Burada bizim için önemli olan orandır. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398……Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.
Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.
Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak, (12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir. Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.
Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings, percussion and celeste” parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).
Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel’in “Hallelujah” eseridir. Bu eserde toplam 94 ölçü vardır. En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin girişi “Kings of kings”, 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. Yani 94 ölçünün 8/13 inde. 94. 8/13=~58. İlk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34. ölçüdür) “The Kingdom of Glory…”teması başlamaktadır. İkinci 37. ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) “And he shall reign…. ” tekrar solo trompetlerin görüldüğü önemli bir bölüm gelmektedir. Haendel’in bu kompozisyonu yazarken ne düşündüğünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek, müzikte altın oranın kullanılabileceğini bize göstermektedir (Beer, 1998:8).
Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996).
19. yy. da J. Fourier, müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.
Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduğu görüşünü savunmaktadır. Bu doğrultuda yeni bir ses sistemi geliştirmiştir. Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiştir. Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kişinin fiziksel koşullara göre algılaması gerektiğinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliştirmiştir. Bu bir tür “deneme teorisi” dir. ( Gönen, 1998:13)
MÜZİĞİN MATEMATİK EĞİTİMİNE KATKISI
Müzik çok etkin bir eğitim aracıdır. Sadece matematik için değil birçok alanda çok etkili bir araç olarak eğitimde kullanılmaktadır. Müzik pek çok insan için bir eğlence kaynağıdır. Duyguları harekete geçirir. Müzik dinlemek, bir enstrüman çalmak, dans etmek bize büyük zevk verir . Müzik özellikle çocuklarda duygusal, sosyal,. fiziksel ve bilişsel açıdan çok etkilidir. Müzik beynimizi harekete geçirir. Bu yüzden müzik, daha iyi beyin faaliyetleri için araç olarak kullanılabilir. Yapılan pek çok araştırmada görülmüştür ki; pek çok çeşitli becerinin müzik ile öğretimi çok daha etkilidir. Dünyanın değişik yerlerinde matematik eğitimi ile ilgili yapılan pek çok araştırmada, verilen eğitimin yeterli olmadığı, yeni yaklaşımlar üzerinde çalışılması gerektiği yönünde sonuçlar ortaya çıkmaktadır. Matematik pek çok ülkede eğitim açısından en sıkıntılı derstir. Buna önyargılar, yetersiz altyapı, yetersiz imkanlar gibi pek çok sebep sayılabilir. Ancak sonuçta şu konuda hemen herkes birleşmektedir ki; matematik eğitiminde yeni yaklaşımlara ihtiyaç vardır. Müzik, özellikle okul öncesi dönemde çok daha etkin bir öğretim aracı olarak kullanılabilir. Okul öncesi dönemde verilecek temel matematiksel kavramlar müzik ile çok daha etkin bir şekilde verilebilir Okul öncesi dönem, çocukların yeteneklerini ortaya çıkartmak ve yönlendirmek açısından büyük önem taşımaktadır. Matematiğin ve müziğin temeli bu dönemde atılmalıdır.
Araştırmacılar küçük çocuklarda, ileri matematik çalışmaları yapılamayacağı fakat onlara çok hoşlanacakları için müzik dinletmenin de yüksek beyin fonksiyonlarını sağlayacağını düşünmektedirler. Shaw (2000) çocuğa, tercihen okulöncesi dönemden başlayarak, okullarda verilen müzik eğitiminin onun uzamsal temporal akıl yürütmesini, dolayısı ile de ileride matematik performansını olumlu etkileyeceğini ifade etmektedir. Daha kalıcı bir beyin gelişimi için çocuklarda uzun yıllar piyano eğitimi uygulamasını da önermektedir (Shaw,2000:32,22) Müzik ile bilişsel aktivitelerin gelişimi konusunda yıllardır çeşitli araştırmalar yapılmıştır. Ancak medya tarafından ençok ilgi gören araştırma 1993’te “Mozart Etkisi” (Mozart Effect) olarak duyurulmuş ve çok dikkat çekmiştir. Araştırma Frances Rauscher tarafından yürütülmüştür. Amerika’da Psikoloji bölümünde okuyan 38 öğrenciye 10 dakika süre ile Mozart’ın iki piyano için yazdığı Re Maj. Piyano Sonatı (K.V.448) dinlettirilmiştir. Daha sonra öğrencilere üç boyutlu düşünme testi uygulanmıştır. Sonuçta, kontrol grubuna kıyasla Mozart dinleyen gruptan 8-9 puan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. Müzik ile üç boyutlu düşünme arasındaki ilişki o dönemde ortaya atılmıştır. Sonuçlar açıklandıktan sonra araştırmacılardan birisi olan teorik fizikçi Gordon Shaw Mozart müziğinin beyne jimnastik yaptırdığını öne sürmüştür ve şöyle demiştir : ” Karmaşık yapılı müziğin matematik ve satranç gibi ileri düzey beyin etkinlikleri ile ilgisi olan belli karmaşık sinirsel örgütler arasındaki iletişimi kolaylaştırdığına inanıyoruz. Bunun aksine basit ve tekrara dayanan müziğin karşıt bir etki yapabileceğini düşünüyoruz. ” (Campbell,2002: 25-26). Yapılan çeşitli Mozart Etkisi çalışmalarının yanında fareler üzerine yapılan bir çalışma ilginçtir. Farelere uzun süre Mozart müziği dinlettirilmiş ve labirent çözmede daha başarılı oldukları gözlemlenmiştir. Farelerin öğrenme düzeylerindeki artış müzik kesildikten 4 saat sonrasına kadar etkili olmuştur. (Shaw 2000.:36)
1996 yılında Avustralya’da yapılan bir çalışmada okul öncesi dönemi çocuklara 10 ay boyunca haftada 1 saat müzik eğitimi verilmiştir. Verilen eğitimin matematik yetenekleri üzerindeki etkisi incelenmiştir. Çocukların Matematik Yetenekleri Test of Early Mathematics Ability (TEMA-2) ile değerlendirilmiştir. Sonuçta müzik eğitimi alan gruptan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. (Geoghegan&Mitchelmore, 1996). 2000 yılında Bilhartz, Bruhn ve Olson tarafından erken müzik eğitiminin çocuğun bilişsel gelişimine etkisi isimli bir araştırma yürütülmüştür. Araştırmada 4 ila 6 yaş arası 71 çocukla çalışılmıştır. Çocuklar bilişsel gelişim için “Stanford-Binet Intelligence Scale (SB)” testinin dördüncü edisyonu ile ve müzik için “Young Child Music Skills Assessment(MSA)” testi ile değerlendirilmiştir. Deney grubu 30 hafta süresince, haftada 75 dakika, ebeveyn katılımlı müzik programına tabi tutulmuştur. Müzik programına katılan çocuklardan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir (Bilhartz&Bruhn&Olson, 2000: 615). Los Angeles’ta yapılan bir çalışmada 135 öğrenciye 4 ay boyunca piyano eğitimi verilmiş ve eğitim verilmeyen gruba göre matematik puanlarında %27 oranında artış görülmüştür (AMC, 2004). Yetenek açısından düşünecek olursak; pek çok kişi matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bir ilişki olamadığını varsaymaktadır. Matematik yeteneği olan çocuklar genellikle müzikle uğraşmaktan alıkoyulmazlar. Hatta bu çoğu zaman desteklenir. Ancak müzik yeteneği keşfedilen çocuklar için durum daha farklıdır. Bu çocuklar çoğu zaman müzikal açıdan desteklenmekte ancak bilişsel açıdan köreltilmektedir. Bu çocukların matematik yetenekleri çoğu zaman yok sayılmaktadır veya önemsenmemektedir. Oysa teknoloji çağı olan günümüzde “matematik mantığı” artık büyük önem kazanmıştır. Bilişsel açıdan eksik donanım ile mesleğe başlayan müzisyenler çoğu zaman bu eksikliği ilerleyen meslek hayatlarında hissetmektedirler. Sergeant ve Thatcher (1974), zeka ve müzikal yetenekle ilgili üç çalışma yapmıştır. Sonuçları istatistiksel tekniklerle yorumlamışlardır ve şu sonuca varmışlardır; Tüm yüksek zekalı insanlar mutlaka müzikal değiller, fakat tüm müzikalitesi yüksek insanlar yüksek zekalıdır. Bu şekilde bakıldığında akademik zekanın müzikal başarı ile ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir. Bu noktadan bakıldığı zaman; zeki çocukları, eğer müziğe ilgileri varsa, potansiyel müzisyen olarak görebiliriz (Boyle&Radocy, 1987: 142). 2001 yılında yapılan araştırmada 8 yaş grubundaki çocukların Matematik yetenekleri, müzik yetenekleri ve soyut zekaları arasındaki ilişki istatistiksel açıdan incelenmiştir. Toplam 75 çocuğa Müzik yetenek testi, Matematik yetenek testi ve Soyut zeka belirleyici test uygulanmıştır. Öğrencilerin Müzik Yetenekleri ve Matematik Yetenekleri arasında 0,423 lük bir ilişki bulunmuştur ve bu ilişki katsayısı istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır.Yani, öğrencinin Müzik yeteneği yükseldikçe matematik yeteneği artmaktadır. Müzik Yeteneği ile Soyut Zeka arasında ise 0,295 lik bir ilişki bulunmuştur ve bu istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır. Öğrencinin müzik yeteneği arttıkça Soyut Zekası da artmaktadır. Sonuç olarak her iki değişkende (Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka Seviyesi) , Müzik Yeteneği ile ilişkilendirildiğinde anlamlı bir farklılık göstermiştir. Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka karşılaştırıldığında ise en yüksek etkinin Matematik Yeteneğinde olduğu görülmektedir. Dolayısı ile, Matematik Yeteneği ile Müzik Yeteneği arasında oldukça anlamlı bir ilişki vardır. (Karşal,2004)
SONUÇ
Matematik ve müzik pek çok açıdan birbiri ile ilişkili iki disiplindir. Antik çağlardan itibaren bu ilişki fark edilmiş ve pek çok matematikçinin ve düşünürün ilgisini çekmiştir. Bilimin ve sanatın temsilcileri sayılan bu iki disiplinin birbiri ile olan ilişkisinin etkin kullanımı günümüzde pek çok açıdan olumlu sonuçlar doğurabilir.
Müzik, özellikle okul öncesi dönemi çocuklarında etkili bir eğitim aracı olarak kullanılabilir. Bu dönemde çocukların alacakları temel matematik eğitimi ve temel müzik eğitimi “doğru” verildiği taktirde, çocukların önlerindeki ufuk bir hayli genişleyecektir. Sadece okul öncesi dönemde değil sonraki dönemlerde de gerek müzik dinlemenin gerek enstrüman çalmanın kişilerin bilişsel aktivitelerine kattığı olumlu etki pek çok araştırmanın konusudur ve küçümsenemeyecek kadar önemlidir.
Ülkemizde müzik eğitimi verilen kurumlarda, özellikle küçük yaşta eğitime başlayan okullarda, çocuklar bilişsel açıdan oldukça yetersiz yetiştirilmektedirler. Müzik yeteneği olan çocukların bilişsel gelişimleri, eğitim sistemi içerisinde, bilerek veya bilmeden genellikle engellenmektedir. Günümüz teknoloji çağıdır. Her alanda olduğu gibi müzikte de teknoloji her geçen gün ilerleyerek kullanılmaktadır. Müzisyenlerdeki matematik mantığı artık daha çok önem kazanmaktadır. Tüm bunların yanı sıra, bilişsel açıdan daha ileri çocuklar müziği de çok daha kolay algılayabilmekte ve ilerleyebilmektedir. Bu iki disiplinin yetenek anlamında da ilişkili olduğu düşünülürse müzikalitesi yüksek olan çocukların zihinsel kapasitelerinin çok daha ileri olduğu unutulmamalıdır.
Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL Marmara Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Öğretim Üyesi
Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar.
Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir?
Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir.
Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler.
Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.
Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.
Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.
Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.
2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.
Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)
Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.
Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir.
Müzikte önemli olan bir başka isim matematikçi Fibonacci’dir. Onun meşhur tavşan çiftliği problemini hatırlayanlar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… sayı dizisini bilirler. Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398…
Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.
Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.
Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakordu oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,
(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.
Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.
Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings, percussion and celeste” parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).
Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996)
19. yy. da J. Fourier, müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7)
Ünlü matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.
Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı”, matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.
