Etiket arşivi matematik

Pisagor (MÖ.569-495)

Yazar: admin Kategori astronomi, astronomiye, eserleri, geometri, geometriye, hayatı, katkısı, matematiğe, matematik, müziğe, müzik, pisagor, pisagoras, pisagorcular, Pisagorculuk, pisagorun, Pythagoras, teoremi

Pisagor, kendini bir filozof olarak tanımlayan ilk insanlardan biri olduğu söylenen, ‘bilgelik aşığı’ anlamına gelen etkili bir filozoftur. Yaşamı ve öğretileri Platon üzerinde derin bir etkiye sahipti ve Platon aracılığıyla Pisagor, Batı felsefesini şekillendirmeye yardımcı oldu. Pisagor, günümüzde matematiğe, özellikle dik açılı üçgenlerle ilgili Pisagor teoremine olan katkısı ile bilinir – bu teoremi kendisinin geliştirmesi muhtemel olmasa da.

Pisagorların yaşamı için biyografik kaynakları sınırlıdır ve öldükten yıllar sonra yazılmıştır. Sonuç olarak, gerçeği efsaneden ayırmak zor olabilir.

Pisagor en çok duyduğumuz bir isim ama onun hakkında okuduklarımıza güvenebilir miyiz?

Ne yazık ki, cevap hayır. Çok fazla güvenemeyiz, çünkü öyle yaparsak, Tanrı gibi güçleri olduğuna inanmak zorunda kalacağız.

Pisagorlular denilen dinsel-matematiksel bir kültün inançlarını biliyoruz ve Pisagorluların matematikte büyük ilerlemeler kaydettiklerini biliyoruz.

Pisagor (Pythagoras), İ.Ö. 6. yüzyılda Samos’ta doğan bir İyonyalı filozof ve matematikçiydi. Günümüzde mevcut bilgilerin çoğu ölümünden birkaç yüzyıl sonra kaydedilmiştir ve sonuç olarak mevcut hesapların çoğu birbiriyle çelişmektedir.

Hem Yunanca hem de Mısırlı öğretmenlerden ders aldı. Pythagoras’ın belki de Chaldaeans ve Magi de dahil olmak üzere tüm mevcut bilgileri araştırmak için geniş seyahat ettiği söyleniyor.

Pisagor’un hem Yunanistan hem de Mısır’da gizli dini törenler başlattığına inanılıyor. Pisagor aynı zamanda müzik (lir çaldı), şiir (özellikle de Homer), astronomi ve geometri ile ilgilendi.

Bazı tarihçiler, Pisagor’un Theano adlı bir kadınla evli olduğunu ve bir kızı Damo olduğunu ve Pisagor’u öğretmen olarak kazanan ve muhtemelen Empedocles’i öğreten Telauges adlı bir oğlu olduğunu söyler.

Diğerleri, Theano’nun karısı değil de öğrencilerinden biri olduğunu ve Pisagor’un hiç evlenmemiş ve çocuğu olmadığını söylüyor.

Pisagor iyi eğitimliydi ve yaşamı boyunca lir çaldı, şiir biliyordu ve Homer’i okudu. Matematik, felsefe, astronomi ve müzikle ilgilendi ve Pherekydes (felsefe), Thales (matematik ve astronomi) ve Anaximander (felsefe, geometri) tarafından büyük ölçüde etkilendi .

Pisagor, tapınaklardaki rahiplerle çalışmak için M.Ö. 535’te Mısır için Sisam’dan ayrıldı. İtalya’da sonradan oluşturduğu toplumun uygulamalarının birçoğu, gizlilik kuralları, saflık için çaba gösterme ve fasulye yemeyi ya da hayvan derisi giymeyi giysi olarak reddetme gibi Mısırlı rahiplerin inançlarına kadar izlenebilir.

On yıl sonra, Persler Mısır’ı istila ettiğinde, Pisagor mahk andm edildi ve kendisine kutsal ayinler öğreten papazlar olan Magoi ile tanıştığı Babil’e (şu an Irak’ta olan) gönderildi. Suriyeli bir filozof olan Iamblichus (MS 250-330) Pythagoras hakkında şöyle yazdı: “Aritmetik ve müzikte ve Babililerce öğretilen diğer matematiksel bilimlerde mükemmellik yeteneğine ulaştı ...”

M.Ö. 520’de, şimdi özgür bir adam olan Pisagor, Babil’den ayrılıp Samos’a döndü ve bir süre sonra da Yarım Daire adlı bir okula başladı. Öğretim yöntemleri Samos liderleri arasında popüler değildi ve onun politikaya dahil olma arzusu ona hitap etmedi, bu yüzden ayrıldı.

Bazıları, tapınak rahipleri altında okumak için Mısır’a gittiğini ve on beş yıl sonra geri döndüklerini söylerken, diğerleri doğrudan bir okul açmak için Croton’a gittiğini söylüyor. Bununla birlikte, ana faaliyet yerinin Croton olduğu ve orada bir kardeşlik kurduğu ve matematik, felsefe ve müziğe önemli katkı yaptığı kesindir.

Pisagor olarak bilinen takipçileri, katı bir sadakat ve gizlilik sağladı. Yerleşmiş bir başka gerçek ise Pisagor’un çok seyahat ettiğidir.

Bazı hesaplar aynı zamanda Hindu Brahminler’de okumak için Hindistan’a gittiğini iddia ediyor.

Ölümüyle ilgili olarak da çelişki var; ama düşmanları tarafından öldürüldüğüne dair bir oy birliği var.

Modern fizikçiler, sayıları evreni tanımlayan inancında Pisagorlu olsalar da, çoğu gibi diğer Pisagor inancını paylaşmazlar:

Fasulyeleri yemek günahtır.
Erkekler tek sayılarla, kadınlar ise çift sayılarla temsil edilir.
İnsanların ruhları bedenlerinden ayrıdır. Bu ruhlar ölümden sonra yeni insan veya hayvan bedenlerinde yeniden doğar.
Pisagor, hayvanlarla konuşma, diğer insanlar olarak yaşadığı önceki yaşamları hatırlama, depremleri tahmin etme, rüzgârın üflenmesini durdurma ve düşmesini engelleme ve denizin dalgalarını sakinleştirme gibi doğaüstü hediyeler aldı.

Roma tarihçisi Cicero, fikirlerinden herhangi biri sorgulandığında Pisagorluların her zaman aynı cevabı vereceğini söyledi: “Usta öyle dedi.” Tabii ki Usta Pisagor’du.

Peki, Pisagor’un arkasındaki gerçekler nelerdir?

Pisagor hakkında gerçekleri kesin olarak belirtmek zordur. Onun zamanından hiçbir yazılı kayıt yok.

Onun hakkında bildiğimiz şeylerin çoğu, yaşadıktan sonra yüzlerce yıl yazıldı. Güvenilir olmayabilir.

Bunların özetle bir kısmı şöyle:

Pisagor, M.Ö. 570 yılında Yunan Samos adasında doğdu. Babası bir tüccardı.

Thales tarafından Pisagora matematik öğretildi. Thales Antik Mısır’dan Rumlara matematik getirmişti.

Thales, Pisagor’a 22 yaşındayken yaptığı Mısır’ı ziyaret etmesini tavsiye etti.

Pisagor Mısır’ı sevmiş olmalı. Orada, matematik hayatında ve ruhsal fikirlerde ustalaşarak hayatının sonraki 22 yılı boyunca yaşadı.

Pisagor Mısır’ı isteyerek terk etmedi. Bir Pers istilasına yakalandı ve Babil’e esir olarak alındı.

Babilliler o zamanlar muhtemelen dünyadaki en iyi matematikçilerdi. Yaklaşık 12 yıl yaşadığı Babil’de Pisagor, muhtemelen Hindistan kadar uzaklardan matematik ve Doğu manevi fikirleri öğrendi.

56 yaşında Pisagor sonunda serbest bırakıldı. Doğum yeri Samos’a döndü. Orada insanlara, Eski Mısır ve Doğu’dan kendi fikirlerinin, matematiğinin ve mistisizminin bir karışımına dayanan yaşam felsefesini öğretmeye başladı.

İki yıl sonra Pisagor, Samos’tan ayrıldı. Orada çok fazla insan yeni fikirlerine düşmandı. Şimdi Güney İtalya’da bulunan Antik Yunanistan’ın bir parçası olan Croton şehrine taşındı.

Orada fikirleri daha verimli topraklara düştü ve Pisagorluları kurdu.

Pisagorlular, inançları sayıların gücüne dayanan dini bir mezhep veya tarikattı. Dürüstlük; basit, bencil olmayan bir hayat yaşamak ve genellikle insanlara ve hayvanlara nezaket göstermeye çalışmak ilkeleriydi.

Pisagorluların Yapısı

Çocukluk ve Erken Yaşam

Pisagorlulara göre 10 en yüksek sayıydı.

Pisagor, MÖ 570’da Yunanistan’ın doğu Ege adası Samos’ta doğdu. Annesi Pythias’ın adanın bir yerlisi olduğu, babası Mnesarchus’un Tire (Lübnan) ‘dan bir tüccar olduğu ve mücevherle uğraştığı sanılıyor. Ayrıca iki ya da üç kardeşi olduğu söylenir.

Pisagor, erken çocukluğunun çoğunu Samos’ta geçirdi. Büyüdükçe, ticaret gezilerinde babasına eşlik etmeye başladı. Mnesarchus’un bir zamanlar onu Suriye’den alimler altında çalıştığı Tire’ye götürdüğü sanılıyor. Bu ilk yıllarda İtalya’yı da ziyaret etmiş olabilir.

Daha sonra, Pisagor farklı öğretmenler altında yoğun olarak çalışılmıştır. Şiir öğrendi, Homer’i ezberledip lir çalardı. Suriye’den alimler dışında, aynı zamanda Chaldea’nın bilge adamlarında da çalıştı. Syros Pherecydes aynı zamanda altında felsefe okuduğu ilk öğretmenlerinden biriydi. .

On sekiz yaşında, Pisagor, bir matematik ve astronomi ustası olan Thales’le buluşmak için Milet’e gitti. Her ne kadar Thales öğretmek için fazla yaşlanmış olsa da, toplantı oldukça verimli geçti; ona bilime, matematiğe ve astronomiye ilgi duyuyordu.

Pisagor Thales’in öğrencisi Anaximander altında da çalışmış olmalı. Pisagor’un daha sonraki eserleri, Anaximander’in eserleri ile çarpıcı bir benzerlik göstermektedir. Hem astronomik hem de geometrik teorileri, doğal olarak yaşlı filozofun teorilerinden gelişti.

MÖ 535’te Pisagor, Mısır’a tapınak rahipleri altında ders çalışması için ayrıldı. Daha önce Thales de ona aynı tavsiyeyi vermişti. Ancak, diğer hesaplara göre, o zaman Samos hükümdarı Polycrates tiranlığından kaçmak için Mısır’a gitti.

Pisagor, Mısır’da yaklaşık on yıl yaşadı. Gerekli törenleri tamamladıktan sonra ilk önce Diospolis tapınağına kabul edildi ve rahibeye kabul edildi. Birkaç yıl boyunca Mısırlı rahip Oenuphis of Heliopolis altında çalıştığı da inanılıyor.

MÖ 525’te Pers II. İmparator Cambyses Mısır’ı fethetti. Pisagor yakalandı ve Babil’e esir alındı. Burada hızla magi olarak bilinen Persli rahiplerle ilişkilendirdi ve altlarındaki müzikle birlikte matematik ve matematik bilimlerini incelemeye başladı.

M.Ö 522’de Pers Cambyses II gizemli koşullar altında öldü ve Somas’ın zalim hükümdarı Polycrates de öldürüldü. Bu olaylar Pisagor’a M.Ö. 520’de yapılan Somas’a geri dönme fırsatı sundu.

Daha sonra yaşam

Samos’a döndüğünde Pisagor, Yarım Daire adında bir okul açtı. Ancak, öğretme yöntemi farklıydı ve çok azına hitap ediyordu. Aynı zamanda, liderler kendisine hitap etmeyen şehir yönetimine dahil olmasını istedi.

MÖ 518’de, güney İtalya’daki üssünü Croton’a kaydırdı. Bazı hesaplar, yasa okumak için oraya gittiğini ve geride kaldığını söylüyor. Diğer hesaplar M.Ö. 530’da Mısır’a değil, Polycrates’in zulmünden kaçmak için gittiğini iddia ediyor.

Durum ne olursa olsun, burada hızlı bir şekilde bir grup takipçisi toplayarak ilk aşamada tam olarak öğretmeye başladığı Croton’daydı. Daha sonra, kadınlara ve erkeklere açık bir kardeşlik kurdu. Önemli ölçüde siyasi güce sahip olan dini bir cum felsefi okula dönüşmüştür.

Pisagorcular, Pisagor’un takipçileri olarak adlandırıldıkları için iki mezhebe bölünebilirdi. Okulda yaşayan ve çalışanlar mathematikoi veya öğrenenler olarak biliniyordu. Okulun dışında yaşayanlar akousmatics veya dinleyici olarak biliniyordu. Pisagor her iki tarikatın efendisiydi.

Mathematikoi, yaşamlarını ne yediklerini, ne giydiklerini ve hatta konuştuklarını tanımlayan kurallara göre yönlendirmek zorunda kaldı. Kişisel mülkiyeti yoktu ve katı vejetaryenliği takip ediyorlardı. Aksine, akousmatics kişisel özelliklerine sahip ve vejetaryen olmayan yiyecekleri yemek için izin verildi. Okula ancak gündüz devam ettiler.

Toplum, sadece ayinler ve törenler hakkında değil, aynı zamanda ne öğretildiği konusunda da kesin gizlilik uygulamaktadır. Bu nedenle matematiğe olağanüstü katkılarda bulunmasına rağmen, Pisagor ile takipçilerinin eserlerini ayırt etmek zor.

Ancak, Pisagor’un matematiğe olan katkısı asla abartılamaz. Bugün, en iyi sayı kavramıyla hatırlanıyor. Her şeyin saylara indirgenebileceğine ve bu sayıların kendi özelliklerine, güçlü ve zayıf yönlerine sahip olduğuna inanıyordu.
Ona göre 10 en eksiksiz sayıydı çünkü ilk dört rakamdan (1 + 2 + 3 + 4) oluşmuştu ve nokta notasyonuyla yazıldığında bir üçgen oluşturdular. Ayrıca, geometrinin fiziksel dünyayı açıklayabileceği en yüksek matematiksel çalışma formu olduğuna inandı.

Pisagor’un inancı matematik, müzik ve astronomi gözlemlerinden kaynaklanıyordu. Örneğin, titreşimli tellerin yalnızca tellerin uzunlukları arasındaki oranlar tam sayı olduğunda uyumlu tonlar ürettiğini fark etti. Daha sonra bu oranların diğer enstrümanlara genişletilebileceğini fark etti.

Ayrıca, ruhun ölümsüz olduğunu yaydı. Bir kişinin ölümü üzerine yeni bir form alır ve böylece insandan insana ve hatta hayvanların bir dizi enkarnasyon yoluyla saf hale gelinceye ve bu arınma müzik ve matematik yoluyla yapılabilir.

Pisagorun kendisi iyi bir müzisyendi ve liriyi iyi çalabiliyordu. Tasavvuf inancına rağmen, bazı sembollerin mistik bir önemi olduğunu ve karşıtlar arasındaki etkileşimin dünyanın temel bir özelliği olduğunu belirtti.

Ayrıca, Dünya’nın Kozmos’un merkezinde bir küre olduğunu da öğretti. Diğer tüm gezegenlerin ve yıldızların küresel olduğuna karar verdi, çünkü küre en mükemmel sağlam figür.

Büyük işler

Pisagor, geometri konsepti ile en ünlüsüdür. İlk önce bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu ve dik açılı bir üçgen için hipotenüsün üzerindeki karenin diğer iki taraftaki karelerin toplamına eşit olduğunu belirlediği düşünülmektedir.
Bahsedilen son teorem Babiller tarafından zaten keşfedilmiş olmasına rağmen, Pisagor, bunu ispatlayan ilk kişiydi. Ayrıca, ona göre mükemmel sayı olan on taneye kadar yükselen dört sıranın üçgen şeklindeki tetrastileri tasarladığına inanılıyor.

Kişisel Yaşam ve Miras

Pisagor, Croton’daki ilk öğrencisi Theano ile evlendi. Ayrıca kendi başına bir filozof idi. ‘On Virtue’ adlı bir tez yazdı ve altın ortalamanın doktrini buna dahil edildi. Ancak, bazıları onun karısı değil, bir öğrenci olduğunu söylüyor.

Çeşitli hesaplara göre, çiftin Telauges adında bir oğlu ve Damo, Arignote ve Myia adında üç kızı vardı. Bazı kaynaklar da rakamı yedi’e çıkardı. İkinci kızları Arignote tanınmış bir bilgindi ve ‘Dionysos’un Ayinleri’, ‘Kutsal Söylemler’ gibi eserler ona aktarıldı.

Üçüncü kızları Myia’nın ünlü güreşçi Croton Milo ile evlendiği söyleniyor. Milo’nun Pisagor’un bir ortağı olduğu ve hayatını bir çatı çöküşünden kurtardığı da söylenir.

Birçok dahi gibi, Pisagor da çok açık sözlüydü ve birçok düşman yarattı. Onlardan biri, çeteyi Pisagorlara karşı kışkırttı ve kaldıkları binaya ateş açtı. Ancak, Pisagor kaçmayı başardı. Daha sonra Metapontum’a gitti ve kendisini ölümüne aç bıraktı.

Diğer bazı ifadeler, Agrigentum ile Syracusans arasında bir çatışmada yakalandığını ve Syracuslular tarafından öldürüldüğünü söylüyor. Ölümünün nedeni neyse, M.Ö 495’te öldüğü hesaplara göre. ‘Pisagor Teoremi’ veya ‘Pisagor Teoremi’ hala mirasını taşıyor.

Kozmolojik görüşler

Pisagorlular, dini inançları ve dikkatle matematik incelemeleri sonucunda , dünya görüşlerinden bazı önemli açılardan farklılık gösteren bir kozmoloji (evrenin yapıları ile ilgilenen) geliştirdiler; Dünyayı, evrenin merkezini daire içine alan bir küre olarak. Bu teorinin ne kadarının Pisagor’un kendisine verildiği bilinmemektedir.

Pisagor ve takipçilerinin yürüttüğü matematiksel bilgi, onu Batı düşüncesi tarihinde önemli bir figür yapmak için yeterli olurdu. Bununla birlikte, dini mezhebi ve öğrettiği öz disiplin ve özveri, çok sayıda eski inancı olduğu gibi benimsemiş, onu eski Yunan dünyasının en büyük din öğretmenlerinden biri yapmıştır.

Dini öğretiler

Pisagor, farklı dini gelenekleri özümsemiş ve çeşitli takipçileri çeken yeni bir dini hareket yaratmıştır.

Pisagor’un dini öğretileri, mizaç ve kendini kontrol etme üzerinde duruldu. Vejeteryan, diyet konusunda tutumlu ve basit bir yaşam tarzını savunan biri.

Pisagor mistik olarak kabul edildi ve toplumun geleneğinde gizli kalmasına rağmen takipçilerine farklı mistik uygulamalar öğretti. Bununla birlikte, başlatıcıların sessizlik, meditasyon ve kendi kendine iç içe geçme dönemleri uygulamak zorunda oldukları bilinmektedir. Muhtemel başvuru sahipleri, toplumun yüksek kademelerine başlamadan önce karakter ve eşitlik sakinliği bakımından test edildi.

Pisagor’un öğretilerinin temelinde, ruhtaki inanç ve inisiyatifin insandaki mistik unsurdan haberdar olma girişimi vardı. Reenkarnasyona (ruhun göçü) inandığı yaygın olarak kabul edilir ve bir tanesini güzel bir fahişe olarak dahil ettiği eski enkarnasyonlarından bazılarını bildiği söylenir. Reenkarnasyona olan bu inanç, çağdaş Orphic dininin kilit unsurlarından biriydi ve Pisagor, Yunanistan ve Mısır’daki tapınaklar ve mistik okullardaki çalışmaları sırasında karşısına çıkacaktı. Bu göç teorisi ayrıca insan ve hayvan bedenleri arasında hareket etmeyi de içerebilir. Xenophanes’a göre, Pisagor’un ölü arkadaşının bir köpeğin ağlamasında ağladığını duyduğu söylenir.

Gizli, ezoterik dini öğretiler sadece inisiyatif seçmek için mevcuttu, bu yüzden bilgi ve bilgi kesinlikle sınırlıydı. Bununla birlikte, gizli mistik pratiklerin ve geleneklerin, Rosicrucians ve Masonlar gibi daha sonraki gizli topluluklar üzerinde güçlü bir etkiye sahip olduğu söylenmektedir.

Tüm hesaplara göre, Pisagor’un arkadaşlığının dostluğu ve bağları, üyeleri arasında güçlü bir hareket ve kardeşlik duygusu yarattı. Ancak, arkadaş grubu da düşmanlarını cezbetti. Muhtemelen insanlar kıskanıyorlar, Pisagor’un gücü ve etkisi konusunda dışlanmışlar ya da endişeleniyorlardı. Pisagor’un sadelik ve meyveli yaşama vurgusu, diğerlerinin hoşgörüsüzlüğünün altını çizmeyi başarabilirdi; Bazı kaynaklar Pisagor’un Croton’da bulduğu ahlaksız yaşamı eleştirdiğini öne sürüyor.

Bir keresinde düşmanları, Pisagor’un arkadaşlıklarına tapınaklarından birinde saldırı düzenledi ve düzen bastırıldı. Birçok kişi gizli törenleri uygulamaya devam etmesine rağmen, bu, bursu yeraltına sürüklüyordu.

Pisagor ve takipçileri hem dine hem de bilime katkılarından dolayı önemliydi. Dini öğretileri, ruhun asla ölmediğini ve yaşamının saflığı boyunca kendisini özgürleştirene kadar bir yeniden doğuş döngüsüne mahkum olduğunu öğreten metempsis doktrinine (öğretme) dayanıyordu.

Pisagorculuk , zamanın diğer felsefi sistemlerinden sadece gerçeğin entelektüel arayışı değil, kurtuluşa yol açacak ya da günahın teslim edilmesine yol açacak bir yaşam biçimi olma biçiminden farklıydı. Pisagorculuğun önemli bir parçası tüm yaşamın ilişkisi idi. Pisagor’un ruhun bir bitki şeklinde doğabileceğine inandığına dair bir kanıt bulunmamasına rağmen, hayvan ve sebze yaşamında evrensel bir yaşam ruhunun olduğu düşünülüyordu. Bununla birlikte, bir hayvanın vücudunda doğmuş olabilir ve Pisagor, bir köpeğin atılmasında ölen bir arkadaşının sesini duyduğunu iddia etmiştir.

Pisagor, güney İtalya’daki bir Yunan kolonisi olan Crotona’ya, MÖ 518 civarında yerleşmişti ve birçok takipçisinin yaşadığı ve çalıştığı felsefi ve dini bir okul kurdu.

Pisagorlular, ne zaman konuştukları, ne giydikleri ve ne yedikleriyle birlikte davranış kuralları ile yaşadılar. Pisagor toplumun Efendisiydi ve hem orada hem de kadın olan erkeklerin takipçileri mathematikoi olarak biliniyordu.

Kişisel malları yoktu ve vejeteryanlardı.

Okuldan ayrı yaşayan başka bir takipçi grubunun kişisel mülkiyeti olmasına izin verildi ve vejeteryan olması beklenmiyordu.

Hepsi keşifler ve teoriler üzerinde topluca çalıştı. Pisagor inanıyordu:

Her şey sayıdır. Matematik her şeyin temelidir ve geometri matematiksel çalışmaların en yüksek şeklidir. Fiziksel dünya matematik aracılığıyla anlaşılabilir.
Ruh beyinde bulunur ve ölümsüzdür. Birinden diğerine, bazen bir insandan bir hayvana, saflaşma olana kadar göçmen adı verilen bir dizi reenkarnasyon yoluyla ilerler. Pisagor, hem matematiğin hem de müziğin arınabileceğine inanıyordu.
Sayıların kişilikleri, özellikleri, güçlü ve zayıf yönleri vardır.
Dünya, kadın ve erkek, aydınlık ve karanlık, sıcak ve soğuk, kuru ve nemli, hafif ve ağır, hızlı ve yavaş gibi karşıtların etkileşimine bağlıdır.
Bazı sembollerin mistik bir önemi vardır.
Toplumun tüm üyeleri katı sadakat ve gizlilik gözlemle melidir.

Pisagor toplumu üyeleri arasındaki katı gizlilik ve grup içindeki fikirleri ve entelektüel keşifleri paylaştığı ve bireylere kredi vermediği için, Pisagor’a atfedilen tüm teoremlerin asıl kendisinin olup olmadığından emin olmak zordur veya Pisagorluların ortak toplumundan gelip gelmedikleri.

Pisagor ve Matematik

Pisagor teorisi, Pisagor teoremini ispatladıktan sonra kredilendirildi – dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesinin toplamı diğer iki tarafın karelerinin toplamına eşittir.

Pisagor’un bu teoremi ispat edip etmediği tartışmalıdır. Kaynaklar bu teorem bilgisinin Babil ve Hindistan’daki Pisagor zamanından önce olduğunu gösteriyor. Pisagor’un Matematiğe ne kadar dahil olduğunu söylemek zordur, ancak Platon, belki de Platonik bilimlerini desteklemek için Pisagor’u itibar etmeye istekliydi. Bununla birlikte, Pisagor sık sık sayılar sevgisine sahip bir filozof olarak tasvir edilmiştir ve sayılar evrenin derin bir uyumunu açıkladığına inanmaktadır.

Pisagor’un gizli toplumunun Tetracty’leri kullandığına inanılıyor – üçgenler ve sembolik öneme sahip sayılar oluşturmak için düzenlenmiş 10 puanlık bir rakam. Evrenin ilahi düzenini ispatlamak için mistik bir sembol olarak kullanılmıştır. Dört satır, dört elementi, ateş, hava, su ve dünyayı simgelemektedir. On puan, daha yüksek bir düzenin birliğidir.

10, ilk dört sayı 1,2,3 ve 4 ekleyerek yapılabilir. Bu sayılar, tetrastiler için mükemmel, eşkenar bir üçgen oluşturur.

Pisagorluların da mistik güçlere sahip olduğunu düşündüğü müzikal ölçeklerde, tetractilerden sayıların oranı önemlidir.

Pisagorlular tetracty’lere dua ettiler ve ona olan inancını yemin ettiler.

Pisagorluların Tetracty’lerle ilgili duası:

“Bizi kutsayın, ilahi sayı, tanrıları ve adamları kim yarattı! Kutsal, kutsal Tetractys, sonsuza dek akan yaratılışın kökü ve kaynağını içeren sensin! Çünkü ilahi sayı, kutsal dörde gelene kadar derin, saf birlik ile başlar; o zaman, herşeyi kapsayan, her şeyi sınırlayan, ilk doğan, hiç değişmeyen, hiç yormayan kutsal on olanın annesini, hepsinin anahtar sahibidir ”.

Sonunda Pisagor öğrencileri, grubun teorilerini, öğretilerini ve keşiflerini yazdı, ancak Pisagorlular her zaman için Pisagor’a Üstat olarak teşekkür etti:

Bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşittir.
Pisagor teoremi – bir dik açılı bir üçgen hipotenüs kare için diğer iki tarafta karelerinin toplamı eşittir. Babilliler bunu 1000 yıl önce anladılar ama Pisagor bunu kanıtladı.
Verilen bir alan ve geometrik cebirden şekiller oluşturma. Örneğin, geometrik denklemlerle çeşitli denklemleri çözdüler.
İrrasyonel sayıların keşfi Pisagorlulara atfedilir, ancak Pisagor’un fikri gibi görünmemektedir, çünkü onun felsefesi ile aynı hizada olmadığı için her şey sayılardır, çünkü ona göre sayılar iki tam sayının oranı anlamına geliyordu.
Beş normal katılar (tetrahedron, küp, oktahedron, ikosahedron, dodecahedron). Pisagor’un ilk üçü nasıl inşa edeceğini bildiği, ancak son iki şeyi yapmadığı düşünülmektedir.
Pisagor, Dünya’nın Kosmos’un (Evrenin) merkezinde bir küre olduğunu, gezegenlerin, yıldızların ve evrenin küresel olduğunu, çünkü kürenin en mükemmel katı figür olduğunu öğretti. Ayrıca gezegenlerin yollarının dairesel olduğunu da öğretti. Pisagor, sabah yıldızının akşam yıldızı Venüs ile aynı olduğunu kabul etti.

Pisagor, tek ve çift sayılar, üçgen sayılar ve mükemmel sayılar okudu. Pisagorcular açıları, üçgenleri, alanları, oranı, çokgenleri ve çokyüzlü anlayışımıza katkıda bulundu.

Pisagor da müzikle matematiği ilişkilendirmiştir. Uzun yedi tel lirini çalmıştı ve tellerin uzunluğu 2: 1, 3: 2, 4: 3 gibi tam sayılarla orantılı olduğunda titreşimli tellerin ne kadar uyumlu olduğunu öğrenmişti. Pisagorcular ayrıca bu bilginin diğer müzik aletlerine de uygulanabileceğini fark ettiler.

Pisagor’un ölümünün raporları çeşitlidir. Öfkeli bir çeteyle öldürüldüğü, Agrigentum ile Syracusans arasında bir savaşta yakalandığı ve Syracuslular tarafından öldürüldüğü veya Crotona’daki okulundan yakıldığı ve daha sonra kendisini aç bıraktığı Metapontum’a gittiği söyleniyor.

Hikayelerden en az ikisi, Pisagor’un kaçmak için bir fasulye bitkisini çiğnemeyi reddettiği ve bundan dolayı yakalandığı bir manzara içeriyor.

Pisagor Teoremi bir matematiğin temel taşıdır ve matematikçiler için o kadar ilginç olmaya devam ediyor ki, Başkan Garfield’ın orijinal bir kanıtı da dahil olmak üzere teoremin 400’den fazla farklı kanıtı var.

Pisagorluların matematiksel başarıları neydi?

Pisagorlular Eski Yunan matematiğine büyük katkılar sağladı. Bu katkıların Pisagor’dan mı yoksa diğer Pisagorlardan mı geldiğinden emin değiliz.

Matematiğin bir kısmı Mısır ve Babil’den geliyordu, bu yüzden muhtemelen doğrudan Pisagor’dan geldi.

Pisagorlular ve Yunanlılar, diğer kültürlerin sahip olmadığı matematik için inanılmaz derecede önemli bir şey eklediler. Yunanlılar matematiği titizleştirdi, yani hiçbir şey mantıklı olarak ispatlanana kadar doğru olarak kabul edilemezdi; aynı zamanda saf matematik yaptılar – pratik amacı olmayan matematik- ve böylece modern matematikçilerle aynı önceliklere sahip ilk antik matematikçilerdi.

Her şey bir sayıdır Pisagorlular evrendeki her şeyin temeli sayılar olduğuna inanıyordu.

Sayıların Varlığı Pisagorlular, sayıların kendi başlarına var olduğunu farkeden ilk insanlardı.

Örneğin, 3 var. 3’ün varlığını haklı çıkarmak için 3 kişiye veya 3 tavuğa veya 3 satıra ihtiyacınız yoktur. Tüm sayıların kendi varlıkları vardır ve gerçek olmak için gerçek nesnelerle ilişkilendirilmeleri gerekmez.

Pisagor Teoreminin İspatı
Dik açılı bir üçgen için, diğer iki kısa kenardaki karelerin toplamı hipotenüs karesine eşittir. Pisagor bu kuralı Mısırlılar ve Babillilerden öğrendi.

Adını taşır çünkü Pisagor muhtemelen TÜM dik açılı üçgenler için doğru olduğunu ispatlayan kişidir.

İrrasyonel sayıların keşfi ve ispatı

Pisagor teoremini iki kısa kenarı 1 olan bir üçgen üzerinde kullandığınızda, hipotenüsün uzunluğunun √2 olduğunu keşfedersiniz.

Daha sonra matematiksel olarak √2 üretebilecek tam sayıların oranının olmadığını kanıtlayabilirsiniz. Bu, örneğin 1 ve 2 tam sayılarının ½ olduğu veya 3 tam sayı 3 ve 4’ün oranı olan ½ durumunun aksinedir.

Ondalık kesir olarak √2 yazmaya çalışırsanız, ondalık noktadan sonraki haneler yinelenen bir desen olmadan sonsuza kadar devam eder.

$\sqrt{2}$

= 1.414213562373095048801688724202 ……

$\sqrt{2}$

‘nin irrasyonel olduğuna dair matematiksel kanıt bir Pisagor tarafından bulundu.

Hippassus tarafından bulunmuş olabilir. Bazı efsaneler, Hippassus’un ispatı için veya insanlara bunu bildirmek için boğulduğunu söylüyor; Ancak, bunun için çok az kanıt yoktur.

İrrasyonel sayıların keşfi Pisagorcular için bir şoktu. Temel inançlarından biri, evrendeki her şeyin tam sayılar ve oranları kullanılarak yapıldığıydı. İnançlarını değiştirmek zorunda kaldılar, ama bu acı bir süreçti.

Bugün bile, Pisagorluların bu rakamları bulma korkusu, çılgınca ya da mantıksız bir yanlış demek için irrasyonel kelimesini kullanmamızda bizimle birlikte kalır.

Platonik Katıların Keşfi

Beş tane simetrik, normal 3D katı var. Simetrileri, zar olarak kullanılmalarını sağlar.

Pisagor kendisi, muhtemelen Mısır ve Babil’deki zamanından bu yana ilk üç katının varlığını tespit etti. Diğer Pisagorcular muhtemelen diğer ikisini nasıl kuracaklarını keşfetti.

Katılar tetrahedron (4 taraf), küp (6 taraf), oktahedron (8 taraf), dodecahedron (12 taraf) ve icosahedron’dur (20 taraf).

Bu beş şekil, Plato’dan sonra Platonik Katılar olarak adlandırılır, bu şekillerin, beş Antik Yunan öğesinin temeli olduğuna inanan Platonik Katılar: Dünya, Hava, Ateş, Su ve Ruh.

Matematik ve Müzik

Pisagor, diğer her şey gibi, müziğin de tam sayı oranlarına dayandığına inanıyordu. Ayrıca iyileştirici özelliklerine de inanıyordu. Demirci çekiçleri farklı boyuttaki örslere çarptıklarında çıkan sesleri duydukları ve matematiksel bir ilişki olduğunu fark ettikleri bir hikaye var.

Pisagor aslında yetenekli bir lir oyuncusuydu ve muhtemelen müzikal perdesi ile tel uzunluğu arasındaki ilişkiyi inceledi.

Müzik notalarının gerçekten tam sayı oranları tarafından yönetildiğini keşfetmiş olurdu. Pisagor’un kendi katkıları belirsiz, ancak iki Pisagor, Philolaus ve Archytis’in bu alanda çalıştığını biliyoruz.

Philolaus, bir ipin uzunluğunun yarısı kadar uzunsa, üretilen notun oktav adımında arttığını ve bir ipi üçte iki oranında düşürdüğünüzde notun adımının beşte bir oranında arttığını ve bir oktavın bulunduğunu keşfetti iki eşit yarıya bölünmemiş, dördüncü ve beşinci sıradadır.

Archytis, müzikal ilişkileri matematiksel olarak kanıtlayan ilk kişiydi.

Matematik ve Astronomi

Pisagor, Dünya’nın evrenin merkezinde olduğuna inanmış görünüyor. Daha sonra Philolaus gibi Pisagorlular aynı fikirde değiller. Dünyanın ve güneş dahil her şeyin merkezi ateş denilen bir şey yörüngeye dönüştüğüne inandılar.

Nicolaus Copernicus , neredeyse iki bin yıl sonra güneş sistemi hakkındaki yeni görüşünü anlatırken Philolaus’a atıfta bulundu.

Son

Pisagor’un MÖ 495 yıllarında yaklaşık 75 yaşında öldüğü düşünülmektedir.

Bazı eski kaynaklar 100 yaşadığını iddia ediyor. Croton’da ölmüş olabilir ya da Croton’daki güney İtalyan sahilinde Metapontum şehrinde ölmüş olabilir.

Nerede ve ne zaman öldüğünde, matematiksel mirası hala bizimle.

Matematik ve Richter Ölçeği

Yazar: admin Kategori deperm, fay, matematik, ölçeği, richter, rihter

Deprem veya yer sarsıntıları evrenin ilk hazır olduğu zamandan beri kendini göstermiştir. Enerji bilim uzmanlarına göre aslında bu olay sadece dünyanın enerjisini boşaltma eylemidir. Her yıl dünyada binlerce insan hayatını kaybetmektedir. Peki deprem ve matematik arasında bir ilişki var mı? Varsa nasıl bir uzlaşma içindeler?

Türkiye’de deprem sismik ölçüm merkezi olarak Boğaziçi Üniversitesine bağlı Kandilli rasathanesi önemli bir araştırma merkezi olarak jeolojik olayları yakından takip etmektedir. Deprem şiddeti, deprem derinliği, P ve S dalgaları, magnitute gibi verisel raporlar çıkarmaktadır. Şimdi birkaç deprem ölçümleri üzerinden yorum yapalım.

Bir depremin gücü arttıkça yıkım gücü artar. (Bilinen bir durum)
Bir deprem yeryüzüne ne kadar yakın olursa yıkım gücü artar
Dalga biçiminde yayılan sarsıntıların yıkım etkisi daha büyüktür.

Temel bilmemiz gerekenler bunlardır. Peki 2 şiddetindeki deprem 3 şiddetindeki depremden ne kadar güçlüdür?

Bu hesaplama için logaritma fonksiyonunu kullanalım. Çok zor olmayan basit düzeyde bir logaritma hesaplamasıdır. Bu hesaplamaların ilk bulucusu Charles Richter’dir. Bugün tüm deprem şiddetlerini Richter ölçeğine göre hesaplama yapıyoruz. Sorumuza gelelim 3-2=1 olacaktır. Bu şu anlama gelir 3 şiddetindeki bir deprem 2 şiddetindekinden 10 kat daha fazla şiddette olacaktır. Aynı şekilde 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 olacak ve 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır. Bu sonuçların hesaplanması lise düzeyinde bir logaritma hesabından başka birşey değildir.

Farklı bir soruyla devam etsek, 8.3 şiddetinde olan bir depremden 4 kat daha fazla güce sahip deprem kaç şiddetinde ölçülmüştür?

8.3+log4= 8.3+0.6=8.9 richter ölçeği şiddetinde olacaktır. log4 sayısının değeri ayrıca hesaplanmalıdır. (log4=0.6)

Deprem matematiği üstünde çalışan birçok jeofizikçi depremin ne zaman olacağının bilinemeyeceğini söylüyor. Ayrıca bir depremin bir yeri vurma olasılığının gün geçtikçe artması gerekirken çalışmalar sonucunda azaldığını gözlemlemiştir. Bir bölgede depremin olacağı yine olasılık kuramının yegane bir sonucundan başka bir şey değil. Uzun zamandan beri deprem olmamış bölgelerdeki fay hatlarına bakılır, fay hatlarının kayaları sıkıştırdığının veri analizi çıkarılır ve depremin sıkışmaya bağlı olarak olup olmayacağı tahmin edilir.

California Üniversitesinde deprem araştırmaları yapan iki insan (Lean Knopoff ve Didier Sornette) bir bölgede depremlerin ne denli olacağını araştırmışlar ve şayet bölgede beklenen deprem olmuyorsa depremin olma şansının azalacağını öne sürmüşlerdir. Kullandıkları yöntem eski olasılıkların gelecekte gerçekleşen olasılıkları nasıl etkileyeceğini ifade eden “Bayes Teoremi” ile ilişkilendirmişlerdir. Sornett’e göre bir depremin yakın zamanda olacağı geçmiş sarsıntıların ne yoğunlukta olacağına bağlıdır. Bu ifade de olasılık kuramıyla ilgilenen insanlar için dalgalanma fonksiyonun yoğunluğuna eşittir.

Bazı bölgelerde araştırmacılar 3 yıl gibi geçirerek o bölgede depremsel dalgalanmaların yoğunluk tablosunu çıkararak bölgedeki depremlerin kaç şiddetinde olabileceğini ve hangi zamanlarda yer sarsıntısı olacağını bulmuşlardır. Bu bölgelerden bir tanesi Oregon Bölgesidir. Fakat bu çalışma Arizona bölgesinde hüsranla sonuçlanmıştır. Yoğunluk fonksiyonu “Bayes Kuralı” ile hesaplanırken bu bölgede “Poisson dağılımı” etkili olmuştur. (Bu fonksiyon dağılımlarının ne olduğu hakkında çok detaylı bilgi almak isteyen okur Olasılık ve İstatistik kitaplarından detaylı bir şekilde bilgi edinebilir) Bu bölgede de depremin oluşması için önceden ne kadar depremin olduğunun bir önemi yoktu. Ve eğer bu bölgede deprem oluşmazsa deprem olma olasılığının artması gerekirken (Halkın bildiği teori) azalacağı yönündeydi. Dolayısıyla bir bölgede deprem yoğunluk fonksiyonunun tablosunu çıkarmak için örneklem tablosunun geniş tutulması gerekecektir.

Ayrıca ülkemizde gerçekleşecek ve büyük bir yıkım yaratacak İstanbul depremi 2030 yılına kadar bir süre içerisinde kesin gerçekleşeceği yönünde. Şiddet olarak 7.0 ve 7.5 arası olması öngörülüyor. Marmara bölgesinde bulunan fay hatlarının hareketleri göz önüne alındığında bölgenin hareketli olduğu sismologlar tarafından ifade ediliyor. Yerin gerçekleşme derinliğine bağlı olarak yıkımın büyük olması öngürülüyor.

Yazının bitiminde okurların Gölcük depreminde enkaz altından çıkarılan insanların havanın kıpkırmızı olduğunu ve anlaşılmayan bir ses duyduklarını ifade eden cümleleri sizce ne anlam ifade ediyor?

Her yıl çok sayıda deprem oluyor. Bu depremlerin bir kısmı insanlar tarafından hissedilemeyecek kadar düşük şiddette olurken bazıları sebep oldukları tahribatlar ile felaketlere yol açıyor. Richter büyüklük ölçeği -ya da kısaca Richter ölçeği- depremlerin şiddetini ölçmekte kullanılan, adını en sık duyduğumuz ölçek. Peki, Richter ölçeği tam olarak nedir ve bize depremler hakkında hangi bilgileri verir?

Richter ölçeği 1935 yılında Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından geliştirilmiştir. Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

M_L=log(A/A₀(δ))

Bu formülde M_Ldepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A₀(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder. Şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için depremin şiddetinin Richter ölçeğine göre 1 birim artması gerçek şiddetinin on katına çıkması anlamına gelir. Ölçeğin geliştirildiği zamandaki teknolojilerle ancak 3 ve daha büyük şiddetteki depremler ölçülebilmesine rağmen, aslında ölçeğin alt sınırı yoktur. Hatta günümüzde var olan hassas sismograflarla Richter ölçeğine göre değeri negatif olan depremleri bile belirlemek mümkündür (Birden küçük sayıların logaritması negatiftir).

Richter ölçeği ile büyüklüğü 8’den fazla olan depremlerin şiddeti ölçülemez. Çok büyük depremlerin şiddetini ölçmek için başka yöntemler kullanılır. Fakat diğer yöntemlere göre yapılan ölçümlerden de kamuya açık yayın organlarında “Richter ölçeğine göre” şeklinde değinilmesi yaygındır.

Richter ölçeği sadece depremin büyüklüğü hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10^(3/2)=31,6 katına çıkar.

sonraki yazı

Deprem ve Matematik

Yazar: admin Kategori deperm, matematik

Dünyanın aktif deprem kuşaklarından biri olan Alp-Himalaya deprem kuşağı üzerinde olan ülkemizin yüz ölçümünün % 42’si birinci derece deprem kuşağında yer almaktadır. Bu nedenle deprem ile ilgili biraz daha bilgi sahibi olmak iyi olacaktır.

Sismoloji (Deprem Bilimi) terimi deprem anlamına gelen Yunanca “seismos” ve bir şey hakkında konuşmak anlamına gelen “logos” kelimelerinin birleşiminden oluşur.

Modern sismolojinin babası İrlandalı Robert Mallet olarak kabul edilse de temeli MÖ 4. yüzyılda, yeryüzü sarsıntılarına yeraltı boşluklarındaki hava hareketlerinin neden olduğunu düşünen Aristoteles’e kadar gider.

MS 2. yüzyılda Çinli astronom, şair ve matematikçi Zhang Heng insanların hissetmediği sarsıntıları bile tespit edebilen ilk sismografı icat etmiştir.

Ancak araştırmacılar bugün cisim dalgaları (yerküre içinde hareket eden dalgalar) ve yüzey dalgaları olarak sınıflandırılan sismik dalgaları 20. yüzyılın başlarında tam olarak anlayabildi.

Richter ölçeği Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından 1935’te geliştirilen, bir depremin büyüklüğünü ve sarsıntı oranını ölçmek için kullanılan bir ölçektir.

Daha doğrusu bir zamanlar kullanılıyordu dersek daha doğru olacaktır çünkü şu anda kullandığımız ölçeğin adı Moment Magnitüd Ölçeği. Ancak bu yeni ölçekte Richter ölçeğine göre ayarlandığı için aralarında bizim ayrım yapabilmemiz pek de mümkün değil. Bu geçişin nedeni ise 7’den büyük depremlerde Richter ölçeğinin doğru sonuç verememesi.

Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

M _L = log (A / A ₀ (δ))

Bu formülde M_Ldepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A₀(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder.

Peki depremleri ifade ederken kullandığımız rakamlar ne anlam ifade etmelidir bizler için…

Öncelikle şunu açıklığa kavuşturalım. Her ne kadar depremler için 6, 7, 8 gibi birer artan ifadeler kullanılsa da aslında şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için bu sayılar logaritmik olarak 10’ar olarak artarlar.

Yani 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 ise 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır.

Richter ölçeği sadece depremin şiddeti hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10^(3/2)=31,6 katına çıkar. Bunu yaklaşık 30 olarak kabul edersek kabaca 7 şiddetindeki bir depremde salınan enerji miktarı 5 şiddetinde salınandan 900 kat daha büyüktür diyebiliriz.

Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin edemeseler de bunu hayvanlar daha iyi yapabilmekte.

Köpekler, bizim kulaklarımızın duyamadığı çok yüksek frekanslı P dalgalarını duyabiliyor. P dalgaları cisim dalgalarının bir tipidir. Bazen birincil ya da sıkışım dalgası olarak da adlandırılıyor. Diğer dalgalardan daha hızlı yol alıyor ve deprem sırasında ilk tespit edilen dalga tipi olarak biliniyor.

Cisim dalgalarının diğer bir tipi olan S (ikincil) dalgaları daha yavaştır ve parçacıkları dalganın kendisine dik yönde, ya aşağı yukarı ya da yanlara doğru hareket ettirirler.

Günümüzde sismik dalgalar artık anlaşılmış olsa da bilim büyük depremler sırasında ya da öncesinde gökyüzünde görüldüğü bildirilen çok renkli ışıkları henüz açıklayamıyor. Bu ışıklarının görülmesi MÖ 4. yüzyıla kadar dayanıyor. Araştırmacılar bu deprem ışıklarının, büyük sarsıntılardan önce stres arttıkça fay hattında oluşan pozitif yüklerin bir sonucu olabileceğini düşünüyor.

Doğanın güçlerine karşı şu an elimizde tam kesinleşen bir bulgu yok, varsayımlar üzerine konuşuyoruz ancak deprem kuşağında bir coğrafyada yaşadığımıza hatırlayarak bu konu hakkında farkındalık düzeyimizi arttırmamız oldukça önemli bir konudur.

Kaynak: http://discovermagazine.com/2017/may-2017/20-things-you-didnt-know-about–earthquakes

sonraki yazı Matematik ve Richter Ölçeği

Matematik ve Coğrafya

Yazar: admin Kategori coğrafya, matematik

Coğrafi rakamlar sadece mevsim şartları, sıcaklık, nem, derece, yağmur ölçümü vb. Sayılarla açıklanır. Coğrafi koşullar da zengin / fakir bir ülkenin ekonomisini tanımlar. Hindistan gibi birçok ülke, iklimi, yağışları, nehirleri ve hava durumu tahminleri nedeniyle tarımsal ekonomiye sahiptir.

Harita Oluşturmada, Gece ve Günlerin Oluşumu, Güneş ve Ay Tutulması, Boylam Enlem, Maksimum ve Minimum Sıcaklık, Barometrik Basınç, Deniz Seviyesinden Yükseklik, Yer Ölçümü, Uluslararası, Yerel ve Standart Zamanın Hesaplanması, Araçlar vb. Ve işte başka birçok hesaplama da var. Pencap, Haryana ve UP Hindistan’da çok verimli ülkelerdir, bu yüzden tahıl dükkanlarına katkıda bulunurlar, orada endüstriler kurulur ama bu eyaletlerde mayın yoktur.

Coğrafyada matematiğin kullanıldığı çeşitli yollardan söz edilir. Düzlem Öklid geometrisi alandaki küçük alanların araştırılmasında kullanılırken, matematiksel coğrafyanın her iki geleneksel öğesi olan harita çıkıntılarının yapımında küresel geometri ve trigonometri gerekir.

Matematiğin coğrafyaya yeni uygulanmasında ağların mekânsal analizinde topoloji giderek daha fazla kullanılmaktadır.

Grafik teorisi, drenaj desenleri gibi çeşitli ağ türlerini tanımlamak için endeksler sağlar.

Jeomorfolojideki dinamik süreçleri incelemek için diferansiyel denklemler gerekir. Bölgesel coğrafya verilerinin tanımlanması ve analizinde trend yüzey analizi, faktör analizi, küme analizi ve çoklu ayırıcı analiz gibi istatistiksel teknikler uygulanabilir.

Coğrafyadaki sorunları basitleştirmek için matematiksel modeller çeşitli şekillerde kullanılmaktadır.

Yerçekimi modeli gibi analog modellerin örneklerinden bahsedilmiştir.

Simülasyon modelleri ve Markov zinciri stokastik modelleri belirli coğrafi süreçlerin çalışılmasında değerlidir.

Oyun teorisi kısaca belirtilmiştir. Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir.

Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir.

Coğrafya, matematiksel teknikleri benimsemede nicel değer ve hassasiyet konusunda büyük kazanım sağlamıştır.

Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir.

sonraki yazı Deprem ve Matematik

Matematik ve Müzik

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Matematik ve Müzik arasında bir ilişki var mı?

Matematiğin Müzik ile ilgili olduğunu göstermek için bu konuyu oluşturmaya karar verdik, çünkü birçok kişi müzikte Matematik olduğu gerçeğini görmezden geliyor. Belki Math’ı sevmiyorsun ama endişelenme; Her bir kavramı basit bir şekilde anlatmaya çalışacağız, sadece sese olan duyarlılığımızın beynimizdeki mantığa bağlı olduğunu bilmeniz için. Bu gerçekten ilginç, bu yüzden önyargılarını bir kenara bırak. İyi öğrenildiğinde tüm bilgiler güzeldir.

Müzik konusundaki matematik konusuna gitmeden önce, bazı temel kavramları hatırlayalım.

Müzikte Fizik

Tamam, buradaki web sitesinde ilk başlıklarda , sesin bir dalga olduğunu ve sesin frekansının müzik notunutanımlayan şey olduğunu yorumladık . Fakat frekans nedir? Bu bir tekrarlamadır. Örneğin, bir bisiklet tekerleğinin döndüğünü hayal edin. Bu tekerlek 1 saniyede bir dönüş yaparsa, bu tekerlek frekansının “saniyede bir dönüş” veya “bir Hertz” olduğunu söylüyoruz. Hertz, yalnızca bir frekans birimini temsil eden bir addır ve normal olarak “Hz” ile kısaltılır. Örneğimizin bu tekerleği saniyede 10 tur tamamlarsa, frekansı 10 Hertz (10 Hz) olacaktır.

Güzel, ama sesle bağlantı nerede? Ses bir dalgadır ve bu dalga belirli bir frekansta salınır. Bir ses dalgası bir saniyede bir salınımı tamamlarsa, frekansı 1 Hz olacaktır. Bir saniyede 10 salınımı tamamlarsa, frekansı 10 Hz olacaktır. Her frekans için farklı bir sese (farklı bir nota) sahip olacağız. Örneğin bir not, 440 Hz’lik bir frekansa karşılık gelir.

Müzikte matematik

Ve Matematik müzikte nereye girer? Bir frekans 2 ile çarpıldığında notun hala aynı olduğu görülmüştür. Örneğin, 2 = 880 Hz ile çarpılan A (440 Hz) ayrıca bir A’dır, ancak sadece bir oktavdır . Eğer hedef bir oktavı düşürmek olsaydı, sadece 2’ye bölünmesi yeterli olurdu, o zaman bir not ile onun notunun ½ arasında bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz.

Çok iyi, devam etmeden önce, geçmişe, Eski Yunanistan’a dönelim. O zamanlar Pisagor adında bir adam vardı ve Matematiğe (ve müziğe) gerçekten önemli keşifler yaptı. Oktavlar hakkında gösterdiğimiz şey, gerilmiş bir dizeyle “oynamayı” keşfetti. Ekstremitelerine bağlı gerilmiş bir ip hayal edin. Bu dizgiye dokunduğumuzda titrer (aşağıdaki çizime bakın):

Pisagor, bu ipi iki parçaya bölmeye karar verdi ve her ekstremiteye tekrar dokundu. Üretilen ses aynıydı, ama daha akuttu (çünkü yukarıdaki bir oktav aynı nota idi):

Pisagor orada durmadı. İp 3 parçaya bölünmüşse sesin nasıl olacağını deneyimlemeye karar verdi:

Yeni bir sesin çıktığını fark etti; öncekinden farklı. Bu sefer, yukarıdaki bir oktavla aynı nota değil, başka bir isim alması gereken farklı bir nota değildi. Bu ses, farklı olmasının yanı sıra, bir öncekiyle iyi çalıştı, kulağa hoş bir uyum yarattı, çünkü bu bölümler şimdiye kadar Matematik ilişkilerinin 1/2 ve 2/3 olduğunu gösterdi (beynimiz iyi tanımlanmış mantık ilişkilerini sever).

Böylece alt bölümler yapmaya ve sesleri matematiksel olarak ölçekler yaratan ölçekler yaratarak birleştirerek, daha sonra bu ölçekleri çalabilecek müzik aletleri yaratılmasını teşvik etti. Tonlu aralığı, örneğin, bu ses dengesiz ve gergin dikkate almak beynimizi kılan bir ilişki 32/45, karmaşık ve yanlış ilişki, faktör elde edilmiştir. Zamanla, notlar bugün bildiğimiz isimleri alıyordu.

Matematik ve müzik ölçekleri

Birçok halk ve kültür kendi müzik ölçeklerini yarattı . Buna bir örnek, Pisagor fikriyle başlayan (dizeleri kullanan) Çin halkıdır.

Uzatılmış bir dizgede C çaldılar ve daha önce gösterdiğimiz gibi bu dizgiyi 3 parçaya böldüler. Bu bölümün sonucu G notu oldu. Bu notların uyumu olduğunu fark ettim; G ile başlayan prosedürü tekrarladılar, bu ipi tekrar 3 parçaya böldüler, D notu elde ettiler. Bu not, G ve C ile hoş bir uyum gösterdi. Bu prosedür D’den başlayarak A ile sonuçlandı. A’dan başlayarak, E aldılar.

Bu ipi tekrar üç parçaya bölme prosedürünü bir kez daha tekrarladılar ve B ile sonuçlandılar, çünkü bir sorun vardı, çünkü B C ile oynandığında iyi uymuyordu (deneyin ilk notu). Aslında, bu notlar birbirlerine “yakın bir rahatsızlığa” neden olan birbirine çok yakındı.

Bu nedenle Çin, B’yi bir kenara alarak C, G, D, A ve E notlarını alarak bölümlerini tamamladı. Bu notalar, Çin Notaları için temel teşkil etti ve 5 nota ( Pentatonic ) ile ölçeklendi . Bu Pentatonik Ölçek, hoş ve ünsüz olmak için, her zaman uyum ve istikrarla bağlantılı olan Oryantal Kültürü çok iyi temsil etti.

Pentatonic Scale, yaratılışından bu yana, “ Pentatonic Scale ” başlığında söylediğimiz gibi, melodiler için iyi bir seçenek . Ama şimdi notların ve frekansların konusuna dönelim, çünkü ölçeğin 5 notunu gösterdik.

12 notun matematiği

12 nota ile çalışan batı müziği B notalarını Oryantal Kültür’ün yaptığı gibi atmadı. Batılı insanlar, C ve B notalarının birbirine yakın olduğunu gözlemledi ve daha kapsamlı bir ölçek oluşturmaya karar verdi. Bu ölçekte, tüm notlar birbiri ile aynı mesafeye sahip olmalıdır. Ve bu mesafe C ve B (bir yarı ton ) arasındaki aralık olmalıdır . Başka bir deyişle, C ve D arasında, örneğin, bir ara not bulunmalıdır, çünkü C ve D (bir ton) arasındaki mesafe C ve B mesafesinden (bir yarı ton) daha büyüktür. Bir frekans analizi yoluyla, B notundaki frekansın 1.0595 sayısı ile çarpılmasının C frekansına geleceğimiz keşfedildi.

B frekansı: 246.9 Hz

C frekansı: 261.6 Hz

B frekansını 1.0595 ile çarparak şöyle olur:

246.9 x 1.0595 = 261.6 Hz (not C).

Amaç, diğer notalarla aynı ilişkiyi (mesafeyi) korumak olduğundan, bu notu C’den sonra hangi notun geleceğini bulmak için kullanacağız. C sıklığının 1.0595 ile çarpılması:

261.6 x 1.0595 = 277.2 Hz (keskin Not C)

C keskininden sonra ne olduğunu görmek için bu prosedürü tekrarlayın:

277.2 x 1.0595 = 293.6 Hz (not D)

Bu mantığı izleyerek tüm kromatik ölçeği oluşturabileceğimize dikkat edin ! Başka bir deyişle, C sıklığını on iki kez “1.0595” sayısıyla çarptıktan sonra, C’ye geri döneceğiz. Bu, “1.0595”, ¹² √2 karekökünün sonucuna karşılık geldiği için mümkündür . ¹² √2 ‘nin 12 kez kendi kendine çarptığına dikkat edin ( ¹² √2) ¹² = 2. Ve zaten 2 ile çarpılmış bir notun yukarıda bir oktav olduğunu gördük.

Şimdi bu sayıların tesadüfen gelmediğini açıkça görebiliyoruz. Başlangıçtan bu yana amaç, ölçeği ilk notun geri döneceği şekilde 12 aynı bölüme ölçek ayırmaktı.

O böyle oldu Eşit Ilıman Ölçeği da Kromatik olarak adlandırılan çıktı.

Müzikte Logaritma

Çok fazla ayrıntıya girmeyeceğiz, ama biraz Math’ı bilenler burada 2 numaralı logaritma ile çalıştığımızı fark ettiler. Bu nedenle, piyano yapımcıları piyano gövdesinde bir logaritma grafiği oluşturduğunu Müzikal Matematik Keşfi’ne referans vermek için. Kontrol et:

Logaritma grafiği örneği:

Vücut planı:

Müzikle ilgili birçok soruya daha birçok Matematiksel açıklama var, ama onları burada göstermek için Matematikte ileri konu hakkında konuşmak gerekir, Fourier dizileri, Riemann Zeta Fonksiyonu, vb. daha derine inme

Buradaki amacımız müziğin matematiksel olarak nasıl çalıştığını ve beynimizdeki mantıksal ilişkilerin nasıl anlaşıldığını, huzur ve gerginliği yarattığını göstermekti. Açıkçası, yaklaşımı kullanarak her şeyi yaptık (yuvarlak sayılar), çünkü daha doğru bir analiz okuyucuların çoğuna sıkıcı gelecektir.

Bu konuda öğrettiğimiz her şeyi ezberlemek gerekli değildir; sadece müziğin hiçbir yerden gelmediğini düşün. Müzik, sayısal bir organizasyonun sonucudur. Bütün bunların yorumlanması, harika ve gizemli beynimiz tarafından yapılır.

Sonuç olarak, eğer bir müzisyenseniz, yani (bir şekilde veya başka bir) matematikçisiniz, çünkü müzik dinlerken hissedeceğiniz zevk duyguları bilinçaltı hesaplamaları gizler. Beyniniz hesaplamaları sever, bu bir hesaplama makinesidir! Ne kadar çok pratik yapar, müzik okur ve bilir, bu fakülte o kadar çok gelişir. Muhtemelen daha önce size büyük hisler getirmeyen şarkıları dinlerken zevk almaya başlayacaksınız.

Bunu ilk yarıyılda Fizik öğrencisiyle karşılaştırabiliriz. Modern bir Fizik kitabı okursa, ona Yunanca gibi görünür. Ona hiç zevk vermeyecek. Fakat birkaç yıl sonra iyi bir Matematik temeline sahip olacağı ve bu kitapla yeniden yüzleşeceği zaman, belki konuyu sevebilir ve hayatının geri kalanını bunun içinde geçirmek isteyebilir.

sonraki yazı

Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Ünlü Yunan filozofu ve matematikçi Pisagor, bir keresinde “tellerin uğultusunda geometri var, kürelerin arasında bir müzik var” dedi. Pythagoras aslında bu ifadeyi doğrudan bir şiir olarak yorumluyor olsa da müzik ve matematik arasındaki ilişki. Görüyorsunuz, müzik tamamen matematikle iç içedir, öyle ki temel bir akor bile matematiksel olarak tanımlanabilir. Müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı daha da vurgulamak için, matematiği dalga frekansları, ölçekler, aralıklar ve sesler gibi ortak müzikal kavramlarda inceleyelim.

Müzik ve Matematik Çalışmaları Tarihi

Müziğin performans ve zevk için uzun süredir çaldığı yaygın bir bilgi olmasına rağmen, müzik çalışması, özellikle de matematikle ilişkisi, performans için müzik kadar eşit bir şekilde devam etmektedir. Yunanlılardan Mısırlılara, Kızılderililere, Çinlilere, hemen hemen her eski uygar kültür, müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı inceledi . Ünlü filozof Plato’nun müziğe, özellikle de uyumlara aşırı bir ilgi duyduğu ve hem bireyin hem de toplumdaki önemini vurgulamasına yardımcı olduğu biliniyordu. Müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin önemini tespit eden tek filozof Plato değildi – antik Çin filozofu Konfüçyüs’ün müzik içerisinde bir takım temel gerçekler olduğunu söylediği söylenir.

Dalga frekansları

Müzik dinlediğimizde, bir şarkı ya da nota koleksiyonu duyduğumuzu varsayıyoruz, ancak beynimizin aslında işlediği ses dalgaları. Örneğin, bir nota çalındığında, ses dalgaları bir enstrümandan veya amplifikatörden hareket eder ve kulak davullarımızda yankılanır ve beynimize hangi adımın veya notanın çalındığını söyleyen bu ses dalgasının frekansıdır (örneğin orta C’nin üstündeki E yaklaşık 329.63 Hz’de yankılanır). Ses dalgalarını anlamak, özellikle de oktav notaları arasındaki fark biraz matematik ve fizik gerektirir. Belirli bir notun sıklığını bulmak için, sabit bir not alın (geleneksel olarak 440Hz frekansı olan A’nın orta C’sidir) ve 2 adımın on iki kökü ile çarparak yarım adım öteye kadar İstediğiniz not orta A’dan (not orta A’nın altındaysa), gücü negatif yapın). Bu seni şaşırtıyorsa, endişelenme! Aşağıda orta C frekansının nasıl bulunacağına bir örnek verilmiştir:

Orta C frekansı
- = 440Hz * 2 (1/12) negatif 9. güce (orta C, A’nın 9 altında 9 adımdır)
  - = 440Hz * 0.59460
    - = ~ 261.625

Aralıklar ve Zil Sesleri

Bazı notaların veya aralıkların birlikte çalındığında neden hoş göründüğünü merak ediyorsanız, bunun için de matematiksel bir açıklama var! Yukarıda gösterildiği gibi, her notun benzersiz bir frekansı vardır, ancak bir araya getirildiğinde, bu frekansların tümü güzel bir harmonik akor yapmaz. Aslında, bazı not kombinasyonları oldukça delici ve sert gelebilir. Peki ne verir? Güzel bir sondaj akoru yapan aralıklar, benzer düzenlerde yankılanan ses dalgalarına sahip olma eğilimindedir. A (440 Hz) ve E (659.25 Hz) olan orta A ana aralığına bakalım. Her ses dalgasını inceliyorsanız, altta A, üstte E ise, E’nin frekansının A’nınkinden yaklaşık 3/2 daha büyük olduğu ve kolay ve sindirilebilir bir fraksiyon yaptığı anlaşılacaktır. Bu basit matematiksel ilişki, büyük ölçüde iki notun birlikte çok hoş görünmesine neden olurken, daha soyut bir kesir daha hoş olmayan, daha az hoş bir sesle sonuçlanacaktır.

Sınıfta Müzik ve Matematik

Müzik ve matematik arasındaki bağlantılar geniş ve karmaşık görünebilir, bu yüzden yardım etmek için, sınıfta müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin birkaç farklı yolu:

Desen etkinlikleri
- Öğrencilerin bir deseni analiz etmelerini ve ardından kalıbın kurallarını bildirmelerini sağlayın.
- Sonra, sıradakileri tahmin etmek için kuralı kullanmalarını sağlayın.
Notları ve dinlendirmeleri ekleme ve çıkarma
Kesirleri daha iyi anlamak için kompozisyonları inceleyin
Şekilleri, kesirleri, oranları, sıralama ve kombinasyonları anlamak için zaman imzalarını analiz edin

sonraki yazı Müziğin büyülü matematiği

Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

Yazar: admin Kategori ahenk, matematik, müzik, ölçü, ritim

Müzik ne kadar duygusal ve sıcaksa matematik bir o kadar mantıksal ve soğuk. Oysa araştırmalar müziğin ve matematiğin yakından ilişkili olduğunu gösteriyor. Öyle ki beynimiz müziğin içerdiği karmaşık duygusal mesajlardan başka içindeki matematiği algılayacak şekilde gelişmiş. Hatta müzikle uğraşmanın matematiksel algılamayı geliştirdiği öne sürülüyor.

Müziğin matematikle ilişkisinin anlaşılabilmesi için beynimizin müziği nasıl algıladığının ve müzik icra ederken nasıl çalıştığının keşfedilmesi gerekiyor.

Müziği algılayabilmemiz için öncelikle seslere bazı “anlamlar” yükleyebilmemiz gerekir. Müzik seçilmiş frekanstaki seslerle yapılır. Bu seslere perde denir ve bir müzik aleti akort edilirken notalar bu perdelere göre ayarlanır.

Ritim algısı beyindeki işitsel ve motor işlevlerden sorumlu bölgelerde gerçekleşir. Bir müzik algısının oluşabilmesi için ritmin ve perdenin bir şekilde birbiriyle etkileşim halinde olması gerekir.

Müzik icra etmek ise en azından üç temel motor kontrol işlevi gerektiriyor. Bunlar zamanlama, notaları sıralama ve motor hareketlerin organizasyonu.

Zamanlama, yani sesleri ya da notaları neredeyse mükemmel bir şekilde doğru aralıklarla sıralayabilme, sinirsel bir “metronoma” sahip olduğumuzu gösterir. Bir piyanist on parmağıyla hiç şaşmadan bir dizi hareket yapar. Bu hareketin koordinasyonu yine beynin birçok farklı bölgesininin birlikte çalışması sayesinde gerçekleşebiliyor.

Araştırmalar, müzisyenlerin beyninlerindeki gri maddenin motor, işitsel ve görsel-uzamsal bölümlerinin hacimsel olarak farklı olduğunu göstermiş durumda. Bu da beynin ilgili alanlarının “kullanıma” bağlı olarak belirgin biçimde gelişim gösterdiği anlamına geliyor. Müzisyenlerin beyinlerinin bellekle ilgili kısmının da daha gelişmiş olduğu da uzun zamandır biliniyor.

İşitme duyularımızla algılayabildiğimiz titreşimlere ses diyoruz. Ses dalgaları, enerjinin yayılma biçimlerinden biridir. Sesin kaynağı kulağımızın algılayabileceği hızda titreşen herhangi bir cisim olabilir; bir yaylı çalgının gövdesi ya da bir hoparlörün diyaframı gibi.

Bir gitarın teline vurduğumuzda tel titreşmeye başlar. Ne var ki telin yüzey alanı çok küçük olduğundan havayı yeterince titreştiremez. Sesin bir şekilde yükseltilmesi gerekir. Bu işi gitarın gövdesi yapar. Her çalgının farklı ses karakterine sahip olmasının nedeni çalgının gövde yapısıdır.

Her ne kadar kulağımız hassas bir algılayıcı olsa da belli aralıktaki frekansları işitebilir. Bu saniyede yaklaşık 20 ile 20.000 titreşim aralığıdır. Frekans saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz’dir (Hz). (Hertz, 19. yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim insanının adıdır.)

Bazı canlılar daha geniş bir frekans aralığını algılayabilir. Örneğin köpekler 50 ile 45.000 Hz, kedilerse 45 ile 85.000 Hz aralığındaki sesleri duyabilir. Yarasalar 120.000 Hz’e, yunuslarsa 200.000 Hz’e kadar olan sesleri algılayabilir.

Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz) algılarız. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Müzik konusunda iyi eğitilmiş kişiler, frekansları birbirinden sadece 2 Hz farklı olan iki sesi bile birbirinden ayırabilir.

Eski Yunanlılar matematik ve müziğin ayrılmaz bileşenler olduğunu düşünürdü. Müziği oluşturan seslerin arasındaki matematiksel ilişkiyi keşfetmişlerdi. Yunanlı matematikçi ve filozof Pisagor’un öğretisine yer verilen okullarda müzik de aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı düzeyde ele alınırdı.

Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, bu notaları oluşturan sesler arasındaki matematiksel ilişkiyi biz de keşfedebiliriz. Evimizdeki herhangi bir telli çalgıyı bunun için kullanabiliriz. Eğer telli bir çalgımız yoksa, bir parça tahta ve bir tel (bir gitar teli ya da misina olabilir) kullanarak basit bir çalgı yapabiliriz.

Yaklaşık yarım metre uzunluğundaki bir tahtanın iki ucuna çiviyle tutturarak gereceğimiz telin altına, tahtanın iki ucuna yakın yerlere birer destek koymalıyız ki tel tahtadan biraz uzaklaşsın ve serbestçe titreşebilsin. Destek olarak kalem kalınlığında iki tahta parçası kullanabiliriz.

Telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan çalgımızın teline vurduğumuzda çıkan sese “armonik” denir. Bu aynı zamanda, tek telli çalgımızın çıkarabileceği en kalın sestir. Buna “çalgının temel frekansı” da denir.

Çalgımızın temel frekansının 220 Hz (saniyede 220 titreşim) olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun üçüncü oktavındaki “la” notasının frekansıdır (Buna kısaca la3 diyelim).

Telin rastgele seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp tele vurarak değişik frekansta sesler elde edebiliriz. Parmağımızı telin tam ortasına basarak tele vurursak, kulağımıza telin birinci armoniğiyle uyumlu gelen bir ses duyarız. Bu ses, bir oktav yukarıdaki la notasıdır (la4) ve frekansı telin temel frekansının iki katı, yani 440 Hz’dir.

Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4’üne denk gelen noktaya basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine la (la5) notasıdır, ama bu kez frekans dört katına, 880 Hz’e çıktı; yani bir oktav daha inceldi.

Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit bir matematiksel ilişki var. Beynimiz bir şekilde bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor.

Aslında elimizde bir cetvel yoksa telin tam ortasını göz kararı bulmak zordur. Ama müzik kulağı iyi olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın gözümüze göre çok daha duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız.

Oktavlar bir telin en basit biçimde bölünmesiyle elde edildiğine göre, kuşkusuz değişik notalar oluştururken ona da temel olacak. Bir oktav aralıklı iki do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa, öteki notalar arasında da benzer bir ilişki vardır. Eğer bir oktavı rastgele değil de belirli oranlarda bölecek olursak farklı notalar elde ederiz.

Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım.

Oktavdan sonraki en önemli aralık ‘’beşli’’dir. Bunun için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli adı, başlangıç boyundaki tel ile boyu onun 2/3’ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş nota bulunmasından gelir.

Bir başka aralıksa dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen ses ile orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa uyumlu gelir. Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir.

Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam ortasına basarak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri, ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz.

Yedi notalı sisteme göre sayısal bölünme, yedi notaya karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), re (1,125), mi (1,250), fa (1,333), sol (1,500), la (1,667), si (1,875).

En basit ve günümüzde de geçerli olan sistem, bir oktavın on ikiye bölünmesiyle elde edilen (bir oktavı oluşturan ana ve ara notalar) eşit aralıklı sistemin Johann Sebastian Bach tarafından oluşturulan halidir. Bu sistemde birbirini takip eden iki notanın frekansları arasındaki farkın katsayısı yaklaşık 1,1225’tir.

Bu bilgiler ışığında müziğin eğlence amacıyla dinlenen ya da icra edilen bir olgu olmaktan öte, atalarımızdan miras kalmış, beynimizin derinlerine kazınmış çok yönlü bir iletişim aracı olduğunu söyleyebiliriz.

Hem duygusal hem de fiziksel mesajlar veren, evrensel bir iletişim aracı…

Kaynak: matematiksel.org

sonraki yazı Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

Matematik ve Müzik

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler.
Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır.

Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır.

Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir.

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Bilim “doğru” yu, sanat ise “güzel” i temsil eder. Bilimde teoriler ve ispatlar vardır. Bir teori ortaya atılır ve bu teori belli prensiplere ve kurallara bağlı olarak sonuca ulaştırılır. Sanatta ise bireysel düşünceler daha ön plandadır. Kurallar ve prensipler, değişik zamanlarda değişik ekollere göre farklılık gösterebilir.
Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Bir teorinin ispatındaki güzellik matematikçiler için bir doyum noktası olabilir. Aklımıza ispattaki güzellik nedir diye bir soru gelebilir. Daha kısa olması mı? Daha kolay olması mı? Sertöz’ün (1996: 6,7) “Matematiğin Aydınlık Dünyası” isimli kitabında Tosun Terzioğlu bunu ” matematiğin iç estetiği” olarak adlandırmaktadır ve bu yüzden matematiği sanatla bağdaştırmakta ve hatta en çok müzikle ilişkilendirmektedir. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar. Müzikte önce “güzel” vardır, sonra “doğru”. Ancak bu tartışılabilir. “Hermann Weyl şöyle demiştir, “Çalışmalarımda her zaman doğru ile güzeli birleştirmeyi denedim; fakat bir tanesini seçmek zorunda kalsam, genellikle güzeli seçerim.” … İngiltere’nin önde gelen matematikçilerinden G.H.Hardy ise kitabında şöyle demektedir, “Dünyada çirkin matematiğe yer yok” ” (Rothstein,1996: 139). Matematikteki güzel bir ispat insanları kolay kolay ağlatmaz, öte yandan müzikteki güzel bir beste veya icra dünyadaki dengeleri hiçbir zaman değiştiremez.

Matematik, önünüze bir problem koyar ve çözmenizi ister. Bir süre sonra bir bakarsınız ki önünüze konulan problemler birbirleri ile bağlantılı, uyumlu, karışıklıklar içinde çok basit gerçekler gizlenmiş. Sizin bulmanızı bekliyor. Doğru, güzel ve uyumlu. Kimileri matematiğin doğadan geldiğine inanırlar. Matematik zaten vardır ve biz onu anlamaya çalışırız. Kimileri ise matematiği insanların yarattığına inanırlar. ” Müzik, nedensiz bir şekilde insanı harekete geçirmede etkilidir, matematik ise nedensiz bir şekilde doğayı harekete geçirmede etkilidir” (Winkel, 2000: 5).
Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir? Birçok insan için matematik kısaca “baş belası” dır. İnsanlar matematiği sevmediklerini söylemekten sakınmazlar. Bazı insanlar için ise matematik hayatın kendisidir ve sevmenin bir yoludur. Bunun için de anahtar matematiği anlamaktır.

Matematik ve müziği birbirinden ayıran önemli unsurlar olmasına rağmen bu iki disiplin birçok açıdan son derece ilişkilidir. Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir.
Matematik ve müzik ilişkisi çeşitli boyutlarda düşünülebilir; İlk olarak müziğin kökenindeki matematikten bahsedebiliriz. Müziğin armonik yapısı matematikseldir. Sadece matematikseldir demek yanlıştır ancak belirli kurallara bağlı olarak biçimlendirilir. Tarihin değişik dönemlerinde değişik kurallar uygulanmıştır ancak mutlaka matematiksel bir köken olmuştur. İkinci olarak müziğin bilişsel aktiviteler üzerine etkisi akla gelmektedir. Gerek arka plan müziği olarak kullanılan müzik, gerekse müzik eğitimi kişilerin bilişsel performanslarını dolayısı ile matematik performanslarını geliştirmektedir. Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı” , matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

MÜZİĞİN TEMELİNDEKİ MATEMATİK

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. “Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır. Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton’un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır. Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları şaşırtıcı gelmemelidir” (Archibald,1923: 2). Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki ilişkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür. Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır. Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur. Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur.
Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi “tetrakord” olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize “altın oran” konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır.
Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.
2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M )
Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.
Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)
Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.
Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;
3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m
2:27/32=16/27 6M
2:64/82=81/128 6m
2: 8/9=9/16 7m
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.
Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir .
Tampere edilmiş 5 li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür.
Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995).
Euclid (M.Ö. 300)’in çalışmaları temel olarak Pythagoras’a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Maj. 3 ‘lü ve Maj. 6’lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid ‘in Maj. 3’lüsü 4/5=64/80 iken, Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).
Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine ‘oran’ anlayışı büyük önem taşımaktadır. Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ’a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır. Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.
Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci’dir. Leonardo Fibonacci (1175-1240) bir İtalyan matematikçisidir. Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak ençok “tavşan çiftliği” problemi ile meşhur olmuştur. Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur. Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Burada bizim için önemli olan orandır. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398……Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,
(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.
Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings, percussion and celeste” parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel’in “Hallelujah” eseridir. Bu eserde toplam 94 ölçü vardır. En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin girişi “Kings of kings”, 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. Yani 94 ölçünün 8/13 inde. 94. 8/13=~58. İlk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34. ölçüdür) “The Kingdom of Glory…”teması başlamaktadır. İkinci 37. ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) “And he shall reign…. ” tekrar solo trompetlerin görüldüğü önemli bir bölüm gelmektedir. Haendel’in bu kompozisyonu yazarken ne düşündüğünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek, müzikte altın oranın kullanılabileceğini bize göstermektedir (Beer, 1998:8).

Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996).

19. yy. da J. Fourier, müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduğu görüşünü savunmaktadır. Bu doğrultuda yeni bir ses sistemi geliştirmiştir. Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiştir. Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kişinin fiziksel koşullara göre algılaması gerektiğinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliştirmiştir. Bu bir tür “deneme teorisi” dir. ( Gönen, 1998:13)

MÜZİĞİN MATEMATİK EĞİTİMİNE KATKISI

Müzik çok etkin bir eğitim aracıdır. Sadece matematik için değil birçok alanda çok etkili bir araç olarak eğitimde kullanılmaktadır. Müzik pek çok insan için bir eğlence kaynağıdır. Duyguları harekete geçirir. Müzik dinlemek, bir enstrüman çalmak, dans etmek bize büyük zevk verir . Müzik özellikle çocuklarda duygusal, sosyal,. fiziksel ve bilişsel açıdan çok etkilidir. Müzik beynimizi harekete geçirir. Bu yüzden müzik, daha iyi beyin faaliyetleri için araç olarak kullanılabilir. Yapılan pek çok araştırmada görülmüştür ki; pek çok çeşitli becerinin müzik ile öğretimi çok daha etkilidir.
Dünyanın değişik yerlerinde matematik eğitimi ile ilgili yapılan pek çok araştırmada, verilen eğitimin yeterli olmadığı, yeni yaklaşımlar üzerinde çalışılması gerektiği yönünde sonuçlar ortaya çıkmaktadır. Matematik pek çok ülkede eğitim açısından en sıkıntılı derstir. Buna önyargılar, yetersiz altyapı, yetersiz imkanlar gibi pek çok sebep sayılabilir. Ancak sonuçta şu konuda hemen herkes birleşmektedir ki; matematik eğitiminde yeni yaklaşımlara ihtiyaç vardır. Müzik, özellikle okul öncesi dönemde çok daha etkin bir öğretim aracı olarak kullanılabilir. Okul öncesi dönemde verilecek temel matematiksel kavramlar müzik ile çok daha etkin bir şekilde verilebilir Okul öncesi dönem, çocukların yeteneklerini ortaya çıkartmak ve yönlendirmek açısından büyük önem taşımaktadır. Matematiğin ve müziğin temeli bu dönemde atılmalıdır.

Araştırmacılar küçük çocuklarda, ileri matematik çalışmaları yapılamayacağı fakat onlara çok hoşlanacakları için müzik dinletmenin de yüksek beyin fonksiyonlarını sağlayacağını düşünmektedirler. Shaw (2000) çocuğa, tercihen okulöncesi dönemden başlayarak, okullarda verilen müzik eğitiminin onun uzamsal temporal akıl yürütmesini, dolayısı ile de ileride matematik performansını olumlu etkileyeceğini ifade etmektedir. Daha kalıcı bir beyin gelişimi için çocuklarda uzun yıllar piyano eğitimi uygulamasını da önermektedir (Shaw,2000:32,22)
Müzik ile bilişsel aktivitelerin gelişimi konusunda yıllardır çeşitli araştırmalar yapılmıştır. Ancak medya tarafından ençok ilgi gören araştırma 1993’te “Mozart Etkisi” (Mozart Effect) olarak duyurulmuş ve çok dikkat çekmiştir. Araştırma Frances Rauscher tarafından yürütülmüştür. Amerika’da Psikoloji bölümünde okuyan 38 öğrenciye 10 dakika süre ile Mozart’ın iki piyano için yazdığı Re Maj. Piyano Sonatı (K.V.448) dinlettirilmiştir. Daha sonra öğrencilere üç boyutlu düşünme testi uygulanmıştır. Sonuçta, kontrol grubuna kıyasla Mozart dinleyen gruptan 8-9 puan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. Müzik ile üç boyutlu düşünme arasındaki ilişki o dönemde ortaya atılmıştır. Sonuçlar açıklandıktan sonra araştırmacılardan birisi olan teorik fizikçi Gordon Shaw Mozart müziğinin beyne jimnastik yaptırdığını öne sürmüştür ve şöyle demiştir : ” Karmaşık yapılı müziğin matematik ve satranç gibi ileri düzey beyin etkinlikleri ile ilgisi olan belli karmaşık sinirsel örgütler arasındaki iletişimi kolaylaştırdığına inanıyoruz. Bunun aksine basit ve tekrara dayanan müziğin karşıt bir etki yapabileceğini düşünüyoruz. ” (Campbell,2002: 25-26).
Yapılan çeşitli Mozart Etkisi çalışmalarının yanında fareler üzerine yapılan bir çalışma ilginçtir. Farelere uzun süre Mozart müziği dinlettirilmiş ve labirent çözmede daha başarılı oldukları gözlemlenmiştir. Farelerin öğrenme düzeylerindeki artış müzik kesildikten 4 saat sonrasına kadar etkili olmuştur. (Shaw 2000.:36)

1996 yılında Avustralya’da yapılan bir çalışmada okul öncesi dönemi çocuklara 10 ay boyunca haftada 1 saat müzik eğitimi verilmiştir. Verilen eğitimin matematik yetenekleri üzerindeki etkisi incelenmiştir. Çocukların Matematik Yetenekleri Test of Early Mathematics Ability (TEMA-2) ile değerlendirilmiştir. Sonuçta müzik eğitimi alan gruptan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. (Geoghegan&Mitchelmore, 1996).
2000 yılında Bilhartz, Bruhn ve Olson tarafından erken müzik eğitiminin çocuğun bilişsel gelişimine etkisi isimli bir araştırma yürütülmüştür. Araştırmada 4 ila 6 yaş arası 71 çocukla çalışılmıştır. Çocuklar bilişsel gelişim için “Stanford-Binet Intelligence Scale (SB)” testinin dördüncü edisyonu ile ve müzik için “Young Child Music Skills Assessment(MSA)” testi ile değerlendirilmiştir. Deney grubu 30 hafta süresince, haftada 75 dakika, ebeveyn katılımlı müzik programına tabi tutulmuştur. Müzik programına katılan çocuklardan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir (Bilhartz&Bruhn&Olson, 2000: 615).
Los Angeles’ta yapılan bir çalışmada 135 öğrenciye 4 ay boyunca piyano eğitimi verilmiş ve eğitim verilmeyen gruba göre matematik puanlarında %27 oranında artış görülmüştür (AMC, 2004).
Yetenek açısından düşünecek olursak; pek çok kişi matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bir ilişki olamadığını varsaymaktadır. Matematik yeteneği olan çocuklar genellikle müzikle uğraşmaktan alıkoyulmazlar. Hatta bu çoğu zaman desteklenir. Ancak müzik yeteneği keşfedilen çocuklar için durum daha farklıdır. Bu çocuklar çoğu zaman müzikal açıdan desteklenmekte ancak bilişsel açıdan köreltilmektedir. Bu çocukların matematik yetenekleri çoğu zaman yok sayılmaktadır veya önemsenmemektedir. Oysa teknoloji çağı olan günümüzde “matematik mantığı” artık büyük önem kazanmıştır. Bilişsel açıdan eksik donanım ile mesleğe başlayan müzisyenler çoğu zaman bu eksikliği ilerleyen meslek hayatlarında hissetmektedirler.
Sergeant ve Thatcher (1974), zeka ve müzikal yetenekle ilgili üç çalışma yapmıştır. Sonuçları istatistiksel tekniklerle yorumlamışlardır ve şu sonuca varmışlardır; Tüm yüksek zekalı insanlar mutlaka müzikal değiller, fakat tüm müzikalitesi yüksek insanlar yüksek zekalıdır. Bu şekilde bakıldığında akademik zekanın müzikal başarı ile ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir. Bu noktadan bakıldığı zaman; zeki çocukları, eğer müziğe ilgileri varsa, potansiyel müzisyen olarak görebiliriz (Boyle&Radocy, 1987: 142).
2001 yılında yapılan araştırmada 8 yaş grubundaki çocukların Matematik yetenekleri, müzik yetenekleri ve soyut zekaları arasındaki ilişki istatistiksel açıdan incelenmiştir. Toplam 75 çocuğa Müzik yetenek testi, Matematik yetenek testi ve Soyut zeka belirleyici test uygulanmıştır. Öğrencilerin Müzik Yetenekleri ve Matematik Yetenekleri arasında 0,423 lük bir ilişki bulunmuştur ve bu ilişki katsayısı istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır.Yani, öğrencinin Müzik yeteneği yükseldikçe matematik yeteneği artmaktadır. Müzik Yeteneği ile Soyut Zeka arasında ise 0,295 lik bir ilişki bulunmuştur ve bu istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır. Öğrencinin müzik yeteneği arttıkça Soyut Zekası da artmaktadır. Sonuç olarak her iki değişkende (Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka Seviyesi) , Müzik Yeteneği ile ilişkilendirildiğinde anlamlı bir farklılık göstermiştir. Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka karşılaştırıldığında ise en yüksek etkinin Matematik Yeteneğinde olduğu görülmektedir. Dolayısı ile, Matematik Yeteneği ile Müzik Yeteneği arasında oldukça anlamlı bir ilişki vardır. (Karşal,2004)

SONUÇ

Matematik ve müzik pek çok açıdan birbiri ile ilişkili iki disiplindir. Antik çağlardan itibaren bu ilişki fark edilmiş ve pek çok matematikçinin ve düşünürün ilgisini çekmiştir. Bilimin ve sanatın temsilcileri sayılan bu iki disiplinin birbiri ile olan ilişkisinin etkin kullanımı günümüzde pek çok açıdan olumlu sonuçlar doğurabilir.

Müzik, özellikle okul öncesi dönemi çocuklarında etkili bir eğitim aracı olarak kullanılabilir. Bu dönemde çocukların alacakları temel matematik eğitimi ve temel müzik eğitimi “doğru” verildiği taktirde, çocukların önlerindeki ufuk bir hayli genişleyecektir. Sadece okul öncesi dönemde değil sonraki dönemlerde de gerek müzik dinlemenin gerek enstrüman çalmanın kişilerin bilişsel aktivitelerine kattığı olumlu etki pek çok araştırmanın konusudur ve küçümsenemeyecek kadar önemlidir.

Ülkemizde müzik eğitimi verilen kurumlarda, özellikle küçük yaşta eğitime başlayan okullarda, çocuklar bilişsel açıdan oldukça yetersiz yetiştirilmektedirler. Müzik yeteneği olan çocukların bilişsel gelişimleri, eğitim sistemi içerisinde, bilerek veya bilmeden genellikle engellenmektedir. Günümüz teknoloji çağıdır. Her alanda olduğu gibi müzikte de teknoloji her geçen gün ilerleyerek kullanılmaktadır. Müzisyenlerdeki matematik mantığı artık daha çok önem kazanmaktadır. Tüm bunların yanı sıra, bilişsel açıdan daha ileri çocuklar müziği de çok daha kolay algılayabilmekte ve ilerleyebilmektedir. Bu iki disiplinin yetenek anlamında da ilişkili olduğu düşünülürse müzikalitesi yüksek olan çocukların zihinsel kapasitelerinin çok daha ileri olduğu unutulmamalıdır.

Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL
Marmara Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Öğretim Üyesi

sonraki yazı Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

Müziğin İçindeki Matematik

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar.

Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir?

Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir.

Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.

Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.

2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)

Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir.

Müzikte önemli olan bir başka isim matematikçi Fibonacci’dir. Onun meşhur tavşan çiftliği problemini hatırlayanlar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… sayı dizisini bilirler. Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398…

Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakordu oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.

Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Ünlü matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı”, matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

Prof. Dr. Ece Karşal

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Astronomi ve Matematik

Yazar: admin Kategori astronomi, matematik

Astronomi; gökyüzünün gizemini açıklayan, dünyanın kökenine ve insanoğlunun gelişim sürecine ışık tutan ve evrenin küçükten büyüğe tüm yapı taşlarıyla ilgilenen bir bilim dalıdır. Astronomi kelimesinin kökeni, yunanca gök cismi anlamına gelen “astron” ile kanun, gelenek veya tayin etmek anlamına gelen “nomos” kelimelerinden gelmektedir. Astronomi insanlık tarihinde en çok merak edilen ve temeli ilk atılan bilim dallarından biridir. Bilim insanları gökyüzünü çıplak gözle binyıllardan beri, teleskop yardımıyla da yüzyıllardan beri gözlüyor. Astronomi, dünyanın ve evrenin işleyişinin daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Nasıl ki insan vücudunu iyi anlayabilmek için anatomi, fizyoloji gibi temel bilimlerin bilinmesi gerekiyorsa, insanların da evreni anlamaları için astronomi bilmeleri gerekmektedir.

Astronomi, kişiye doğru ve mantıklı düşünmeyi öğreten önemli bilim dallarından birisi olması nedeniyle, dünyada kavram düzeyinde bilgi kazandırılması için kullanılmaktadır. Astronomi, merak, hayal ve keşif duygularını güçlendirir. Matematik Terimleri Sözlüğü’nde matematik; “Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim” olarak tanımlanmaktadır. Matematiğin öğeleri mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten oluşur. Matematik bir disiplindir. Matematik insanın düşünce sistemini düzenler. Matematik bir yaşam biçimidir. Matematikte tek amaç yoktur. En önemli amacı insandaki doğuştan var olan düşünebilme yeteneğini geliştirebilmektir. Karşılaştığımız olayları ve problemleri inceleme ve araştırma yapmak suretiyle doğruyu bulmamızı sağlar. Doğa olaylarını açıklamada, teknolojinin her türlü mühendislik dalında, biyoloji, tıp, eczacılık, tarım, gıda vb. gibi alanlarda, ticaret, ekonomi, işletme, endüstri, maliye ve yönetim gibi alanlarda, devlet ve kurum yönetiminde, askeri alanlarda hep matematiği kullanırız. Fizik, kimya, astronomi (gökbilim) gibi fen bilimleri söz konusu olduğunda bu bilimlerin temelinde ve bugüne gelmelerinin temelinde matematik vardır. Bu temel bilimler kendi içinde ayrı bilim dallarına ayrılır. Bu temel bilimler için ara disiplinler de söz konusudur. Örneğin; Fizik-kimya, biyo-kimya, biyo-fizik, astro-fizik, jeo-fizik v.b.

Medeniyetlerin ve Bilim İnsanlarının Matematik ve Astronomi Çalışmaları

İlk çağlarda astronomi yıldız konumlarından yön bulmada, Ay ve Güneş’in konumlarından da zamanı belirlemede kullanılmıştır. Ay ve Güneş’in görünür hareketlerine dayalı olarak takvimler oluşturulmuş ve yıldızların tanrılarla ilgili olduğuna inanılması nedeniyle bu çağlarda astronomiye karşı ilgi artmıştır. M.Ö.3000-2000 yılları arasında, Çin’de dini törenlerin vakitlerini bulmak amacı ile takvim, ay ve güneş tutulmaları ve buna benzer olaylarla meşgul olan bilginlerden kurulu bir heyet vardı. İmparator Yoa (M. Ö. 2373 – 2258) zamanında bilginler günle gecenin uzunluklarını ve mevsimlerin süresini ölçmeyi başarmışlardı. M.Ö.1100 yıllarında ünlü matematikçilerden Çu-Kung’un Yer (Dünya) ile Güneş arasındaki uzaklığı ölçmek için yaptığı çalışmalar, Yer’i düz olarak kabul etmesi yüzünden hatalı bir şekilde sona ermiştir. Yunanlılar, Babilli astronomları memleketlerine getirerek onların bilgilerinden faydalanmışlar, astronomi konusunda kısa zamanda ilerleme kaydetmişlerdir. Babilli bilgin Berossos, Kos adasında bir astronomi okulu kurmuştur. Pythagoras Mısır’a yaptığı gezilerden yerin serbest küre olduğunu, yörüngesinin eğik olduğunu öğrenmiştir. Aristarkhos ile Eratostene, M.Ö. 3. ve 2. yüzyıllarda Güneş’le Yer arasındaki uzaklığı, Yer’in büyüklüğünü ölçmeye çalışmışlardır. Matematik diğer bilimlerin ilerlemesinde aşırı derecede katkı sağlar fakat bir ilginçlik burada doğuyor ki diğer bilimler de matematiğin gelişmesinde katkı sağlamıştır. Buna örnek olarak gökcisimleri ve yörüngelerin hesaplanmasında mevcut matematik yeterli olmadığı için astronotların zorlamalarıyla yeni bir konu olan diferansiyel denklemler ortaya çıkmıştır

Matematik ve astronomi birbirini yakından ilgilendiren, birbiriyle bağlantılı bilimlerdir. Bu yüzden en önemli matematikçiler astronomi ile ilgili çalışmalar da yapmıştır. Henri Poincaré (1854-1912) cebirsel topoloji konusunda olduğu gibi kaos kuramı konusunda da öncü çalışmalar yapmıştır. Üç cisim problemi ile ilgilenirken ilginç sonuçlara ulaşmıştır. Poincaré ilk kez “kaos” terimini kullanırken, başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı vurgulamış, kelebek etkisinin varlığını da dolaylı olarak ortaya koymuştur. “Kelebek etkisi” fizikçilerin ölümsüz ifadesiyle, “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta fırtına çıkabilir” şeklindedir. Kopernik, dünyanın ve diğer gezegenlerin güneş etrafında döndükleri kuralını açıklamıştır. Heliosentrik teorisi bugün Kopernik teorisi olarak da adlandırılır. Kopernik, en önemli eseri “De Revolutionibus Orbium Coelestium” adlı kitabında heliosentrik teorisini detaylı anlatmıştır. 1543’te, Nürnberg’de j. Rheticus ve A. Osiander’in çabalarıyla basılan altı kitaplık “De Revolutionibus” adlı yapıtta da detaylı olarak anlatılmıştır. Birinci kitabının son üç bölümünde sisteminin ayrıntılı bir biçimde düzenlenmesi için gerekli olan matematiksel bilgileri (döneminde çok kullanılan trigonometri kavramları) vermiştir. Son beş kitap Evren’in güneş merkezli varsayımına bağlı olarak olabildiğince ayrıntılı ve eksiksiz bir betimlemesine ayrılmıştır . Astronom ve matematikçi Ali Kuşçu’nun ise astronomi ve matematik alanında yazmış olduğu iki önemli eseri vardır. Bunlardan birisi Fatih’e sunulan ve üç bölümden oluşan “Fethiye” isimli kitabıdır. Kitabın birinci bölümünde gezegenlerin küreleri ele alınmakta ve gezegenlerin hareketlerinden bahsedilmektedir. İkinci bölüm dünyanın şekli ve yedi iklim üzerinedir. Son bölümde ise Ali Kuşçu, dünyaya ilişkin ölçüleri ve gezegenlerin uzaklıklarının hesaplanmasını vermektedir. Ali Kuşçu bu eserinde ekliptikliğin eğilimini bizzat kendisi hesap ederek 23⁰30’13” olarak bulmuştur. Bu değer bugünkü hesaplara oldukça yakındır. Ali Kuşçu diğer eseri “Risale Fi’l Muhammediye” adlı eserinde ise cebir ve hesaptan bahsetmektedir. Matematikçi, astronom ve tarihçi Uluğ Bey zamanında yeni astronomi aletleri yapılmış, eski aletler geliştirilmiştir. 9. ve 10. yüzyılda bir usturlab ile ancak 43 işlem yapılırken, Uluğ Bey zamanında geliştirilen usturlab, 1000’den fazla işlem yapıyordu. Uluğ Bey’in usturlabının çapı 40 metre idi. Uluğ Bey, bu arada gökyüzünün bir de haritasını yapmayı başarmıştı. Uluğ Bey, astronomi çalışmalarının temelini teşkil eden trigonometri ilmi üzerinde de geniş çalışmalar yaptı.

Paralaks – Birkaç bin ışık yılı içerisindeki yıldızlar Kozmik mesafe merdivenindeki tek doğrudan ölçüm yöntemi olan paralaks, yakın yıldızların uzaklıklarını belirlemek için lise sıralarında görmüş olduğunuz trigonometriden yararlanır. Paralaksı anlamanın en basit yolu, kolunuzu kırmadan önünüzde tutup baş parmağınızı gözlerinizin hizasına getirerek bir gözünüzü kapatıp bakmak ve ardından diğer gözünüzü kapatıp bakmaktan geçer. Bu süreçte parmağınız arka planda yer değiştirecektir; eğer kolunuzu kırıp suratınıza daha yakın konuma getirirseniz bu değişim artacaktır. Paralaks yönteminde, altı aylık aralıklarla yıldız gözlemlenir ve arka planındaki diğer yıldızlara göre ne kadar yer değiştirdiği hesaplanır. Bundan sonrası, lise sıralarında gördüğünüz basit trigonometri ile bulunacak kadar kolaydır.

Sefeid (Cepheid) Yıldızları – 40 milyon ışık yılı uzaklığı içerisindeki yıldızlar Astronomide “standart mumlar” parlaklığını iyi bildiğimiz gök nesneleri için kullanılan bir tabirdir. Bunun yıldızların mesafelerini belirlememize nasıl katkısı olduğunu anlamak zor değil. Arkadaşınızın parlaklığını iyi bildiğiniz bir ışık kaynağını; örneğin bir mumu; sizden yavaşça uzaklaştırdığını düşünün. Ters kare kuralına göre parlaklık uzaklığın karesi oranında azalacaktır. Bu sayede parlaklığı ölçümleyerek uzaklığı belirleyebilirsiniz.

Cepheid yıldızlarının parlaklık değişim grafiği. Bu yıldızların parlaklıklarındaki değişim çok düzenlidir ve bu sayede uzaklık ölçümü için kullanılabilir. Peki ama bu yıldızların titreşimiyle neden ilgileniyoruz? Bir Sefeid Yıldızı’nın periyodunu ölçmeniz, onun gerçek parlaklığını bulmanızı, gerçek parlaklığını yeryüzünden ölçülen parlaklıkla kıyaslamanız da yıldızın bizden uzaklığını bulmanızı sağlayacaktır. Astronomi ve matematik ilişkisi pek çok örnekte görülebilir. Tarihe adını yazdırmış astronomların öncelikle iyi birer matematikçi olmaları şaşırtıcı değildir.

sonraki yazı Astronomide Matematiksel Teknikler

Sanat ve matematik

Yazar: admin Kategori matematik, sanat

Matematik ile sanat arasında ortak olan nedir? Bazı insanlar bu iki disiplini tanımla uyuşmaz olarak görürler. Diğer matematik bkz içinde en azından, geometri ve perspektif gibi alanlarda, teknikte. Ancak, bu bağlantının, herhangi bir disiplin ve uygulayıcıları tarafından kullanılan araçlar arasında olduğundan daha önemli olmadığı söylenebilir. Örneğin, kimse elektroniği olduğunu savunuyor içinde birçok yazar elektronik bilgisayar kullanıyor çünkü literatürde. Öte yandan, bazı insanlar “güzel” bunları yayınlama ve sanat olduğu bu dan çıkarmak, karmaşık geometrik biçimler ya da şekiller bakmak içinde matematik.

Bununla birlikte, bu makalede, bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini ve nasıl ilişki kurabileceklerini incelemek için biraz daha derine inmeye çalışacağım.

Güzellik ve oran

Eski Yunanlıların zamanından beri ve muhtemelen daha önce, sanatçılar güzellik kavramında orantılı olarak oynadıkları merkezi rolü fark etmişlerdir. Ve orantı matematiksel bir kavram olarak, kendini resmi tanımlara borçludur.

Öyleyse, oranla ilgili bazı temel estetik görevleri düşünelim.

İlk görev, bir çizgi parçasını ikiye bölmektir, böylece daha küçük iki parça birbiriyle ‘hoş’ bir ilişki kurar.

Bunu nasıl yapabiliriz? Segmenti iki eşit parçaya bölebiliriz (1: 1 oranında veya “bire bire”). Biraz fazla açık? Çok sıkıcı? Ya bir bölüm diğerinden iki kat daha uzun olacak şekilde bölüştürsek (2: 1 veya 1: 2 oranı)? Belki de bu, parçaları boyut olarak çokfarklı kılar . Belki 2: 3 veya 3: 2 oranında bölebiliriz?

Bunun gibi bir görev, her ne kadar basit gözükse de, ufkunun nereye yerleştirileceğini düşünürken her peyzaj sanatçısı ile yüzleşen şeydir.

Mı ideal cevap var? Muhtemelen hayır, hepimizin biraz “hoş” ve “güzel” kavramlarına sahip olduğumuz göz önüne alındığında. Ancak, orada olduğu çok özel özellikleri olan bir oran, yüzyıllar boyunca birçok sanatçı bazen farkında olmadan, desteklenmiş oldu. Bu oran şu şekilde tanımlanır: Daha uzun mesafeye bölünen kısa mesafe, bütün mesafenin bölündüğü daha uzun mesafeye eşittir .

İlgili bir görev, en hoş oranlara sahip bir dikdörtgen oluşturmaktır.

Çözüm, belki de çok açık bir şekilde, her iki tarafın eşit olması, diğer bir deyişle bir kare yaratılmasıdır. İki bitişik tarafın oranı 1: 1’dir.

Üçüncü görev daha karmaşık ve ilginç: bir dikdörtgeni yaratın, böylece onu ortadan ikiye bölerek orjinaliyle aynı oranlarda (ancak 90 derece döndürülmüş) iki dikdörtgen oluşturun.

Bu görevin çözümü standart kağıt boyutlarımız için temel teşkil ediyor: A3, A4, A5, A6 vb. Ve oran √2: 1 (yaklaşık 1.414: 1).

Dördüncü ve son görev bir dikdörtgen oluşturmaktır, böylece bir kareyi bir uçtan çıkarmak orijinaliyle aynı oranda daha küçük bir dikdörtgen oluşturur.

Joshua Reynolds’un James’in portresi, Lauderdale’in yedinci Earl’ü

Joshua Reynolds
James, 7. Lauderdale
Coll Başkanı . NSW Sanat Galerisi

Alan aşağıda taç oturduğu çıkıntıya bir kare. Alan üzerinde çıkıntının tüm boyama aynı oranda bir dikdörtgendir.

Görünen o ki, bu sorunun son çözümü aslında ilk sorunumuzun son çözümü ile aynı. Ve bu oran yaklaşık olarak 1,618: 1’dir. Kesin değeri (oldukça basit cebir ile kanıtlanabilir ) √5-1: 2’dir. Kendi özel adı vardır: altın oran. Hatta kendi matematiksel sembolü de var: Φ (Yunanca phi harfi ) .

Çoğu sanatçı, bir sanat eserinin, özellikle de kompozisyonunun önemli bileşenleri olarak ilişkilerin ve özellikle oranın (matematiksel olarak hesaplanmış bir oran olmasa da) önemini kabul eder. Ancak bazı sanatçılar için oran her şeydir ; başka bir şey bir dikkat dağıtıcıdır. Bu tür sanatçılardan biri Piet Mondrian. Mondrian’ın olgun stilinde (tipik olarak beyaz, kırmızı, sarı ve mavi, kalın, siyah çizgilerle birbirine kenetlenmiş dikdörtgenler), her resim tüm dünyanın bir temsilidir (veya “damıtma”) . Şimdi Mondrian sadece bu şekilde çalışmaya başladı. Daha önceki çalışmalarına bakarsanız, yirminci yüzyılın ikinci on yılı boyunca, bireyin generaline giderek yavaş yavaş hareket ettiğini, şeylerin “özünü” ararken göreceksiniz. Bu, teknikte soyutlama veya daha genel olarak indirgemecilik olarak bilinir. İndirgemecilik, kaosun düzene ve karmaşıklığın sadeliğe dönüştürüldüğü anlamına gelir .

Biraz sonra göreceğimiz gibi, bazı sanatçılar sıradan kaosa kadar ters yönde seyahat etmeyi tercih ediyor .

Matematik nedir?

Bir dizi matematikçiye “Matematik nedir?” Diye sorsanız, muhtemelen birçok cevap alırsınız. Bununla birlikte, çoğu, iki temel görüşden birine düşecektir. Biri matematiksel “nesnelerin” bizim hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğunu söylüyor. Diğer görüş, matematiksel bir “nesne” diye bir şeyin olmadığını ve matematiğin, sembollerin kuralların sistemlerine , matematikçilerin icat ettiği sistemlere göre manipüle ettiğini söylüyor . İlk görüşe “Platonizm” denir (Platon’dan sonra, günlük yaşamda yaşadığımız gerçekliğin ardında kusursuz bir formun olduğuna inanan Plato’dan sonra) ve ikincisine “formalizm” denir (çünkü matematiği biçimsel bir sistem olarak görür) . Platonistler sık sık keşfettiklerini söylerler matematiksel teoremler, formalistler sıklıkla sadece sembollerle oynadıklarını söyleyeceklerdir.

Zaten sanat ile paralellikler var. Bazı sanatçılar (örneğin Piet Mondrian veya Kasimir Malevich), yarattıkları görüntüleri, bazı gerçeklerin veya ilkelerin tezahürü olarak görür ve bu yüzden eserleri mümkün olan en gerçek gerçekleri mümkün olduğunca açıklayana kadar, daha fazla damıtmaya çalışacaktır. Diğer sanatçılar (Andy Warhol gibi) sanatın dilini sanatın konusu olarak görür , bu yüzden eserleri sembollerin “anlam” yarattığı bir dizi deney haline gelir .

Sistemden çıkma

Matematiğin (ve bilimin) özü ne soruyor ? ya da nasıl? ya da kaç? (en azından sadece bu sorular) ama neden?

Neden bir sistemden geri adım atıp atmadığını sormak – sistemin arkasındaki sistemi veya başka bir deyişle “meta sistem” i görmek. Ancak, elbette, eğer bir meta-sistem varsa, bir meta-meta-sistemi olmalı, vb. (Açıkçası, bu “sistem dışına adım atmanın” önemi, bir Platonist ve bir Formalist için farklı olacaktır.)

Bu aynı zamanda ilginç bir felsefi soru ortaya koyuyor (neredeyse teolojik bir soru): tüm sistemlerin arkasında bir “Büyük Sistem” var mı , yoksa “tamamen kaplumbağa” mı ?

Rene Magritte
La koşulu humain, 1933
Coll. NGA, Washington, DC

Sanatta olduğu kadar matematiğin seviyelerini de karıştırdığımızda bazı ilginç sonuçlar ortaya çıkıyor. Örneğin, Belçika Sürrealisti Rene Magritte’nin bu resmini göz önünde bulundurun:

Burada çalışan semiyotik “şaka” nedir (yani, semboller ve anlam hakkında bir şaka)? Temsil ve “gerçeklik” arasında bir fark olmadığı, çünkü tuvaldeki görüntüyü (resimdeki şövale üzerinde) tanımlayan boya, binaları veya çimleri tanımlayan boyadan daha az gerçek değildir.

MC Escher
Baskı Galerisi 1956
Coll. NGA, Washington, DC

Şimdi bu çalışmayı Hollandalı sanatçı MC Escher tarafından düşünün:

Dikkatli bakarsanız, kentin, galeri içeren, resmi içeren kenti “içeren” resmi içeren galeriyi içerdiğini göreceksiniz.

Bunlar gerçekten paradokslar ve biz onların garip olduklarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, her zaman bir seviye veya anlamdan diğerine geçiyoruz. Örneğin, daha önce şunu yazdım: “Bu yazıda… bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini incelemeye çalışacağım.” Başka bir deyişle, yazımda, makalenin kendisine atıfta bulundum!

Seviyeler arasında geçiş yapan bu ‘yasadışı’ normalde bir sorun değildir, fakat matematik ve mantıkta bunun gibi bulanıklıklar paradokslara yol açabilir. Bunlar bakış açınıza bağlı olarak çıldırtan veya büyüleyici olabilir. Birkaç mantık paradoksuna bir göz atalım. Saçma etkilerini sindirmek için biraz zaman ayırın.

İlk (ve en basit) kendini referans kullanır :

Bu ifade yanlıştır.

İkinci döngüsel referans kullanır :

Aşağıdaki ifade yanlıştır.
Önceki ifade doğrudur.

Üçüncü, sonsuz kümülatif referans kullanır :

Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır.
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır.
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. … vb.

Paradokslar ve küme teorisi

Birçok matematiğin inandığı bir matematiğin matematiğinin temeli olduğuna karar verilir. Bir anlamda, küme teorisi çok basittir (bu yüzden ilkokul / ilkokullarda öğretilmiştir); yine başka bir anlamda çok derin.

Bir küme basitçe “şeyler” topluluğudur. İşte bazı set örnekleri:

C: Sizinle aynı odadaki bütün insanların kümesi.

B: Sizinle aynı odada olmayan , şimdiye kadar yaşamış olan tüm insanların seti .

C: Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 numara ve Bach’s G on Air’den oluşan set .

D: Evrende Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 sayısı ve Bach’ın G’deki Havası dışındaki her şeyden oluşan set . (diğer setler dahil!). Bu “C değil” olarak tanımlanır ve “~ C” ile yazılır.

E: Set A ile birleştirilen Set A’dan oluşan set Bu, “A ve D birliği” olarak tanımlanır ve “A ∪ D” olarak yazılır.

F: Aynı zamanda Set D’ye ait olan A Grubu üyelerinden oluşan set, bu A ve D’nin kesişimi olarak tanımlanır ve “A ∩ D” yazılıdır.

Biz muktedir gerekmez Not saymak üyeleri, üyeler fiziksel nesneler olmak zorunda değildir ve üyelerin bir kümesi haline gruplandırdık olmasına daha yaygın diğer bir yönleri gerekmez. Tek şart, üyelerin (veya unsurların) iyi tanımlanmış olmasıdır .

İşte küme teorisine dayanan başka bir meraklı paradoks: Bir kümeyi tanımlayın: tüm kümelerin kümesi. Buna “U” (“evrensel” için) diyeceğiz. Eğer U bütün kümelerin kümesiyse, açıkça kendisinin bir üyesi olmalıdır. Do bütün setleri set: Artık başka kümesi tanımlamak değil kendilerini içerir. Buna “X” diyeceğiz. Soru şudur: U, X grubunun bir üyesi mi? Cevap evet olsaydı, o zaman bu U olduğu anlamına gelir değil cevap hayır, o zaman bu U anlamına geleceğini olsaydı X üyesi olan X üyesi! Paradoksun kaynağı sadece görünüşte iyi tanımlanmış bir küme (X) oluşturmak için kelimeler kullanmamızdır ; o görünüyor iyi tanımlanmış olması ama değil .

Escher Baskı Galerisi , temelde set teorisi paradoksuna ilişkin bir resimdir.

krizler

Matematiğin tarihi ve evrimi, sanat eseri gibi, bir dizi krizle işaretlendi: daha önce kabul edilmiş ilkelerin devrilmiş olduğu zamanlar.

“Matematiğin” ilk kullanımı nesneleri (muhtemelen mülkleri) saymaktı. Yani sayılar şunlardı: “1, 2, 3, 4,…” vb. Teorik olarak en büyük sayı yoktu, ancak pratikte sayılacak çok şeyin olması olasılığına göre belirlendi. Sonra kesirler tanıtıldı. Bu tam bir kriz değil, kesinlikle kavramsal bir sıçramaydı. İlk defa insanlar turtaları bir grup insan arasında adil bir şekilde bölebilirdi!

Sıfır

İlk gerçek kriz sıfırdı. Sıfır olmadan, bildiğimiz matematik (yani, sırasıyla X ve C yerine 10’u 100, 100’ü 100’ü temsil eden yer-değer sistemi) imkansız olurdu.

Peki neden sıfır bir krizdi? Bu kısmen karışıklıktı (“hiçbir şey” nasıl olabilir? ”) Ve kısmen korku – büyük bilinmeyen,“ uçurum ”.

İşte ‘sıfır uçurum’ sorununu ele alan bir sanat eseri örneği:

Kapoor’un Boşluk alanı , her biri üstte otuz santimetre açıklığa sahip dört büyük Cumbrian taş bloğundan oluşur. Her bloğun içi o kadar karanlık ve yansımasız ki, sadece deliğin ne kadar derin olduğuna bakarak bilmek imkansız. Aslında sonsuz bir şey olmaz.

Olumsuz sayılar

Negatif sayılar, diğer şeylerin yanı sıra finansal işlemlerin (alacakları ve borçlarıyla) mümkün olmasını sağlamıştır. Yine de ilk tanıtıldıklarında krize neden oldular. Niye ya? Bunun nedeni, temel “sayı” kavramını genişletmeleridir. Sayı, başlangıçta iki küme arasında bire bir yazışma anlamına gelir: sayılacak nesne kümesi ve soyut bir ‘birim’. Peki eksi 5 koyunu nasıl alabilirsin?

Bu konstrüksiyona Rus Yapılandırmacı Naum Gabo tarafından bak.

Bu etki genellikle “negatif alan” olarak adlandırılır; ancak, negatif eğrilik olarak daha doğru tanımlanır (dışbükey yerine içbükey).

Normalde heykelde, pozitif ve negatif eğrilik (örneğin, Henry Moore’un çalışması) arasında bir denge vardır, ancak bu heykelde (ve Rus Yapılandırmacılar tarafından pek çok kişi) negatif eğrilik egemendir ve uzayın döndüğü izlenimini verir. tersyüz.

İrrasyonel sayılar

Kare bir birimi bir birim hayal edin. Pisagor, köşegenin birimlerindeki uzunluğun, kareye girdiğinde ikiye eşit olan bir sayı olduğunu kanıtlamıştır (yani is2).

Bu neden bir krizdi? Matematikçiler bir zamanlar her sayının iki tam sayının oranı olarak ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Bu nedenle, örneğin 3 = 3/1 ve 3.127 = ³¹²⁷ / _{, 1000} . Bu, ölçümün temelidir: örneğin, bölümler ve alt bölümlerle işaretlenmiş bir çubuğu kullanarak uzunluğu ölçersiniz. Fakat çok fazla zorluk çekmeden 5 , kare olduğunda 2 veren hiçbir p / q (p ve q’nin tam sayıları olduğu) olmadığı kanıtlanabilir . Sonuç olarak, bir mesafeye – veya herhangi bir miktara sahip olabilirsiniz. – bu asla tam olarak ölçülemez, çünkü kesir olarak ifade edilemez. Bu sayılara ‘irrasyonel’ denir, çünkü oran olarak ifade edilemezler.

Öklid dışı geometri

Euclid’in beşinci geometri aksiyomu 6 aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir. Bir çizgiye (L) ve o çizgide (P) olmayan bir noktaya sahipseniz , orijinal çizgiye paralel olan bu noktadan geçen bir çizgiyi çizebileceğinizi belirtir. (Bu elbette her şeyin tek bir düzlemde olduğunu varsayar.)

Öklid dışı geometri, bu aksiyomu doğru olarak kabul etmeme üzerine kurulu bir sistemdir . Normal (Öklid) geometride, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamı her zaman 180 derecedir. Gelen olmayan -Euclidean geometri, ancak, toplam fazla 180 derece veya en az 180 derece olabilir. Her ne kadar ‘ortaklaşa’ ile çelişseler de, bir sistem olarak kusursuz bir şekilde tutar, yani hiçbir zaman iç çelişkilere yol açmayacak demektir.

Öklid dışı geometrinin bir kriz olmasının nedeni, negatif ve irrasyonel sayılardan açıklamak zordur, ancak Euclid’in beş aksiyomu yüzyıllardır geometrinin temeli olmuştur. Ayrıca, “ispatlara dayanma, ispatlara dayanma vb. Aksiyomlara dayanma ispatları” sistemi, matematiğin bütününün nasıl işlediğinin modeli olmuştur. Öklid dışı geometri aksiyomların mutlaklığına meydan okudu veya reddetti.

infinitesimals

Sonsuz sinyaller, sıfırdan büyük, diğer pozitif sayılardan küçük miktarlardır. Birçok matematikçi hala mantıksız sayılsa da, asırlarca kullanılan matematiğin temeli budur. Bu bir paradoksun tam tersidir: “Çalışmamalı” olmalı, ama işe yarıyor!

Kasimir Malevich’in Suprematist Kompozisyonu: Beyaz Üzerine Beyaz , “sonsuz” bir tabloya benziyor: elde edebileceğin kadar zor ama yine de resme denebilir.

Hayali (ve karmaşık) sayılar

Pozitif sayıyı karelendiğinde pozitif bir sayı elde edersiniz (örneğin 4 x 4 = 16); Eğer negatif bir sayı karesini aldığımda, sen de pozitif bir sayı elde (örn -4 x -4 = 16), iki olumsuzluk ‘birbirini iptal’ çünkü. Öyleyse, herhangi bir sayının karesi daima pozitifse, negatif bir sayının karekökü nasıl olabilir? ‘Gerçek’ sayılarla olamaz. Ama ya yapabileceğimizi hayal edersek; ya -1 karesinin “i” (“hayali” için) olduğunu söylesek? Eğer yaparsak, o zaman i ² = -1 ve √-4 = 2i.

Rakamları “hayali” veya “gerçek” olarak tanımlamak, bir tür hiyerarşi veya değer yargısı olduğu anlamına gelir. Şimdi matematikçiler isimlerin mantıksız ve keyfi olduğunu itiraf ediyorlar, ancak isimler sıkışmış ve uygun 7 . Aslında, gerçek ve hayali sayılar “karmaşık sayılar” oluşturmak için de birleştirilebilir (örn. 3i + 7).

Sonsuz sayılar

Matematikçiler uzun zamandır sonsuzluk kavramını (“mümkün olan en yüksek sayı” diye bir şey yoktur) ve daha yakın zamanda sonsuz ölçekleri kabul etmişti. Bununla birlikte, bir sonraki kriz, çeşitli sonsuz sayıların olduğu kavramıydı.

Kendine şu soruyu sorabilirsin: “Bir sonsuzluk diğerinden nasıl daha büyük olabilir?”

Bu tabloyu rasyonel sayılar veya kesirler olarak düşünün:

Göstergelerin (kesirlerin üstündeki sayıları) ızgara boyunca her adım attığımızda birer bir arttığını ve indikatörlerin (en alt sayıları) her indiğimizde bir arttığını göreceksiniz. Dolayısıyla, ızgara sonsuza kadar aşağı ve yukarı uzatılırsa, her rasyonel sayının en az bir kez listelenmesi gerekir. Postacı olsaydınız ve ızgaradaki her kesime posta yollamak zorunda kalsaydınız, hangi yolu izlerdiniz? İlk önce üst sıraya geçmek iyi olmaz çünkü bir sonraki sıraya asla geçemezsiniz. Aynı şekilde soldaki sütun için. Çözüm aşağıda mavi olan gibi bir yol izlemektir:

Gösterilen bu yolu izleyerek, belirtilen herhangi bir rasyonel sayıya ulaşılabilir – en sonunda, kesin bir adım adımdan sonra. Bu, rasyonel sayılar kümesinin “sayılabileceği” anlamına gelir, çünkü herhangi bir üye için tam sayılar kümesinin karşılık gelen bir üyesi vardır. Bu birebir yazışmalara bazen “haritalama” denir.

Tam sayılar kümesiyle eşleştirilebilen sonsuzluğa ℵ ₀ denir (telaffuz edilir) (Aleph null). Buna sonsuz sayı teorisinin öncüsü Georg Cantor deniyordu.

Umarım merak ediyorsundur, ℵ ₀ bariyerinden daha büyük sonsuz bir sayıya geçebilir miyiz ?

0 ile 1 arasında, ondalık olarak ifade edilen benzersiz gerçek sayıların bir listesini derleyelim. Bunlar rasyonel veya mantıksız olabilir. İşte her bir numara için ilk dokuz ondalık basamağı gösteren böyle bir listenin başlangıcı:

r (1) = 1  4 1 5 9 2 0 5 3
r (2) =. 3  3  3 3 3 3 3 3 3
r (3) =. 7 1  8  2 8 1 8 2 8
r (4) =. 4 1 4  2  1 3 5 6 2
r (5) =. 5 0 0 0  0  0 0 0 0
r (6) =. 2 4 4 9 1  9  3 1 0
r (7) =. 0 5 8 8 2 4  1  9 7
r (8) =. 9 8 7 6 5 4 3  2  1
r (9) =. 0 0 1 0 2 5 5 2  9

Onlar sonsuz seride olduğundan, ℵ vardır ₀ tanesi. Bununla birlikte, bir oluşturabilir yeni (3), ve benzerleri r (1), r, ikinci basamak (2), üçüncü basamak r ilk rakamı kullanılarak, fakat (her zaman ilave basamak sürece numarayı 9, bu durumda 0 olur). Yani, bu örnekte, köşegenin altındaki kalın rakamları takip ederek , .138209129… Sonra bir tane ekleyerek, .249310230 elde ettik… Bu, serimizdeki mevcut sayıların hiçbirine eşit olamaz çünkü en az birinde farklılık gösterir. her birinin ondalık basamağı. Bu, iki set arasında bire bir yazışma olamayacağını gösterir. Bu nedenle sıfır ile bir arasında daha gerçek sayılar vardır. tüm sayılar!

Bu yüzden, ℵ ₁ (“aleph one”) adı verilen sonsuz sayıda daha büyük veya “daha yüksek bir düzen ” olmalıdır. Aslında bundan daha büyük sonsuz sayılar vardır.

Nihai kriz (ve en derinine kadar), sonsuz sayı teorisinden dolaylı olarak ortaya çıktı.

Eksiklik teoremi

Tam sayıların sayısının ℵ ₀ , gerçek sayı sayısının ℵ ₁ olduğunu belirledik . Bazı matematikçiler merak ettiler, ℵ ₀ ve ℵ ₁arasında sonsuz bir sayı var mı? 1878’de Cantor, ‘önsezisinin’ (ya da hipotezinin) olmadığını söyledi. Bu Devamlılık Hipotezi olarak bilinir. Altmış yıl boyunca matematikçiler bunu ispatlamak ya da ispatlamak için çabaladılar. Nihayet, 1938’de Alman matematikçi Kurt Gödel (“kuşak” olarak telaffuz edildi) Continuum Hipotezinin (CH) set teorisi ile tutarlı olduğunu kanıtladı , ancak kanıtlanamaz (yani hiçbir zaman bir çelişkiye yol açmayacak). Ama sonra, aynı Continuum Hipotez tersi için de geçerlidir (oradaki yani olduğu ℵ _{0 ile} ℵ ₁ arasında en az bir sonsuz sayı ).

Peki hangisini kabul etmeliyiz? Cevap, ister inan ister inanma … ya! Ancak , CH’nin doğru olduğunu varsaymak daha kolaydır. “ Occam’s Razor ” olarak bilinen prensip budur (“İki karşıt teori varsa ve kanıtlanamaz veya ispatlanamazsa, daha basit olanı kabul et”).

Gödel, ispat etme ispatını genelleştirmeyi başardı: “Sayı teorisi ile ilgili olan ancak sayı teorisi sistemi ile tutarlı olan ancak kanıtlanamayan ifadeler var.”

Bu, Heisenberg’in fizikteki ünlü belirsizlik ilkesi 9 ile ilgilidir . Belirsizlik ilkesi ve kaos teorisi, evrenin kuantum doğası ile ilgilidir. Ama elbette, matematiğin soyut alanının bundan bağışık olduğunu düşünebiliriz! Görünüşe göre öyle değil.

Gödel, Platonculuk ile Formalizm arasında fazladan bir kama sürdü: Platonistler teorisine “Biçimsel sistem çok zayıf” diyerek yanıt verdi: Biçimciler, “Platonist görüş anlamsızdır, çünkü aksiyomlar keyfidir.”

Sanatta Krizler

Sanattaki ilk krizin ne olduğunu söylemek çok zor . Matematiğe kıyasla, sanatın amacı ve dolayısıyla tanımı, özellikle tarih öncesi, sanatta çok daha az açıktır. Bununla birlikte, şimdi anlayabildiğimiz gibi, sanatla ilgili üç kriz, görelilik, nesne özerkliği ve belirsizliktir.

izafiyet

İzafiyete inanmak, bir konunun gerçek ve nesnel bir temsilini yapmanın mümkün olduğu fikrini reddetmektir.

Sienalı sanatçı Sano di Pietro, Meryem Ana’yı, bebek İsa’yı, sanki hepsi cennetteymiş gibi altın varaka karşı çeşitli azizleri ve melekleri temsil ediyor. Meryem’in solundaki aziz, Mukaddes Kitaba göre İsa ile aynı zamanda doğmuş olan vaftizci Yahya’dır.

Figürlerini mimari bir ortama yerleştirerek ve nispeten yeni bir lineer perspektif tekniğini kullanarak, Floransalı Rönesans sanatçısı Raphael, konuya göre uzayda konumunu tanımlar . Şu an oradaydı, şu an Mary ve İsa’nın enthroned olduğu. İronik olarak, sanatçı hayal gücünden bir sahne oluşturmak için “Ben bu olaya tanık oldum” yazan bir teknik kullandı.

Bununla birlikte, sanattaki görelilik sadece alan ve zamanla sınırlı değildir . Aşağıdaki iki sanat eserini düşünün:

İzlenimci sanatçı Claude Monet, belirli bir zamanda, belirli bir günde, bu samanlıklara bakarak yaşadığı duyumları anlatıyor. Işık ve atmosferin etkileri konuya ilişkin algısını etkiledi .

Özetlemek gerekirse, sanattaki görelilik, dünyaya göründüğü gibi göründüğü gibi sunuluyor .

Nesne-özerklik

Sanatçılar, konularını göründüğü gibi tanımlamak için doğrusal perspektif kullanmayı öğrendikten sonra, resimler sanal pencerelerde ‘pencere’ çerçeveleriyle tamamlandı. Buna karşılık, birincisi sanat tarihine geri döner, genel olarak konuşursak, görüntü konu ile ne kadar çok özdeşleşirse, neredeyse sihirli bir şekilde (örneğin Mısır mezar resmi).

Bu resmi düşünün, Fransız on yedinci yüzyıl sanatçısı Claude Lorrain:

Resim, hayali (ve idealize edilmiş) bir dünyaya baktığımız yanılsamasını yaratır. Tekniğin çok iyi olması gerekiyor, çünkü fırça darbelerini görebilirsek “illüzyon balonu” patlar; Bir filmde bir mikrofon patlaması görmek gibi olurdu.

Paradoksal olarak, birçoğunun modern sanatın habercisi olduğuna inandığı sanat hareketi – Empresyonizm – görelilik krizine ve bu “illüzyon gibi imaj” sözleşmesine meydan okuyan bir krize dahil oldu.

Monet, Grainstack, sisin içinde güneşin resmine bakın . Bu düşük çözünürlükte bile (veya orijinalinden beş metre uzaklıkta), fırça darbeleri açıktır. Birçok insan Empresyonist resimlerin çok uzaklardan görülmesi gerektiğini söylüyor, çünkü o zaman “neye benzemesi gerektiğini” görebilirsiniz. Ancak bu, Empresyonistlerin niyetini yanlış anlamaktır. İzlenimci sanatçılar büyük, kalın fırça darbeleri (bazen bir palet bıçağıyla yapılan işaretler) ve kırılmış, yüksek yoğunluklu renkler kullandılar. İzleyicinin resimlerini on dokuzuncu yüzyıl resimlerine benzeyecek kadar uzağından izlemesi gerekiyorsa ne olurdu?

Empresyonist resimlerin çağdaş izleyicilerinden biri, Rus Vasili Kandinsky idi. Burada muhtemelen yukarıda gösterilene benzemeyen bir Monet’le (bir samanlık resmi) ilk karşılaşmasını hatırlıyor.

“Katalog bana saman yığını olduğunu açıkladı. Tanıyamadım. Bu tanıma eksikliğinden utandım. Ayrıca ressamın belirsizce resim yapma hakkının olmadığını da hissettim. Nesnenin eksik olduğu konusunda sıkıcı bir his vardı. … Bununla birlikte, bu tamamen açıktı – şimdiye kadar bilinmeyen tüm hayallerimi aşan, paletin beklenmedik gücü idi. ” 10

Bu “paletin gücü”, boyalı yüzeyin özerkliği idi . Artık sadece başka bir şey gibi davranan bir görüntü değildi – bir yanılsama – bu başlı başına bir şeydi.

Ve işte Kandinsky’nin eseri, ilk karşılaşması hakkında yazdığı aynı yıl tesadüfen boyandı:

Belirsizlik

Bu matematik ve fizikteki krizlere en yakın paraleldir: sırasıyla Gödel’in Eksiklik Teoremi ve Heisenberg’in Belirsizlik İlkesi. Şu soruyu dikkate alarak yaklaşacağız: Bir sanatçının imajı nereden geliyor?

Fransız avangard sanatçı Marcel Duchamp’ın üç eseriyle başlayalım.

İzlenimcilik Sonrası (örneğin, Van Gogh veya Gauguin’in çarpık renkleri) kazanımlarının tüm kabulü için, bu resim hala esasen, kısacık, görsel bir deneyimin kalıcı, iki boyutlu bir “eşdeğeri” bulma durumudur. bazen “bak ve koy” olarak da adlandırılır).

Yaklaşık beş yıl sonra ve Duchamp görüntünün kendi yaşamına sahip olmasına izin vermeye başlıyor (Kübizm dersleri sayesinde).

Bir yıl sonra ve aniden Duchamp, bir sanat görüntüsünün doğrudan sanatçısı tarafından yaratılması gerektiği varsayımına sırtını döndü. ( “Hazır Madeş” olarak sanatçı tarafından anılacaktır) diğer eserler o sadece tek nesnelerdir rağmen bu özel çalışma, sadece bir tabure içine bir bisikletin bir kalkık ön tekerlek eklenerek oluşturuldu ilan eserleri olmak. Sanatçı seçtiği sürece, bu yeterli.

Kandinsky aynı krize farklı bir açıdan yaklaşıyor:

Duchamp’ın aksine, Kandinsky yaratıcı sürecin dokunsallığını korur, ancak önündeki herhangi bir özel motifin bağlantısını reddeder. Bu, aklın “serbest dolaşıma” bir örneğidir.

Neredeyse kırk yıl sonra, ABD’de Jackson Pollock adlı bir sanatçı bu fikri daha da ileriye itiyor:

Pollock’un resimleri, fizik yasaları (örneğin, yerçekimi ve sıvıların dinamiği nedeniyle ivmelenme) ve insan kinesiyolojisi hakkında, sanatçının “içsel duygusal yaşamı” hakkında olduğu kadar – muhtemelen daha fazlası.

Bununla birlikte, bütün cesur çabaları için sanatçıların sanat eseri yaratma konusundaki sınırlayıcı varsayımlardan kurtulma çabaları, Duchamp, Kandinsky ve Pollock’un hepsi temelde iki unsur olduğunu varsaydı: sanatçı ve sanat eseri (sonra seyirci).

Fakat ya sanatçı bunu bile bırakırsa? Burada Fransız ressam Yves Klein tarafından bir sanat eserinin yaratıldığını ve daha sonra sanat eserinin kendisini görüyoruz:

Bu çalışmanın sanatçısı Yves Klein’in güvenle olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Belki de o daha fazla yönetmen ya da şef; ve burada hem tehlike hem de kurtuluş yatıyor.

Mandelbrot modeli

Mandelbrot modeli – İşte pek çok insana tanıdık gelebilecek bir görüntü.

Tamamen şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel formül tarafından üretilen tam anlamıyla sonsuz karmaşıklığa sahip bir kalıptır:

u _{, n + 1} = u _{, n}² s +
u ₀ = 0
{u _{, n} }, ancak ve ancak sınırlı C ∈ M

Bu matematikte en büyük sürpriz olabilir (en azından sanatçılar için): tamamen algoritmik ve mekanik olan süreçlerin, tamamen belirleyici ve öngörülebilir olması gereken süreçler, aslında vahşi ve tahmin edilemez olabilir.

iTunes modeli

Öyleyse, belki de sanat yapıcılığını bilgisayarların gerçekleştirdiği algoritmalara bırakmalı mıyız? Örneğin, Apple’ın iTunes Visualiser’ı (hayata G-Force adı verilen bağımsız bir program olarak başladı ).

Beceri ve duyarlılık, belirli bir görüntü veya görüntü dizisinin oluşturulmasında değildir (sonuçta, bilgisayar maharetli veya hassas değildir, sadece talimatları yerine getirirken oldukça hızlıdır). Hacim, perde ve ritime cevap verecek, beklenmedik ve öngörülemeyen (yani kaotik) kalıplar oluşturmak için geri beslenecek ve henüz (çoğunlukla) bir tutarlılık duygusunu koruyacak kodun oluşturulmasındadırlar.

Bununla birlikte, algoritmik bir yaratıcı süreç insan müdahalesi ve katılımından yoksun olmak zorunda değildir. Örneğin, Sidney merkezli bir baskıcı olan George Barker, onun için imajlar oluşturmak için bir bilgisayar programlar . Sanat programlamada.

Paradoksal olarak belki de, sanatı “evcilleştirmenin” bir yolu olmaktan uzak, matematik sanatı ve sanatçıyı özgürleştirmenin bir yolu olabilir.

sonraki yazı Neden matematik tarihi, aynı zamanda sanat tarihidir?

Matematik Sanat Oldu Ve Zihnimizi Yok Etti

Yazar: admin Kategori etti, matematik, oldu, sanatı, yok

Matematik tamamen formülsel bir arayış gibi görünse de, ürettiği kalıplar ve oranlar tarihin en çarpıcı sanat eserlerini yaratmaya yardımcı olabilir – Da Vinci Kodunu okuyan herkesin bileceği gibi.

Leonardo Da Vinci’nin Luca Pacioli’nin kitabı, De Divina Proportione (The Divine Proportion) veya MC Escher’ın matematiksel olarak doğru olan baskılarındaki geometrik çizimlerine bir göz atın , sayılar ve forumlarda bulunan saflık ve kalıpların dünyayı dönüştürebileceğini fark edeceksiniz. daha güzel bir yere.

Ancak bu sadece tarihsel olarak değil – bugün bile matematikçiler ve sanatçılar gerçekten güzel işler yaratmak için yeteneklerini bir araya getiriyorlar. Bilgisayarların yardımıyla işleri tamamen yeni bir düzeye çıkardılar.

Aşağıda, matematik ve sanattaki en sevdiğimiz maceralardan yedisi var.

1. Simon Beck’in kar sanatı

Simon Beck, ticarete göre bir haritacıdır, ancak sanata olan tutkusu, Avrupa Alplerinde bu epik ‘kar manzaralarını’ yaratması için ona ilham verdi.

Her biri 11 saat sürer ve Beck onları pusula ve kar ayakkabısı dışında bir şey kullanmaz ve çoğu da aşağıda görebileceğiniz Koch kar tanesi veya Sierpinski üçgeni gibi matematiksel oluşumları gösterir .

Desenlerin sadeliği nedeniyle matematikle çizim yapmayı seçti, Alex Bellos’a2014’te The Guardian’da anlattı . “Daha erken çizim yapabilirsiniz” diyor . “Sadece basit kurallara uyuyorsun. Bir şemaya atıfta bulunmak zorunda değilsin. Bunu bellekten yapabilirsin. Ve onlar sadece en iyi görünüyorlar.”

Simon Beck

2. Hamid Naderi Yeganeh’in bilgisayar çizimleri

İranlı arist Hamid Naderi Yeganeh karmaşık, bilgisayar tarafından üretilen illustations oluşturmak için matematiksel formüller kullanıyor – programı günde binlerce oluşturabilir. Ortaya çıkan şekiller her zaman güzeldi, ancak bazılarının rastgele gerçek yaşam nesnelerini de temsil ettiğini fark etmeye başladı.

“ Cuma günü daha iyi şekiller bulmak için formülleri değiştiriyorum. Ancak programların çalıştırılmadan önce sonuçlarının sonuçları hakkında hiçbir şey bilmiyorum. Örneğin tekne ve hayvanları kazara buldum” dedi.

Şimdi “matematiğin gücünü” dünya ile paylaşmaya yardımcı olmak için bu tanınabilir sarsıntılardan daha fazlasını elde etmek için verilerini değiştiriyor. Ayrıca formülleri ve resimlerini web sitesinde halka açık hale getirdi, böylece herkes kendi oluşturabilir.

Hamid Naderi Yeganeh

3. Tom Beddard’daki Fabergé Fraktalları

Fraktallar, her ölçekte tekrar eden – doğal, matematik ve sanat dünyalarında yüzyıllarca sevilen hiç bitmeyen kıvrımlar, çizgiler ve eğriler yaratan kalıplardır. Takdirini göstermek için, İngiltere’deki fizikçi Tom Beddard , bu detaylı fraktal desenlerle kaplı 3D Fabergé yumurtalarının dijital görüntülerini oluşturmaya karar verdi .

“3D fraktallar, bir yinelemenin çıktısının bir sonraki için girdi oluşturduğu yinelemeli formüller tarafından üretilir,” dedi Beddard My Modern Met . “Formüller, alanı etkili bir şekilde katlar, ölçekler, döndürür veya çevirir. Seyahat ettiğiniz yüzeye daha fazla detayın açığa çıkabilmesi gerçeği için gerçekten fraktaldırlar.”

Tom Beddard

4. Liz Blakenship ve Daniel Ashlock’un fraktal taksonomisi

Sert fraktallar hayranı olsanız bile, bilmeyeceğiniz şey, orada birçok farklı fraktal türü olduğu ve hepsi yukarıdakilere benzemiyor. Bu yüzden Liz Blakenship ve Daniel Ashlock, tüm ihtişamlarında göstermek için resimlerle tamamlanan fraktalların bir taksonomisini yarattı.

Bu L sistemi fraktalları, örneğin, matematiksel diyagramlardan ziyade egzotik eğrelti otları gibi görünür. Ama yine de yinelenen kalıplardan oluşuyorlar. Ashlock ve Blakenship , “Bu L sistemleri, A ve B harfleriyle verilen iki açıyı ve C ve D harfleriyle verilen iki mesafeyi kullanır .

Liz Blakenship ve Daniel Ashlock

5. Henry Segerman’ın 3D modelleri

Avustralyalı matematikçi Henry Segerman , öğrencilerinin onları daha iyi anlamalarına yardımcı olmak için matematiksel formülleri ve kavramları ifade eden illüstrasyonlar ve 3B basılı modeller oluşturuyor .

“Öğrencilere matematiğin dilini anlama ve yaratıcı bir şekilde problemleri çözmek için yaratıcı bir şekilde uygulama zamanı verilmelidir. Segerman, matematik dersleri genellikle yeni bir fikir, bir hikaye ya da şiir oluşturmak için dili kullanacağımız bir İngilizce dersinin aksine, ezber egzersizlerinin ötesine asla geçmez. ” Diyor.

“Matematik dili genellikle sanat diline göre daha az erişilebilir, ancak matematiksel bir düşünceyi ifade eden bir resim veya heykel üreterek birinden diğerine çeviri yapmaya çalışabilirim.”

Henry Segerman

6. Hevea Projesi’nin izometrik gömme modelleri

İzometrik gömme anlaşılması biraz karmaşık olmakla birlikte, A Beautiful Mind matematikçi John Nash’in Nicolaas Kuiper ile birlikte yaptığı temel çalışmalardan biriydi – ve tüm dünyanın kum taneleri içinde nasıl yer alabildiğini açıklıyor.

Daniel Matthews , “Bu saçma geliyor. Mesela bir küreye bürün – bir tenis topunun yüzeyini söyleyin – ve nanometre yarıçapına sahip olduğunu küçültmeyi hayal edin,” diyor Daniel Matthews, izometrik gömme hakkında . “Nash ve Kuiper, yüzeyin yeterince karıştırılmasıyla (ancak her zaman pürüzsüz; kırılma veya katlanma veya yırtılmaya izin verilmez!), Hepsinin bu nanometre yarıçapında bulunan orijinal tenis topunuzun izometrik bir kopyasına sahip olabileceğini gösteriyor.”

Kendilerini Hevea Projesi olarak adlandıran bir Fransız matematik ekibi şimdi bunun neye benzeyeceğine dair dijital yapılar oluşturdular ve sonuçlar muhteşem.

Hevea Projesi

7. Kerry Mitchell’in Mars’ta Merak İnişini Kutlamaları

Matematiksel sanattan daha iyi bir şey varsa, 2012’de ünlü sanatçı ve eski NASA mühendisi Kerry Mitchell’in Mars’ta inişini kutlamak için yarattığı bu görüntü gibi, uzay araştırmalarını kutlayan matematiksel sanattır.

Normal bir tabloya benzese de, Mitchell tüm sanatını algoritmalar ve fraktallar kullanarak yaratıyor.

“Bu görüntü Mandelbrot’umda ve Julia, yinelenen yinelemenin altındaki bir formülün dinamiklerini gösteren bir resim koleksiyonu oluşturuyor.“ Merak ”, Ağustos 2012’de Mars’taki merkezi eğilim eğilimini, harmonik ortalamayı ve Merak gezicisinin Mars’a inişini kutluyor. ” Mitchell yazıyor.

Adres

Türkiye — Online eğitim platformu

E-posta

Çalışma saatleri

7/24 online içerik

Etiket başlığı

Etiket arşivi matematik

Peki, Pisagor’un arkasındaki gerçekler nelerdir?

Pisagorluların Yapısı

Çocukluk ve Erken Yaşam

Daha sonra yaşam

Büyük işler

Kişisel Yaşam ve Miras

Kozmolojik görüşler

Dini öğretiler

Pisagor ve Matematik

Pisagorluların matematiksel başarıları neydi?

Platonik Katıların Keşfi

Matematik ve Müzik

Matematik ve Astronomi

Son

sonraki yazı

sonraki yazı Matematik ve Richter Ölçeği

sonraki yazı Deprem ve Matematik

Matematik ve Müzik arasında bir ilişki var mı?

Müzikte Fizik

Müzikte matematik

Matematik ve müzik ölçekleri

12 notun matematiği

Müzikte Logaritma

sonraki yazı

Müzik ve Matematik Çalışmaları Tarihi

Dalga frekansları

Aralıklar ve Zil Sesleri

Sınıfta Müzik ve Matematik

sonraki yazı Müziğin büyülü matematiği

sonraki yazı Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

sonraki yazı Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Medeniyetlerin ve Bilim İnsanlarının Matematik ve Astronomi Çalışmaları

sonraki yazı Astronomide Matematiksel Teknikler

Güzellik ve oran

Matematik nedir?

Sistemden çıkma

Paradokslar ve küme teorisi

krizler

Sıfır

Olumsuz sayılar

İrrasyonel sayılar

Öklid dışı geometri

infinitesimals

Hayali (ve karmaşık) sayılar

Sonsuz sayılar

Eksiklik teoremi

Sanatta Krizler

izafiyet

Nesne-özerklik

Belirsizlik

sonraki yazı Neden matematik tarihi, aynı zamanda sanat tarihidir?

sonraki yazı Sanatın Matematiği