Astronomi; gökyüzünün gizemini açıklayan, dünyanın kökenine ve insanoğlunun gelişim sürecine ışık tutan ve evrenin küçükten büyüğe tüm yapı taşlarıyla ilgilenen bir bilim dalıdır. Astronomi kelimesinin kökeni, yunanca gök cismi anlamına gelen “astron” ile kanun, gelenek veya tayin etmek anlamına gelen “nomos” kelimelerinden gelmektedir. Astronomi insanlık tarihinde en çok merak edilen ve temeli ilk atılan bilim dallarından biridir. Bilim insanları gökyüzünü çıplak gözle binyıllardan beri, teleskop yardımıyla da yüzyıllardan beri gözlüyor. Astronomi, dünyanın ve evrenin işleyişinin daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Nasıl ki insan vücudunu iyi anlayabilmek için anatomi, fizyoloji gibi temel bilimlerin bilinmesi gerekiyorsa, insanların da evreni anlamaları için astronomi bilmeleri gerekmektedir.
Astronomi, kişiye doğru ve mantıklı düşünmeyi öğreten önemli bilim dallarından birisi olması nedeniyle, dünyada kavram düzeyinde bilgi kazandırılması için kullanılmaktadır. Astronomi, merak, hayal ve keşif duygularını güçlendirir. Matematik Terimleri Sözlüğü’nde matematik; “Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim” olarak tanımlanmaktadır. Matematiğin öğeleri mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten oluşur. Matematik bir disiplindir. Matematik insanın düşünce sistemini düzenler. Matematik bir yaşam biçimidir. Matematikte tek amaç yoktur. En önemli amacı insandaki doğuştan var olan düşünebilme yeteneğini geliştirebilmektir. Karşılaştığımız olayları ve problemleri inceleme ve araştırma yapmak suretiyle doğruyu bulmamızı sağlar. Doğa olaylarını açıklamada, teknolojinin her türlü mühendislik dalında, biyoloji, tıp, eczacılık, tarım, gıda vb. gibi alanlarda, ticaret, ekonomi, işletme, endüstri, maliye ve yönetim gibi alanlarda, devlet ve kurum yönetiminde, askeri alanlarda hep matematiği kullanırız. Fizik, kimya, astronomi (gökbilim) gibi fen bilimleri söz konusu olduğunda bu bilimlerin temelinde ve bugüne gelmelerinin temelinde matematik vardır. Bu temel bilimler kendi içinde ayrı bilim dallarına ayrılır. Bu temel bilimler için ara disiplinler de söz konusudur. Örneğin; Fizik-kimya, biyo-kimya, biyo-fizik, astro-fizik, jeo-fizik v.b.
Medeniyetlerin ve Bilim İnsanlarının Matematik ve Astronomi Çalışmaları
İlk çağlarda astronomi yıldız konumlarından yön bulmada, Ay ve Güneş’in konumlarından da zamanı belirlemede kullanılmıştır. Ay ve Güneş’in görünür hareketlerine dayalı olarak takvimler oluşturulmuş ve yıldızların tanrılarla ilgili olduğuna inanılması nedeniyle bu çağlarda astronomiye karşı ilgi artmıştır. M.Ö.3000-2000 yılları arasında, Çin’de dini törenlerin vakitlerini bulmak amacı ile takvim, ay ve güneş tutulmaları ve buna benzer olaylarla meşgul olan bilginlerden kurulu bir heyet vardı. İmparator Yoa (M. Ö. 2373 – 2258) zamanında bilginler günle gecenin uzunluklarını ve mevsimlerin süresini ölçmeyi başarmışlardı. M.Ö.1100 yıllarında ünlü matematikçilerden Çu-Kung’un Yer (Dünya) ile Güneş arasındaki uzaklığı ölçmek için yaptığı çalışmalar, Yer’i düz olarak kabul etmesi yüzünden hatalı bir şekilde sona ermiştir. Yunanlılar, Babilli astronomları memleketlerine getirerek onların bilgilerinden faydalanmışlar, astronomi konusunda kısa zamanda ilerleme kaydetmişlerdir. Babilli bilgin Berossos, Kos adasında bir astronomi okulu kurmuştur. Pythagoras Mısır’a yaptığı gezilerden yerin serbest küre olduğunu, yörüngesinin eğik olduğunu öğrenmiştir. Aristarkhos ile Eratostene, M.Ö. 3. ve 2. yüzyıllarda Güneş’le Yer arasındaki uzaklığı, Yer’in büyüklüğünü ölçmeye çalışmışlardır. Matematik diğer bilimlerin ilerlemesinde aşırı derecede katkı sağlar fakat bir ilginçlik burada doğuyor ki diğer bilimler de matematiğin gelişmesinde katkı sağlamıştır. Buna örnek olarak gökcisimleri ve yörüngelerin hesaplanmasında mevcut matematik yeterli olmadığı için astronotların zorlamalarıyla yeni bir konu olan diferansiyel denklemler ortaya çıkmıştır
Matematik ve astronomi birbirini yakından ilgilendiren, birbiriyle bağlantılı bilimlerdir. Bu yüzden en önemli matematikçiler astronomi ile ilgili çalışmalar da yapmıştır. Henri Poincaré (1854-1912) cebirsel topoloji konusunda olduğu gibi kaos kuramı konusunda da öncü çalışmalar yapmıştır. Üç cisim problemi ile ilgilenirken ilginç sonuçlara ulaşmıştır. Poincaré ilk kez “kaos” terimini kullanırken, başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı vurgulamış, kelebek etkisinin varlığını da dolaylı olarak ortaya koymuştur. “Kelebek etkisi” fizikçilerin ölümsüz ifadesiyle, “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta fırtına çıkabilir” şeklindedir. Kopernik, dünyanın ve diğer gezegenlerin güneş etrafında döndükleri kuralını açıklamıştır. Heliosentrik teorisi bugün Kopernik teorisi olarak da adlandırılır. Kopernik, en önemli eseri “De Revolutionibus Orbium Coelestium” adlı kitabında heliosentrik teorisini detaylı anlatmıştır. 1543’te, Nürnberg’de j. Rheticus ve A. Osiander’in çabalarıyla basılan altı kitaplık “De Revolutionibus” adlı yapıtta da detaylı olarak anlatılmıştır. Birinci kitabının son üç bölümünde sisteminin ayrıntılı bir biçimde düzenlenmesi için gerekli olan matematiksel bilgileri (döneminde çok kullanılan trigonometri kavramları) vermiştir. Son beş kitap Evren’in güneş merkezli varsayımına bağlı olarak olabildiğince ayrıntılı ve eksiksiz bir betimlemesine ayrılmıştır . Astronom ve matematikçi Ali Kuşçu’nun ise astronomi ve matematik alanında yazmış olduğu iki önemli eseri vardır. Bunlardan birisi Fatih’e sunulan ve üç bölümden oluşan “Fethiye” isimli kitabıdır. Kitabın birinci bölümünde gezegenlerin küreleri ele alınmakta ve gezegenlerin hareketlerinden bahsedilmektedir. İkinci bölüm dünyanın şekli ve yedi iklim üzerinedir. Son bölümde ise Ali Kuşçu, dünyaya ilişkin ölçüleri ve gezegenlerin uzaklıklarının hesaplanmasını vermektedir. Ali Kuşçu bu eserinde ekliptikliğin eğilimini bizzat kendisi hesap ederek 23030’13” olarak bulmuştur. Bu değer bugünkü hesaplara oldukça yakındır. Ali Kuşçu diğer eseri “Risale Fi’l Muhammediye” adlı eserinde ise cebir ve hesaptan bahsetmektedir. Matematikçi, astronom ve tarihçi Uluğ Bey zamanında yeni astronomi aletleri yapılmış, eski aletler geliştirilmiştir. 9. ve 10. yüzyılda bir usturlab ile ancak 43 işlem yapılırken, Uluğ Bey zamanında geliştirilen usturlab, 1000’den fazla işlem yapıyordu. Uluğ Bey’in usturlabının çapı 40 metre idi. Uluğ Bey, bu arada gökyüzünün bir de haritasını yapmayı başarmıştı. Uluğ Bey, astronomi çalışmalarının temelini teşkil eden trigonometri ilmi üzerinde de geniş çalışmalar yaptı.
Paralaks – Birkaç bin ışık yılı içerisindeki yıldızlar Kozmik mesafe merdivenindeki tek doğrudan ölçüm yöntemi olan paralaks, yakın yıldızların uzaklıklarını belirlemek için lise sıralarında görmüş olduğunuz trigonometriden yararlanır. Paralaksı anlamanın en basit yolu, kolunuzu kırmadan önünüzde tutup baş parmağınızı gözlerinizin hizasına getirerek bir gözünüzü kapatıp bakmak ve ardından diğer gözünüzü kapatıp bakmaktan geçer. Bu süreçte parmağınız arka planda yer değiştirecektir; eğer kolunuzu kırıp suratınıza daha yakın konuma getirirseniz bu değişim artacaktır. Paralaks yönteminde, altı aylık aralıklarla yıldız gözlemlenir ve arka planındaki diğer yıldızlara göre ne kadar yer değiştirdiği hesaplanır. Bundan sonrası, lise sıralarında gördüğünüz basit trigonometri ile bulunacak kadar kolaydır.
Sefeid (Cepheid) Yıldızları – 40 milyon ışık yılı uzaklığı içerisindeki yıldızlar Astronomide “standart mumlar” parlaklığını iyi bildiğimiz gök nesneleri için kullanılan bir tabirdir. Bunun yıldızların mesafelerini belirlememize nasıl katkısı olduğunu anlamak zor değil. Arkadaşınızın parlaklığını iyi bildiğiniz bir ışık kaynağını; örneğin bir mumu; sizden yavaşça uzaklaştırdığını düşünün. Ters kare kuralına göre parlaklık uzaklığın karesi oranında azalacaktır. Bu sayede parlaklığı ölçümleyerek uzaklığı belirleyebilirsiniz.
Cepheid yıldızlarının parlaklık değişim grafiği. Bu yıldızların parlaklıklarındaki değişim çok düzenlidir ve bu sayede uzaklık ölçümü için kullanılabilir. Peki ama bu yıldızların titreşimiyle neden ilgileniyoruz? Bir Sefeid Yıldızı’nın periyodunu ölçmeniz, onun gerçek parlaklığını bulmanızı, gerçek parlaklığını yeryüzünden ölçülen parlaklıkla kıyaslamanız da yıldızın bizden uzaklığını bulmanızı sağlayacaktır. Astronomi ve matematik ilişkisi pek çok örnekte görülebilir. Tarihe adını yazdırmış astronomların öncelikle iyi birer matematikçi olmaları şaşırtıcı değildir.
Altın oran, matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır.
İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilinmese de, Mısırlılar’ın ve Yunanlılar’ın bu konu üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300′lü yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade etmiştir. Mısırlıların Keops Piramidinde, Leonardo da Vinci’nin “İlahi Oran” adlı çalışmada sunduğu resimlerde kullanıldığı bilinen “altın oran” , “Fibonacci Sayıları” olarak da bilinmektedir.
Orta Çağ’ın en ünlü matematikçisi olan İtalyan kökenli Leonardo Fibonacci, birbiri arasında ardışık ilişki ve olağanüstü bir oran bulunduğunu iddia ettiği sayıları keşfetmiş ya da diğer bir görüşe göre de Hint-Arap medeniyetinden öğrenmiş ve Avrupa’ya taşımıştır. Evrendeki muhteşem düzenle birebir örtüşen bu sayıları keşfetmesi nedeniyle, altın orana da adının ilk iki harfi olan “Fi” (Φ) sayısı denilmiştir.
Bir yapı ya da sanat eserinin altın orana yakınlığı, onun aynı zamanda estetik olarak güzelliğinin bir ölçüsü olarak kabul görmüştür.
Bir doğru parçasının (AC) Altın Oran’a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (B) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AB) büyük parçaya (BC) oranı, büyük parçanın (BC) bütün doğruya (AC) oranına eşit olsun.
Bildiğimiz gibi matematikte 3.14 sayısına karşılık gelen ve bir dairenin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilen sayıya Pİ (∏) sayısı denir. Aynı Pİ sayısı gibi altın oran da matematikte 1.618 e eşit olan sayıya denir ve Fi(φ) simgesiyle gösterilir ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894…’tür.
Bu oranın kısaca gösterimi: şeklindedir.
Altın Oran’ı tanımlamaya, bir kare çizerek başlayalım…
Şimdi, bu kareyi tam ortadan ikiye bölelim… İki eşit dikdörtgen olacak şekilde…
Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani dairemizin yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.
Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.
Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.
İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna oranı Altın Oran’dır. Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran’dır. A / B = 1.6180339 = Altın Oran C / A = 1.6180339 = Altın Oran
Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın dikdörtgendir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.618 dir, yani Altın Oran’dır.
Artık bu dikdörtgenden her defasında bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, hep bir “Altın Dikdörtgen” olacaktır.
İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen’in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir “Altın Spiral” elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur. Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler. Altın oran, sadece dörtgenlerde değil, üçgen, beşgen ve altıgenlerde de geçerlidir.
Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.
Fibonacci dizisi, her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Bu şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında “altın oran” ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir.
Fibonacci sayıları : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765… şeklinde devam eder. Bu ardışık sayılar dizisi ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır:
Fibonacci sayıları, kendisinden önceki iki sayının toplamı ile devam etmektedir. Örneğin 13 sayısı kendisinden önceki iki sayının (5+8) toplamını göstermektedir.
“İyi de, peki bu sayıların altın oran ile bağlantısı nedir?” sorusu aklımıza gelebilir, onu da şöyle açıklayalım:
Bir Fibonacci sayısının ile kendinden önceki sayıya bölümü ile elde edilen sonuç, 1,618’dir. Örneğin; 6765 / 4181 = 1,618… sonucunu vermektedir. Bu durum, 89!dan daha küçük olan Fibonacci sayıları için 0,01 gibi küçük bir farklılıkla ortaya çıksa da, büyük sayıların tamamında sonuç aynıdır. Yani dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yani 1.618’e yaklaşır, 89/55 ve sonrasında ise 1.618..’de sabitlenir.Altın oranın karşılık geldiği 1,618 sayısının matematikteki en şaşırtıcı yanı, tersinin bir eksiğine; karesinin ise bir fazlasına eşit olmasıdır. Bu yönüyle altın oran (Φ) evrende eşi benzeri olmayan, bu özelliğe sahip tek sayıdır. Bu kuralı biraz açarsak, şunları söyleyebiliriz: Bir sayının tersi, 1’in o sayıya bölünmesi ile elde edilen sonuçtur. Örneğin 2‘nin tersi 1/2=0,5‘tir. Altın oranın tersi ise, 1 / 1,618 = 0,618‘dir. Yani altın oranın tersi, kendisinin 1 eksiğine eşittir.Aynı şekilde altın oranın karesi (1,618)2 = 2,618‘e, yani kendisinin bir fazlasına eşittir.Bu, şaşkınlık verecek bir durumdur ve bu özellikte başka bir sayı yoktur! Altın oran veya Fibonacci sayıları, bugüne kadar insan yapımı birçok çalışmada kullanılmıştır. Bunun yanında doğada var olan nesnelerin birçoğunda altın oranın var olduğu keşfedilmiştir. Mesela İNSAN VÜCUDU…. (ANCAK DİKKAT; elimize bir cetvel alıp ölçmeye kalkmayalım… Zira bu ölçümler bilim adamlarınca kabul edilen ideale en yakın vücut ölçüleri içindir. Ölçüler bu orana ne kadar yakın ise o kadar ideal kabul edilmiştir. )
Altın oran keşfedilebilmiş en değerli sayı dizelerinden birisidir. Belki de Pi sayısı kadar önemlidir. Altın oran yani Fibonacci dizisini okumaya başladığınızda tuhaf verilere erişirdiniz. Örneğin, evren bu oransal dizilimde hareket etmektedir. Bugün evrenin genişlediği düşünülmektedir. Her ne kadar düzensiz görünse de altın oran rakamları ile genişlemektedir. Örneğin hastalık AO ile bağıntılı gelişir.
Hasta bölgenizi AO’nın oransal dizilimine tanıtabilirseniz muhtemelen iyileşecektir. Çünkü her şey eğer serbestlikten uzaklaştırılırsa stabilize olma ya da mükemmelleşme durumuna girebilir. AO, düzenli dizilimlere sahiptir. Bu anlamsız görünen rakamların üssel değerleri alındığında görünen fraktallar harikadır. Bir matematikçi olmamama rağmen diyebilirim ki, AO, farklı üssel dizilimlere sahiptir ve bazıları henüz bilinmemektedir.
Bir düzen veya fraktalize bir yapı inceliyorsanız onun temeli AO’ya kadar uzanır. Örneğin dünyamızda bulunan ya da bulunmayan bazı elementlerin atom dizilimi ya da birleşiklerin AO içermesi olağandır. AO, daha çok düzeni temsil eder. AO rakamları boyutumuza indirgenmiş bir bilgidir (veridir). Üst boyutların yapısını alt boyutlarda fiziken yapılandırmak zorundadır. Yoksa bu kadar sağlam uzaysal temeller oluşamazdı.
Yani fraktalize bir uzay alt boyutlardan üst boyutlara doğru genişleyen bir dizilim izler ki tersi de kısmen doğrudur. Alt boyutun AO’dan oluştuğu kabul edilirse üst boyutlar onun üssel ifadesi haline gelir. Bu haliyle üst boyutlar rakamsal karşılıkları ile (bulunabilirse) anlaşılabilir. AO, tersine üst boyutlardan alt boyutlara da bir ağacın kökleri gibi ilerler. Anlamaya çalışın lütfen doğal oluşumlardan bahsediyorum. Yoksa bizlerin AO baz almadan ürettiğimiz her şey bunun dışındadır. Bu halde bir bina dahi inşa etmeye çalışsak tam olarak AO ifade edilemeyecek, milimetrik hatalar olacaktır. Oysa hatırlayın küçük bir arı, kovanında hatasız oranlarla çalışmaktadır. Belki de bu sebepten AO dışındaki her şey yok olmaya mahkumdur.
Yaşam ve ölüm çarkı da AO kapsamındadır. Bu değerlere yaklaşılabilir (benzeri gibi kopya edilebilir) ama tesir edilemez. Aynı şey evren için de geçerlidir. Bir ve bir kaç boyutu dinamitle havaya uçuramayız. Üst boyutlarda fiziki patlayıcının anlamı da yoktur. Bu yüzden daha yüksek boyutlara o boyutlar için yetki verilmiş müdahiller etki edebilir. Fakat örnek doğru olsaydı, siz bir AO bombasıyla tüm dizilimi ve boyutları yıkabilirdiniz. Çünkü onu yıkabilecek tek güç kendisidir.
AO, günümüzde bilinen haliyle sadece bir sayılar dizisine indirgenemez. Çünkü onun hesaplanabilen rakamsal değerlerinden asıl anlamına erişilmesi için daha üst boyutlara çıkılması gerekir. Farazi bir örnekle açıklarsam, üçüncü boyutta inşa edilmiş mükemmel AO’ya sahip bir bina yapılabilirse tüm boyutlarda farklı şekillerde ve aynı anda görünür. Buradan şunu çıkarsayabilirsiniz. Eğer bir AO ile örülmüş bal peteği var ise o hem burada hem de diğer boyutlardadır. Bu basitçe budur. Hem burada görünür hem diğer âlemlerde.
Görünür kelimesini ifade etmek kolay olsun diye ‘bilinir’ ile değiştirmek istiyorum. Bilinmesi güç olan bu şeyi biraz daha hayal gücü ile ifade edeyim. AO bir cihaz gibidir. Bir saati nasıl ki sadece üzerinde duran rakamlar olarak kabul etmez isek AO’yu da edemeyiz. Kendine has bir mekanizması vardır. Sadece rakamsal değerler olarak bakmak onu biraz basite indirgemek olurdu. Demek istediğim haliyle o bir rakam değil rakamlarının bütününün ruhudur da. AO’nun rakamlarının alanı canlı farz edilebilecek türden yeni bir oluşumdur. Bu sebeple eğer böyle bir şey var edilebilirse örneğin arının yaptığı bal peteği gibi, üst boyutların bilgisini de taşıyacaktır.
Bu da onu her boyutta bilinir kılar. Arının peteğinin ilahi bir tarza sahip olup olmadığı tabi kişiden kişiye değişir. Ben açıkça evrensel bir şaheser görüyorum. AO boyutsal bir işlevdir. Yani rakamlarının ardında mekanik aksamı olan bir saat gibidir fakat aksam kendini oluşturan parçalardan farklı bir şeyleri ölçer. (insan icat ettiği şeyin, onun falanca işe yaraması için kurguladığı işlevi yerine getirdiği şey sanır ve aldanır.) Saat örneğine dönersek bize saati söyleyen rakamlar değil onlardan edindiğimiz duyusal izlenimlerdir.
Bu yüzden bazen kapı ağzında şişe açmak daha efektif olabilir. (Bilinmeyen bir yöntem olmasına rağmen çözüm beklenmedik olduğu için) Bu ölçüm dışında da tüm diğer her şey gibi tesirli veya tesirsiz enerjiler açığa çıkar.
Enerjiler onun doğasıyla da alakası olmak zorunda değildir. (Tıpkı oksijeni kirleten atıklar gibi, atıkları oluşturan maddeler beher miktarlarda ise oksijen zarar görmez fakat bir kimyasal atık halinde yoğunlaştıklarında zarar verici olurlar. Bu haliyle benim atığım kimyasal bir birleşiktir ve doğada da vardır demek mantıki bir çıkarım olmaz) Atık olarak düşünebileceğimiz AO enerjiler onun işlevinin dışında bile olsa AOsaldır. Şunu söylemek istiyorum AO’nun yan enerjilerinin atık olduğunu bile farzetsek mükemmelliğe hizmet ederler. (iyilik sever evren) AO aynı zamanda bir gözlem kabiliyeti de getirir. Sizin yarattığınız bir AO fraktalden tüm boyutları izleyebilirsiniz. (AO’ya uyumlu diğer gözlerin bilgine açmadıysanız yalnızca sizin yarattığınız fraktalden tüm boyutları gözleyebilirsiniz) Beyin fraktalize davranmayı kısmen öğrenebilir.
Yani yaydığı dalgaların fraktalize özellik kazanmasıyla AOsal hale getirilebilir, AO frekansına ayarlanabilir. Doğamız gereği programlanabilir bir yapımız var. AO’ya ayarlanmak kolay olsa gerek. Buradan şunu geriye doğru çıkarsamak istiyorum. Diğer boyutlar ile iletişim halindeyseniz, AO yeteneğinizden bahsedebiliriz. Örneğin farklı boyutlardaki varlıklara kanallık yapan kişiler kısmen AOsal zihin frekanslarına giriş yapabilmekteler. (Tek yolun bu olduğunu da söylemiyorum çünkü her bağlantı kendi özel frekansını yaratabilir)
AO, bir bilgi deposudur. Her türden veriyi saklayabilir. Bir Usb bellek ile karşılaştırabilseydik sanırım depolama kabiliyetini tüm dünyada üretilen belleklerle bile kıyaslayamazdık. Bir AO fraktale sizle ilgili bir bilgiyi bırakın, unutmayacak siz geri bağlandığınızda size sağlayacaktır. Ne yazık beynimiz ve öğrendiklerimiz neticesi ona ancak hard disk muamelesi yapabiliriz.
Evrende farklı türlü yollarla bilgi saklanabilmesine rağmen… Örneğin renk frekanslarında bilgi saklanabilir. Belki nano teknoloji yakında bunu da yapacaktır. AO’ya öğretilebilir ve zihinsel çıkarsama yapılabilir veri gömebiliriz. AO sizin için sonucu üretecektir. Biz kısaca buna ilham diyoruz. Ancak o daha komplike işler de başarabilir. AO, bir boyuttaki veriyi diğer boyutta kurgulanabilecek düzeye geliştirip orada gerçekleştirebilir. O halde siz örneğin kitabınızı dördüncü boyuta yerleştirebilirsiniz (taşıyabilirsiniz).
Ama fiziken orada olamayacaktır. Bilginin dördüncü boyutta erişilebilir haline dönüşecektir. Bu tıpkı koca bir tankerde su taşımaya benzer. Eğer çalkalandıkça tankerin yalpalamasına sebep olacaksa tankerin içindeki suyu dondururuz. Böylece gideceği yere katı halde kolaylıkla götürülebilir. Yalnızca AO’ya kitabı tanıtmanız yeterlidir. Fikir vermesi açısından materyallerin dördüncü boyuttaki halleri kanımca aleve benziyor. (dördüncü boyut buradan enerjinin akıcı ve yakıcı hali olarak görünüyor)
İstek ve arzulara gelince, onlar ya üst boyutlardan ya da alt boyutlardan çekilerek yaratılırken AO biraz daha süresiz davranır. Yaratılmamış hiçbir şey yoktur ki siz düşünmemiş olun veya tam tersi… Bu yüzden bir kere her isteğiniz AO tarafında yaratım alanında bilinir. Bu bilgidir. Fraktalize düşünme burada işe yarar. AO ile bağlantınızda ondan ihtiyaç duyduğunuz şeyi istersiniz ve yaratım alanından size ulaştırır. Gerçekleşme safhaları olsun isterseniz ağırdan alır. Bal yiyeceksiniz ama önce bir kaç arıyı kovan yapmaya ikna etmek gerekebilir. Bunu görmek isterseniz evinize haşere gelmesi kaçınılmazdır. Eğer hızla dileyebilecek kapasiteniz varsa bilgi net ve tam bir şekilde kapınızı çalar. Komşunuz sizin seveceğinizi düşünerek bal getirmiştir.
AO tüm bunların toplamı, daha fazlası ve her şeydir. Çünkü o iletişim hattı gibi davranır. Aynı zamanda yapı taşıdır. Pek çok işe yarar. Hayal gücünüzü zorlayın. Son olarak onu çağırma antrenmanı yapın. Gelecek veya görünecektir. Ya da kendini ifade edebileceği şekilde onu bilebileceksiniz. Bir kıvrım ya da düz hatta, estetik ya da sanat eserindeki çözemediğiniz gizem zihninizde soru işaretine dönüştüğünde AO görünmüş olabilir.
Altın oran, Fi (phi) sayısı olarak bilinir. Neticede matematiksel bir kavramdır ve değeri de 1,618 dir. Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Fibonacci dizisinin mucidi Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi.
Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında) kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı altın orana yakınlaşmaktadır.
ALTIN ORANIN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:
1) Ayçiçeği: Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı, altın oranı verir.
2) Papatya: Papatya çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.
3) Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı yine altın oranı veriyor.
4) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.
Mona Lisa: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.
Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.
Cool Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.
5) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
6) Deniz Kabuğu: Deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.
7) Tütün: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır. Aynı özellik eğrelti otunda da vardır.
8) Elektrik Devresi: Altın Oran sadece Matematik ve kâinatta değil, Fizik’te de kullanılıyor. Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç, yani Reş = altın oran olur.
9) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.
10) Mimar Sinan: Mimar Sinan’ın da birçok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu oran kullanılmıştır.
11) Arı Kovanları: Arı kovanlarında yaşayan dişi arıların sayısının erkek arıların sayısına bölündüğünde hep aynı sayı elde edilir. Yani 1.618
12) Sanatta: Michelangelo, Albrecht Dürer, Da Vinci ve diğerlerinin sanat eserlerinde, Altın Orana bilinçli ve dikkatli bir bağlılık söz konusudur. Beethoven in Beşinci Senfonisinde, Bartok’un, Debussy’nin ve Shubert’in eserlerinde de gözükür. Stradivarius’ un bile ünlü kemanlarındaki F deliklerinin yerlerini belirlemekte altın oranı kullandığı bilinmektedir.
İNSAN VÜCUDUNDA ALTIN ORAN
İnsan gözünün altın orana bu kadar yakın olmasının, estetik açıdan sürekli olarak altın orana uygun şekil ve yapıları tercih etmesinin bir nedenini, yaşadığı çevre olan doğada hemen her an altın oranla karşı karşıya olmasının yanı sıra, kendi vücudunun hemen her noktasında altın orana sahip olmasında arayabiliriz. Aşağıda oranlarda insanında ne kadar altın oran örneği olduğunu göreceksiniz:
Tam Boy / Bacak boyu
Beden Boyu / Kol altı beden boyu
Parmak ucu – Omuz boyu / Parmak ucu – Dirsek boyu
Göbek – Omuz boyu / Göbek – Bel boyu
Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır. Büyük (üst) bölüm ve küçük (alt) bölüm olarak. Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.
Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka… Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.
İNSAN YÜZÜNDE ALTIN ORAN
İdeal ölçülere sahip bir insan yüzünde de sayısız altın oran örnekleri görmek mümkündür:
Yüz yüksekliği / Yüz genişliği
Alın genişliği / Burun boynu
Yüz genişliği / Gözbebekleri arası
Gözbebekleri arası / Ağız genişliği
Ağız genişliği / Burun genişliği
1.Papatya, ayçiçeği gibi birçok bitkinin yapısında :
2. Deniz kabuğunun yapısındaki eğrilikte :
3. Çam kozalağındaki spirallerin eğrilik açısında:
Tabiattaki birçok şey incelendiğinde belirli bir mantık üzerine yaratıldığını görmek mümkündür. Mahlukatın tesadüf eseri vücuda gelmediği, bunun bir yaratılış sonucu ortaya çıktığını idrak etmek tefekkür ile mümkündür.
Matematikte Fibonacci adını verdiğimiz bir sayısal dizilim vardır. Bu dizilim tabiattaki birçok canlının şekil ve biçiminde mevcudiyetini gösterir. Bitki yapraklarının diziliminden tutun, ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilimine kadar birçok bitkide, hatta salyangoz kabuğundan insanoğlunun eline, koluna kadar birçok uzuvda ve canlıda bu sayıların dizilişini görmek mümkündür. İşte bu sayısal dizilim canlıların bir tesadüf eseri değil, İlahi bir kudret sonucu yaratıldığını gösterir.
Fibonacci dizilimi hakkında kısa bir malumat vermek gerekirse, başlangıç dizilimi 0, 1 olup, bir sonraki sayı kendinden önceki sayının toplamıyla devam eder: 0, 1, 1(1+0), 2(1+1), 3(2+1), 5(3+2), 8(5+3), 13(8+5), 21(13+8) … şeklinde devam eder.
Bu sayısal dizilim, 6. yüzyılda Hindistanlı matematikçiler tarafından keşfedilmiş olsa da 12. yüzyılda Avrupa’ya tanıtan kişinin ismini (Fibonacci) almıştır. Esas mevzu ise bu dizilimin tabiattaki birçok canlının biçiminde görülmesi gerçeğidir.
Misal vermek gerekirse aşağıda sözkonusu Fibonacci dizilimiyle bağlantılı bir altın oran (altın spiral) şeması yer almaktadır:
Bu sayısal dizilim, tabiattaki birçok bitkide, hayvanda ve insanlarda görülmekle birlikte hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığına apaçık bir delildir.
Salyangoz kabuklarının da aynı sayısal özelliğe sahip olduğu görülmektedir. Bu spiral, altın oran ismiyle bilinmektedir. Matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en mükemmel boyutları verdiği düşünülen geometrik ve sayısal bir oran bağıntısı olarak da tarif edilmektedir.
Fibonacci dizilimi ile Altın Oran arasındaki ilişki ise dizilimde yer alan ardışık iki sayının oranının, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yaklaşmasıdır.
Salyangoz kabuklarının da Fibonacci sayısal dizilimine sahip olduğu bilim insanları tarafından kesin olarak tespit edilmiştir.
Yukarıdaki sayısal eğriyi aşağıdaki salyangoz kabuğuyla mukayese ettiğinizde salyangoz kabuğundaki bükümün sayısal dizilime göre artış gösterdiğini açıkça görebilirsiniz:
Notilus isimli deniz canlısında da Fibonacci dizilimi mevcuttur:
ABD’de yapılan bazı bilimsel konferanslarda bilim adamları, doğal olarak tabiatta oluşan hortumların da bu sayısal dizilime göre şekil aldığı konusunda ortak kanıya varmıştır.
Örneğin Amerika’da oluşan Irene isimli hortumun uydu görüntülerinde bu hesaplama yapılmış ve sayısal bir dizilime göre hortumun etrafa yayıldığı tespit edilmiştir:
Hortumlar genel olarak aynı özelliğe sahip olup, Altın Oran isimli Fibonacci spirali özelliğini taşımaktadır. Amerika’da oluşan hortumlardan bir diğer örnek de Sandy isimli hortuma aittir:
Fibonacci spirali bitkilerde de görülmektedir. Örneğin bir gülde altın oran spiralini görebilirsiniz:
İnsan kulağında da Altın Oran’ı görmek mümkündür. Aynı sayısal dizilim kulak içinde yer alan kulak salyangozunda da vardır. Kulak dışında yer alan Fibonacci spirali:
İnsan elinde eklem noktalarına göre hesaplanan Fibonacci spirali:
İnsan eli ve kolunda eklem noktalarına göre Fibonacci sayı dizilimini görmek mümkündür. El ve kolun uzunlukları arasındaki oran, Fibonacci sayılarının birbirine oranıyla (1,618) aynıdır:
Bilim insanları bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artışın bu dizilime göre sıralandığını keşfetmiştir. Bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artış 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 şeklinde devam eder:
İlginçtir, tabiattaki bitkiler de yaprak, dal veya yaprak dizilim oranları itibariyle Fibonacci dizilimine göre teşekkül eder. Hangi bitkinin kaç yaprak olduğu, yaprak sayılarının dizilişi belirli bir kurala göredir.
Hiçbir yaprak veya çiçek tesadüfen ortaya çıkmaz. Hatta bir ağaçta kaç dal olacağı, dalların nereden çıkacağı, dallar üzerindeki yaprak sayıları ve hangi düzene göre yerleşecekleri belirli bir sayısal kurala göre belirlenmektedir. Hiçbir şey tesadüf eseri ortaya çıkmamaktadır.
Doğadaki çiçekler de belirli bir düzene göre yaratılmıştır. Fibonacci diziliminde yer alan rakamlarla doğadaki çiçeklerin büyük bir çoğunluğunun yaprak sayıları birbirine uyum göstermektedir.
Örneğin papatyalar türlerine göre 13, 21, 34, 55, 89 yapraklıdır. Tek ve iki yapraklı çiçekler çok nadir olsa da en çok 3, 5, 8 ve 13 yapraklı çiçekler yaygınlık göstermektedir. Aşağıda 21 yapraklı papatya türü yer almaktadır.
Papatyaların ortasında yer alan başçık sayılarının dizilimi de Fibonacci dizilimi ile uyumludur.
Örneğin aşağıdaki görselde saat yönünde ve saat yönünün tersinde spiraller sayıldığında Fibonacci dizilimindeki 21 ve 34 sayıları çıkmaktadır. Yine bu iki sayının birbirine oranı 1,6 küsur Altın Oran değerine sahiptir.
Karnıbaharda yer alan ters yöndeki spiral sayıları da bu dizilimle uyum gösterir:
Kırımızı renkle belirtilen spiral sayısı 5, mavi renkle belirtilen spiral sayısı ise 8’dir. Her iki rakam da Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine olan uyum Altın Oran ile açıklanmaktadır.Brokolideki birbirine zıt yöndeki spiral sayısı 13 ve 21’dir. Bu rakamlar Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine oranı yine Altın Oran ile uyumludur.
13 spiral
21 spiral Çam kozalağında ters yöndeki spiral sayısı da Fibonacci dizilimi ile uyumludur:
8 spiral
13 spiralİşte bu uyum ayçiçeğinde de vardır. Sadece burada verdiğimiz örneklerde değil doğadaki tüm bitkilerde bu uyumu görebilirsiniz.
Fibonacci dizilimi çiçeklerin dal sayısında olduğu gibi ağaçların dal sayısında da aşağıdan yukarı Fibonacci dizilimi görülmektedir. Aşağıdaki grafikler bunu göstermektedir:
O kadar çok örnek var ki biz sadece bunları sizlerle paylaşmaya vakit bulabildik. Kim bilir daha keşfedilmeyi bekleyen nice mucizeler var… Tüm bunlar tabiattaki hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığını, her canlının kusursuz bir tasarım ile Allah tarafından yaratıldığını göstermektedir.
Yeni Matematik ve Sanat adlı kitabında , tarihçi Lyn Gamwell sanatçıların binlerce yıl boyunca çalışmalarında sonsuzluk, sayı ve form gibi matematiksel kavramları nasıl kullandıklarını araştırıyor. Burada kitabından matematik ile sanat arasındaki bağlantıları ortaya çıkaran on çarpıcı görüntüyü seçti.
Karl Gerstner’ın Saf Renk Polikromunun Detayı . Tam kredi için aşağıdaki tam resme bakın.
Sanat tarihi alanında yüksek lisans öğrencisiyken, soyut sanatla ilgili birçok açıklama okudum, ama onlar her zaman yetersiz ve yanıltıcıydı. Doktora programımı tamamladıktan sonra, biyoloji, fizik ve astronomi tarihini öğrenmeye ve modern sanatın bilimsel dünya görüşünün bir ifadesi olduğunu gösteren bir kitap yayınlamaya başladım .
Ancak birçok sanat eseri aynı zamanda zamanlarının matematiğini ve teknolojisini ifade ediyor . Matematik ve Sanatı araştırmak için matematik, grup teorisi ve yordam mantığı gibi matematik kavramlarını öğrenmek zorunda kaldım. Bu fikirleri anlamakta zorluk çeken bir acemi olarak, çoğu eğitim kitabındaki kalitesiz ve kafa karıştırıcı resimlerdeki içerikten etkilendim. Bu yüzden, kitabım için soyut kavramların kristal berraklığında görselleştirilmesi olan bir grup matematik şeması oluşturmaya söz verdim.
Manhattan’daki Görsel Sanatlar Okulunda öğretim görevlisi olarak, bu kitabı, tarihte hatırlayamadığı için tarihte asla iyi olmadığını söyleyen Maria ve lise başarısız olan Jin Sug için öğrencilerim için yazdım. cebir çünkü formülleri ezberleyemiyordu. Umarım bu kitabı okurlar ve tarihin bir hikaye kitabı olduğunu ve matematiğin büyüleyici fikirlerle ilgili olduğunu keşfederler.
İşte açıklamaları izleyen on resim:
Eric J. Heller (Amerikan, 1946 doğumlu), Transport VI, ca. 2000. Dijital baskı.
Tarih boyunca, bilim adamları, mikron cinsinden ölçülen minik “manzaraların” tepeleri ve vadileri boyunca akarken, elektronların attığı yollar gibi doğada matematiksel desenler keşfettiler (bir mikron metrenin bir milyonda birine eşittir). Bu dijital baskıdaki elektron yolları, büyük ve küçük ölçeklerde hileli dalgalar (ucube dalgalar, katil dalgalar) üzerinde çalışan Eric J. Heller tarafından kaydedildi. Bir elektron dalgası bir bilgisayar içinden aktığında, yarı iletken bir ucube dalgası cihazın aniden düzgün çalışmasını tehdit edebilir.
Jim Sanborn (Amerikan, 1945), Kilkee County Clare, İrlanda , 1997. Geniş formatlı projeksiyon, dijital baskı, 30 x 36 inç (76,2 x 91,4 cm).
Batı matematiği, soyutlamayı ve genellemeyi artırarak ilerler. Rönesans’ta İtalyan mimar Filippo Brunelleschi, geometrik objeleri belirli bir bakış açısıyla bir “resim düzlemi” üzerine yansıtmak için bir yöntem olan doğrusal perspektif icat etti. Üç asır sonra Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet, devrilen veya döndürülen uçaklar için projektif geometriye bakış açısını genelleştirdi. Daha sonra, yirminci yüzyılın başlarında, Hollandalı LEJ Brouwer, Poncelet’in projektif geometrisini, düzlemin sürekli kalması koşuluyla (delik veya gözyaşı olmadan) herhangi bir şekilde (lastik tabaka geometrisi olarak adlandırılan) gerilmiş veya çarpık yüzeylere projeksiyonlara yaygınlaştırdı; bu fotoğrafın konusu. Çağdaş sanatçı Jim Sanborn, geceleri yaklaşık 1/2 mil uzaklıktaki büyük bir kaya oluşumuna eşmerkezli çemberler düzenini yansıtarak yarattı. Daha sonra bu fotoğrafı ayın doğusundaki uzun pozlamada çekti.
Reza Sarhangi (İran doğumlu Amerikalı, d. 1952) ve Robert Fathauer (Amerikan, d. 1960),Būzjānī’ın Heptagon, 2007. Dijital baskı, 13 × 13 inç (33 × 33 cm).
Öklid ve Ptolemy gibi eski Yunan matematiği bilgisi ortaçağ Batı’sına kaybedilmiş, ancak İslam alimleri yazılarını Arapça çevirilerde korumuşlardır. Dokuzuncu yüzyılda halifeler, matematik ve felsefe alanındaki yabancı metinleri edinmeleri ve çevirmeleri için Bağdat’ta Bilgeliğin Evi’ni kurdular. Ptolemy’nin on üç cilt çalışması bugün verdikleri adla, Almagest (“en iyisi için Arapça” olarak bilinir ).
İki çağdaş matematikçiler, Rıza Sarhangi ve Robert Fathauer İslami matematikçi saygı, o pratik bir metin yazdı Bilgelik, Evi’nde çalıştı Ebu’l-Vefâ el-Bûzcânî (AD 940¬-98), Geometri olanlar Parçaları günü Esnaf tarafından gerekli . Bu baskının ortasındaki normal bir heptagonun (yedi eşit kenar ve açılı çokgen) nasıl inşa edildiğini gösterdi. Heparenin çevresi Sarhangi ve Fathauer, Buzjani’nin ismini Farsça, Farsça (Farsça) (modern İran) yazdı.
Robert Bosch (Amerikan, d. 1963), Knot? 2006. Dijital baskı, 34 × 34 inç (86,3 × 86,3 cm).
On dokuzuncu yüzyılda demiryollarının gelişmesiyle birlikte, bir seyahat için en uygun rotayı bulma konusu pratik bir ilgiydi. Konu, matematik literatürüne 1930 yılında girdi ve Viyana matematikçi Karl Menger, bunu optimal bir teslimat yolu bulmanın “haberci problemi” ( das Botenproblem ) olarak tanımladı . Yakında “seyahat eden satıcı problemi” olarak adlandırıldı: şehirlerin listesi ve her bir çift arasındaki mesafeler göz önüne alındığında, her şehri bir kez ziyaret eden ve menşe şehirine geri dönen en kısa rotayı bulun.
Amerikalı matematikçi Robert Bosch, bu sürekli çizgiyi, seyahat eden satıcı probleminin 5000 şehirli örneğinin çözümüne dayanarak çizdi. Bir mesafeden, baskı bir Celtic knot şeklinde gri bir arka plana karşı siyah bir kordon tasvir ediyor görünmektedir. Ancak yakın incelemede, görünen “gri” aslında siyah bir arka plan üzerinde hareket eden sürekli beyaz bir çizgidir. Beyaz çizgi hiçbir zaman kendi kendine geçmez – düğümden ziyade bir ağdır – ve bu yüzden başlığın cılız cevabı “Değil” dir.
Karl Gerstner (İsviçre, 1930), Saf Renklerin Polikromu , 1956-58. Yazıcının mürekkebi pleksiglas, 1 1/4 × 1 1/4 inç (3 × 3 cm) küplerde. krom kaplı metal bir çerçeveye sabitlenmiş, 18 7/8 × 18 7/8 inç (48 x 48 cm) adet.
1905’te Albert Einstein kütle ve enerjinin simetrisini keşfetti – kütle enerjiye dönüştürülebilir ve bunun tersi de (E = mc2). Sonra yirminci yüzyılın başlarında, Einstein da dahil fizikçiler ve matematikçiler Zürih’te toplandılar ve doğa simetrisini araştırırken grup teorisini kullandılar.
Gerstner gibi İsviçreli sanatçılar, simetri açısından doğanın bu matematiksel tanımları ile rezonans eden desenler yarattılar. Matematikçiler gibi, bu sanatçılar da temel estetik yapı taşlarını (renk ve biçim birimleri) kurdular ve onları oran ve dengeyi koruyan kurallar kullanarak düzenlediler.Advertisement
1956’da Gerstner, modüler bir sistem tasarladı – 28 grupta 196 tonlu hareketli bir palet. Gerstner’ın 196 kareden oluşan paleti, her biri 7 kareden oluşan 28 gruba sahiptir. Burada, sanatçının matematikçinin terimlerini kullanarak tanımladığı sayısız olası düzenleme vardır: gruplar, permütasyonlar, algoritmalar ve değişmezlik.
Karl Gerstner (İsviçre, 1930), Saf Renklerin Polikromu , 1956-58. Yazıcının mürekkebi pleksiglas, 1 1/4 × 1 1/4 inç (3 × 3 cm) küplerde. krom kaplı metal bir çerçeveye sabitlenmiş, 18 7/8 × 18 7/8 inç (48 x 48 cm) adet. Karl Gerstner (İsviçre, 1930), Saf Renklerin Polikromu , 1956-58. Yazıcının mürekkebi pleksiglas, 1 1/4 × 1 1/4 inç (3 × 3 cm) küplerde. krom kaplı metal bir çerçeveye sabitlenmiş, 18 7/8 × 18 7/8 inç (48 x 48 cm) adet. Karl Gerstner (İsviçre, 1930), Saf Renklerin Polikromu , 1956-58. Yazıcının mürekkebi pleksiglas, 1 1/4 × 1 1/4 inç (3 × 3 cm) küplerde. krom kaplı metal bir çerçeveye sabitlenmiş, 18 7/8 × 18 7/8 inç (48 x 48 cm) adet. Karl Gerstner (İsviçre, 1930), Color Spiral Icon x65b, 2008. Alüminyum üzerine akrilik, çapı 41 inç (104 cm). Esther Grether, Basel, İsviçre topluluğu.
Doğal dünyanın en derin seviyelerine dair bilimsel görüşler, sanatçının Karl Gerstner’in bilim ve teknolojinin laik çağı için bu dairesel “simge” ile sembolize ettiği simetriye dayanan açıklamalardır. En simetrik geometrik form bir küredir (üç boyutlu uzayda bir noktadan eşit olan tüm noktalar). Yirminci yüzyılın sonlarında, bilim adamları, evrenin plazma alanına yayılan bir nokta olarak mükemmel simetriye başladığı sonucuna vardılar. Bebek evreni genişledikçe, ilkel küre soğutulur ve ilk parçacıkları, sonra atomları, gaz bulutlarını ve yıldızları oluşturmak için plazmadan madde yoğunlaşır. Bir noktada evrenin orijinal simetrisi bozuldu; Ortaya çıkan asimetriler, evrim sırasındaki mutasyonlara benzer rastgele kaymaların sonucu olarak görünmektedir.
Simon Thomas (British, d. 1960), Planeliner, 2005. Boncuk paslanmaz çelikten, 23 5/8 inç (60 cm) çapta püskürdü. × 2 1/4 inç (5.55 cm) yüksekliğinde.
Simon Thomas, bu heykel gibi eserleri matematiksel bir formülün görselleştirmesi olan genç bir İngiliz sanatçı. 1980’lerde Londra’daki Kraliyet Sanat Koleji’nde görsel sanatlar okudu ve çarpıcı fizik desenleriyle heykel yapmaya başladı, Bristol Üniversitesi’nde ikamet eden sanatçı olarak görev yaptı, ikisi de fizik bölümünde (1993–95). ve matematik (2002).
Matematik ile sanat arasında ortak olan nedir? Bazı insanlar bu iki disiplini tanımla uyuşmaz olarak görürler. Diğer matematik bkz içinde en azından, geometri ve perspektif gibi alanlarda, teknikte. Ancak, bu bağlantının, herhangi bir disiplin ve uygulayıcıları tarafından kullanılan araçlar arasında olduğundan daha önemli olmadığı söylenebilir. Örneğin, kimse elektroniği olduğunu savunuyor içinde birçok yazar elektronik bilgisayar kullanıyor çünkü literatürde. Öte yandan, bazı insanlar “güzel” bunları yayınlama ve sanat olduğu bu dan çıkarmak, karmaşık geometrik biçimler ya da şekiller bakmak içinde matematik.
Bununla birlikte, bu makalede, bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini ve nasıl ilişki kurabileceklerini incelemek için biraz daha derine inmeye çalışacağım.
Güzellik ve oran
Eski Yunanlıların zamanından beri ve muhtemelen daha önce, sanatçılar güzellik kavramında orantılı olarak oynadıkları merkezi rolü fark etmişlerdir. Ve orantı matematiksel bir kavram olarak, kendini resmi tanımlara borçludur.
Öyleyse, oranla ilgili bazı temel estetik görevleri düşünelim.
İlk görev, bir çizgi parçasını ikiye bölmektir, böylece daha küçük iki parça birbiriyle ‘hoş’ bir ilişki kurar.
Bunu nasıl yapabiliriz? Segmenti iki eşit parçaya bölebiliriz (1: 1 oranında veya “bire bire”). Biraz fazla açık? Çok sıkıcı? Ya bir bölüm diğerinden iki kat daha uzun olacak şekilde bölüştürsek (2: 1 veya 1: 2 oranı)? Belki de bu, parçaları boyut olarak çokfarklı kılar . Belki 2: 3 veya 3: 2 oranında bölebiliriz?
Bunun gibi bir görev, her ne kadar basit gözükse de, ufkunun nereye yerleştirileceğini düşünürken her peyzaj sanatçısı ile yüzleşen şeydir.
Mı ideal cevap var? Muhtemelen hayır, hepimizin biraz “hoş” ve “güzel” kavramlarına sahip olduğumuz göz önüne alındığında. Ancak, orada olduğu çok özel özellikleri olan bir oran, yüzyıllar boyunca birçok sanatçı bazen farkında olmadan, desteklenmiş oldu. Bu oran şu şekilde tanımlanır: Daha uzun mesafeye bölünen kısa mesafe, bütün mesafenin bölündüğü daha uzun mesafeye eşittir .
İlgili bir görev, en hoş oranlara sahip bir dikdörtgen oluşturmaktır.
Çözüm, belki de çok açık bir şekilde, her iki tarafın eşit olması, diğer bir deyişle bir kare yaratılmasıdır. İki bitişik tarafın oranı 1: 1’dir.
Üçüncü görev daha karmaşık ve ilginç: bir dikdörtgeni yaratın, böylece onu ortadan ikiye bölerek orjinaliyle aynı oranlarda (ancak 90 derece döndürülmüş) iki dikdörtgen oluşturun.
Bu görevin çözümü standart kağıt boyutlarımız için temel teşkil ediyor: A3, A4, A5, A6 vb. Ve oran √2: 1 (yaklaşık 1.414: 1).
Dördüncü ve son görev bir dikdörtgen oluşturmaktır, böylece bir kareyi bir uçtan çıkarmak orijinaliyle aynı oranda daha küçük bir dikdörtgen oluşturur.
Joshua Reynolds James, 7. Lauderdale Coll Başkanı . NSW Sanat Galerisi
Alan aşağıda taç oturduğu çıkıntıya bir kare. Alan üzerinde çıkıntının tüm boyama aynı oranda bir dikdörtgendir.
Görünen o ki, bu sorunun son çözümü aslında ilk sorunumuzun son çözümü ile aynı. Ve bu oran yaklaşık olarak 1,618: 1’dir. Kesin değeri (oldukça basit cebir ile kanıtlanabilir ) √5-1: 2’dir. Kendi özel adı vardır: altın oran. Hatta kendi matematiksel sembolü de var: Φ (Yunanca phi harfi ) .
Çoğu sanatçı, bir sanat eserinin, özellikle de kompozisyonunun önemli bileşenleri olarak ilişkilerin ve özellikle oranın (matematiksel olarak hesaplanmış bir oran olmasa da) önemini kabul eder. Ancak bazı sanatçılar için oran her şeydir ; başka bir şey bir dikkat dağıtıcıdır. Bu tür sanatçılardan biri Piet Mondrian. Mondrian’ın olgun stilinde (tipik olarak beyaz, kırmızı, sarı ve mavi, kalın, siyah çizgilerle birbirine kenetlenmiş dikdörtgenler), her resim tüm dünyanın bir temsilidir (veya “damıtma”) . Şimdi Mondrian sadece bu şekilde çalışmaya başladı. Daha önceki çalışmalarına bakarsanız, yirminci yüzyılın ikinci on yılı boyunca, bireyin generaline giderek yavaş yavaş hareket ettiğini, şeylerin “özünü” ararken göreceksiniz. Bu, teknikte soyutlama veya daha genel olarak indirgemecilik olarak bilinir. İndirgemecilik, kaosun düzene ve karmaşıklığın sadeliğe dönüştürüldüğü anlamına gelir .
Biraz sonra göreceğimiz gibi, bazı sanatçılar sıradan kaosa kadar ters yönde seyahat etmeyi tercih ediyor .
Matematik nedir?
Bir dizi matematikçiye “Matematik nedir?” Diye sorsanız, muhtemelen birçok cevap alırsınız. Bununla birlikte, çoğu, iki temel görüşden birine düşecektir. Biri matematiksel “nesnelerin” bizim hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğunu söylüyor. Diğer görüş, matematiksel bir “nesne” diye bir şeyin olmadığını ve matematiğin, sembollerin kuralların sistemlerine , matematikçilerin icat ettiği sistemlere göre manipüle ettiğini söylüyor . İlk görüşe “Platonizm” denir (Platon’dan sonra, günlük yaşamda yaşadığımız gerçekliğin ardında kusursuz bir formun olduğuna inanan Plato’dan sonra) ve ikincisine “formalizm” denir (çünkü matematiği biçimsel bir sistem olarak görür) . Platonistler sık sık keşfettiklerini söylerler matematiksel teoremler, formalistler sıklıkla sadece sembollerle oynadıklarını söyleyeceklerdir.
Zaten sanat ile paralellikler var. Bazı sanatçılar (örneğin Piet Mondrian veya Kasimir Malevich), yarattıkları görüntüleri, bazı gerçeklerin veya ilkelerin tezahürü olarak görür ve bu yüzden eserleri mümkün olan en gerçek gerçekleri mümkün olduğunca açıklayana kadar, daha fazla damıtmaya çalışacaktır. Diğer sanatçılar (Andy Warhol gibi) sanatın dilini sanatın konusu olarak görür , bu yüzden eserleri sembollerin “anlam” yarattığı bir dizi deney haline gelir .
Sistemden çıkma
Matematiğin (ve bilimin) özü ne soruyor ? ya da nasıl? ya da kaç? (en azından sadece bu sorular) ama neden?
Neden bir sistemden geri adım atıp atmadığını sormak – sistemin arkasındaki sistemi veya başka bir deyişle “meta sistem” i görmek. Ancak, elbette, eğer bir meta-sistem varsa, bir meta-meta-sistemi olmalı, vb. (Açıkçası, bu “sistem dışına adım atmanın” önemi, bir Platonist ve bir Formalist için farklı olacaktır.)
Bu aynı zamanda ilginç bir felsefi soru ortaya koyuyor (neredeyse teolojik bir soru): tüm sistemlerin arkasında bir “Büyük Sistem” var mı , yoksa “tamamen kaplumbağa” mı ?
Rene Magritte La koşulu humain, 1933 Coll. NGA, Washington, DC
Sanatta olduğu kadar matematiğin seviyelerini de karıştırdığımızda bazı ilginç sonuçlar ortaya çıkıyor. Örneğin, Belçika Sürrealisti Rene Magritte’nin bu resmini göz önünde bulundurun:
Burada çalışan semiyotik “şaka” nedir (yani, semboller ve anlam hakkında bir şaka)? Temsil ve “gerçeklik” arasında bir fark olmadığı, çünkü tuvaldeki görüntüyü (resimdeki şövale üzerinde) tanımlayan boya, binaları veya çimleri tanımlayan boyadan daha az gerçek değildir.
MC Escher Baskı Galerisi 1956 Coll. NGA, Washington, DC
Şimdi bu çalışmayı Hollandalı sanatçı MC Escher tarafından düşünün:
Dikkatli bakarsanız, kentin, galeri içeren, resmi içeren kenti “içeren” resmi içeren galeriyi içerdiğini göreceksiniz.
Bunlar gerçekten paradokslar ve biz onların garip olduklarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, her zaman bir seviye veya anlamdan diğerine geçiyoruz. Örneğin, daha önce şunu yazdım: “Bu yazıda… bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini incelemeye çalışacağım.” Başka bir deyişle, yazımda, makalenin kendisine atıfta bulundum!
Seviyeler arasında geçiş yapan bu ‘yasadışı’ normalde bir sorun değildir, fakat matematik ve mantıkta bunun gibi bulanıklıklar paradokslara yol açabilir. Bunlar bakış açınıza bağlı olarak çıldırtan veya büyüleyici olabilir. Birkaç mantık paradoksuna bir göz atalım. Saçma etkilerini sindirmek için biraz zaman ayırın.
İlk (ve en basit) kendini referans kullanır :
Bu ifade yanlıştır.
İkinci döngüsel referans kullanır :
Aşağıdaki ifade yanlıştır. Önceki ifade doğrudur.
Üçüncü, sonsuz kümülatif referans kullanır :
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. … vb.
Paradokslar ve küme teorisi
Birçok matematiğin inandığı bir matematiğin matematiğinin temeli olduğuna karar verilir. Bir anlamda, küme teorisi çok basittir (bu yüzden ilkokul / ilkokullarda öğretilmiştir); yine başka bir anlamda çok derin.
Bir küme basitçe “şeyler” topluluğudur. İşte bazı set örnekleri:
C: Sizinle aynı odadaki bütün insanların kümesi.
B: Sizinle aynı odada olmayan , şimdiye kadar yaşamış olan tüm insanların seti .
C: Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 numara ve Bach’s G on Air’den oluşan set .
D: Evrende Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 sayısı ve Bach’ın G’deki Havası dışındaki her şeyden oluşan set . (diğer setler dahil!). Bu “C değil” olarak tanımlanır ve “~ C” ile yazılır.
E: Set A ile birleştirilen Set A’dan oluşan set Bu, “A ve D birliği” olarak tanımlanır ve “A ∪ D” olarak yazılır.
F: Aynı zamanda Set D’ye ait olan A Grubu üyelerinden oluşan set, bu A ve D’nin kesişimi olarak tanımlanır ve “A ∩ D” yazılıdır.
Biz muktedir gerekmez Not saymak üyeleri, üyeler fiziksel nesneler olmak zorunda değildir ve üyelerin bir kümesi haline gruplandırdık olmasına daha yaygın diğer bir yönleri gerekmez. Tek şart, üyelerin (veya unsurların) iyi tanımlanmış olmasıdır .
İşte küme teorisine dayanan başka bir meraklı paradoks: Bir kümeyi tanımlayın: tüm kümelerin kümesi. Buna “U” (“evrensel” için) diyeceğiz. Eğer U bütün kümelerin kümesiyse, açıkça kendisinin bir üyesi olmalıdır. Do bütün setleri set: Artık başka kümesi tanımlamak değil kendilerini içerir. Buna “X” diyeceğiz. Soru şudur: U, X grubunun bir üyesi mi? Cevap evet olsaydı, o zaman bu U olduğu anlamına gelir değil cevap hayır, o zaman bu U anlamına geleceğini olsaydı X üyesi olan X üyesi! Paradoksun kaynağı sadece görünüşte iyi tanımlanmış bir küme (X) oluşturmak için kelimeler kullanmamızdır ; o görünüyor iyi tanımlanmış olması ama değil .
Escher Baskı Galerisi , temelde set teorisi paradoksuna ilişkin bir resimdir.
krizler
Matematiğin tarihi ve evrimi, sanat eseri gibi, bir dizi krizle işaretlendi: daha önce kabul edilmiş ilkelerin devrilmiş olduğu zamanlar.
“Matematiğin” ilk kullanımı nesneleri (muhtemelen mülkleri) saymaktı. Yani sayılar şunlardı: “1, 2, 3, 4,…” vb. Teorik olarak en büyük sayı yoktu, ancak pratikte sayılacak çok şeyin olması olasılığına göre belirlendi. Sonra kesirler tanıtıldı. Bu tam bir kriz değil, kesinlikle kavramsal bir sıçramaydı. İlk defa insanlar turtaları bir grup insan arasında adil bir şekilde bölebilirdi!
Sıfır
İlk gerçek kriz sıfırdı. Sıfır olmadan, bildiğimiz matematik (yani, sırasıyla X ve C yerine 10’u 100, 100’ü 100’ü temsil eden yer-değer sistemi) imkansız olurdu.
Peki neden sıfır bir krizdi? Bu kısmen karışıklıktı (“hiçbir şey” nasıl olabilir? ”) Ve kısmen korku – büyük bilinmeyen,“ uçurum ”.
İşte ‘sıfır uçurum’ sorununu ele alan bir sanat eseri örneği:
Kapoor’un Boşluk alanı , her biri üstte otuz santimetre açıklığa sahip dört büyük Cumbrian taş bloğundan oluşur. Her bloğun içi o kadar karanlık ve yansımasız ki, sadece deliğin ne kadar derin olduğuna bakarak bilmek imkansız. Aslında sonsuz bir şey olmaz.
Olumsuz sayılar
Negatif sayılar, diğer şeylerin yanı sıra finansal işlemlerin (alacakları ve borçlarıyla) mümkün olmasını sağlamıştır. Yine de ilk tanıtıldıklarında krize neden oldular. Niye ya? Bunun nedeni, temel “sayı” kavramını genişletmeleridir. Sayı, başlangıçta iki küme arasında bire bir yazışma anlamına gelir: sayılacak nesne kümesi ve soyut bir ‘birim’. Peki eksi 5 koyunu nasıl alabilirsin?
Bu konstrüksiyona Rus Yapılandırmacı Naum Gabo tarafından bak.
Bu etki genellikle “negatif alan” olarak adlandırılır; ancak, negatif eğrilik olarak daha doğru tanımlanır (dışbükey yerine içbükey).
Normalde heykelde, pozitif ve negatif eğrilik (örneğin, Henry Moore’un çalışması) arasında bir denge vardır, ancak bu heykelde (ve Rus Yapılandırmacılar tarafından pek çok kişi) negatif eğrilik egemendir ve uzayın döndüğü izlenimini verir. tersyüz.
İrrasyonel sayılar
Kare bir birimi bir birim hayal edin. Pisagor, köşegenin birimlerindeki uzunluğun, kareye girdiğinde ikiye eşit olan bir sayı olduğunu kanıtlamıştır (yani is2).
Bu neden bir krizdi? Matematikçiler bir zamanlar her sayının iki tam sayının oranı olarak ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Bu nedenle, örneğin 3 = 3/1 ve 3.127 = 3127 / , 1000 . Bu, ölçümün temelidir: örneğin, bölümler ve alt bölümlerle işaretlenmiş bir çubuğu kullanarak uzunluğu ölçersiniz. Fakat çok fazla zorluk çekmeden 5 , kare olduğunda 2 veren hiçbir p / q (p ve q’nin tam sayıları olduğu) olmadığı kanıtlanabilir . Sonuç olarak, bir mesafeye – veya herhangi bir miktara sahip olabilirsiniz. – bu asla tam olarak ölçülemez, çünkü kesir olarak ifade edilemez. Bu sayılara ‘irrasyonel’ denir, çünkü oran olarak ifade edilemezler.
Öklid dışı geometri
Euclid’in beşinci geometri aksiyomu 6 aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir. Bir çizgiye (L) ve o çizgide (P) olmayan bir noktaya sahipseniz , orijinal çizgiye paralel olan bu noktadan geçen bir çizgiyi çizebileceğinizi belirtir. (Bu elbette her şeyin tek bir düzlemde olduğunu varsayar.)
Öklid dışı geometri, bu aksiyomu doğru olarak kabul etmeme üzerine kurulu bir sistemdir . Normal (Öklid) geometride, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamı her zaman 180 derecedir. Gelen olmayan -Euclidean geometri, ancak, toplam fazla 180 derece veya en az 180 derece olabilir. Her ne kadar ‘ortaklaşa’ ile çelişseler de, bir sistem olarak kusursuz bir şekilde tutar, yani hiçbir zaman iç çelişkilere yol açmayacak demektir.
Öklid dışı geometrinin bir kriz olmasının nedeni, negatif ve irrasyonel sayılardan açıklamak zordur, ancak Euclid’in beş aksiyomu yüzyıllardır geometrinin temeli olmuştur. Ayrıca, “ispatlara dayanma, ispatlara dayanma vb. Aksiyomlara dayanma ispatları” sistemi, matematiğin bütününün nasıl işlediğinin modeli olmuştur. Öklid dışı geometri aksiyomların mutlaklığına meydan okudu veya reddetti.
infinitesimals
Sonsuz sinyaller, sıfırdan büyük, diğer pozitif sayılardan küçük miktarlardır. Birçok matematikçi hala mantıksız sayılsa da, asırlarca kullanılan matematiğin temeli budur. Bu bir paradoksun tam tersidir: “Çalışmamalı” olmalı, ama işe yarıyor!
Kasimir Malevich’in Suprematist Kompozisyonu: Beyaz Üzerine Beyaz , “sonsuz” bir tabloya benziyor: elde edebileceğin kadar zor ama yine de resme denebilir.
Hayali (ve karmaşık) sayılar
Pozitif sayıyı karelendiğinde pozitif bir sayı elde edersiniz (örneğin 4 x 4 = 16); Eğer negatif bir sayı karesini aldığımda, sen de pozitif bir sayı elde (örn -4 x -4 = 16), iki olumsuzluk ‘birbirini iptal’ çünkü. Öyleyse, herhangi bir sayının karesi daima pozitifse, negatif bir sayının karekökü nasıl olabilir? ‘Gerçek’ sayılarla olamaz. Ama ya yapabileceğimizi hayal edersek; ya -1 karesinin “i” (“hayali” için) olduğunu söylesek? Eğer yaparsak, o zaman i 2 = -1 ve √-4 = 2i.
Rakamları “hayali” veya “gerçek” olarak tanımlamak, bir tür hiyerarşi veya değer yargısı olduğu anlamına gelir. Şimdi matematikçiler isimlerin mantıksız ve keyfi olduğunu itiraf ediyorlar, ancak isimler sıkışmış ve uygun 7 . Aslında, gerçek ve hayali sayılar “karmaşık sayılar” oluşturmak için de birleştirilebilir (örn. 3i + 7).
Sonsuz sayılar
Matematikçiler uzun zamandır sonsuzluk kavramını (“mümkün olan en yüksek sayı” diye bir şey yoktur) ve daha yakın zamanda sonsuz ölçekleri kabul etmişti. Bununla birlikte, bir sonraki kriz, çeşitli sonsuz sayıların olduğu kavramıydı.
Kendine şu soruyu sorabilirsin: “Bir sonsuzluk diğerinden nasıl daha büyük olabilir?”
Bu tabloyu rasyonel sayılar veya kesirler olarak düşünün:
Göstergelerin (kesirlerin üstündeki sayıları) ızgara boyunca her adım attığımızda birer bir arttığını ve indikatörlerin (en alt sayıları) her indiğimizde bir arttığını göreceksiniz. Dolayısıyla, ızgara sonsuza kadar aşağı ve yukarı uzatılırsa, her rasyonel sayının en az bir kez listelenmesi gerekir. Postacı olsaydınız ve ızgaradaki her kesime posta yollamak zorunda kalsaydınız, hangi yolu izlerdiniz? İlk önce üst sıraya geçmek iyi olmaz çünkü bir sonraki sıraya asla geçemezsiniz. Aynı şekilde soldaki sütun için. Çözüm aşağıda mavi olan gibi bir yol izlemektir:
Gösterilen bu yolu izleyerek, belirtilen herhangi bir rasyonel sayıya ulaşılabilir – en sonunda, kesin bir adım adımdan sonra. Bu, rasyonel sayılar kümesinin “sayılabileceği” anlamına gelir, çünkü herhangi bir üye için tam sayılar kümesinin karşılık gelen bir üyesi vardır. Bu birebir yazışmalara bazen “haritalama” denir.
Tam sayılar kümesiyle eşleştirilebilen sonsuzluğa ℵ 0 denir (telaffuz edilir) (Aleph null). Buna sonsuz sayı teorisinin öncüsü Georg Cantor deniyordu.
Umarım merak ediyorsundur, ℵ 0 bariyerinden daha büyük sonsuz bir sayıya geçebilir miyiz ?
0 ile 1 arasında, ondalık olarak ifade edilen benzersiz gerçek sayıların bir listesini derleyelim. Bunlar rasyonel veya mantıksız olabilir. İşte her bir numara için ilk dokuz ondalık basamağı gösteren böyle bir listenin başlangıcı:
Onlar sonsuz seride olduğundan, ℵ vardır 0 tanesi. Bununla birlikte, bir oluşturabilir yeni (3), ve benzerleri r (1), r, ikinci basamak (2), üçüncü basamak r ilk rakamı kullanılarak, fakat (her zaman ilave basamak sürece numarayı 9, bu durumda 0 olur). Yani, bu örnekte, köşegenin altındaki kalın rakamları takip ederek , .138209129… Sonra bir tane ekleyerek, .249310230 elde ettik… Bu, serimizdeki mevcut sayıların hiçbirine eşit olamaz çünkü en az birinde farklılık gösterir. her birinin ondalık basamağı. Bu, iki set arasında bire bir yazışma olamayacağını gösterir. Bu nedenle sıfır ile bir arasında daha gerçek sayılar vardır. tüm sayılar!
Bu yüzden, ℵ 1 (“aleph one”) adı verilen sonsuz sayıda daha büyük veya “daha yüksek bir düzen ” olmalıdır. Aslında bundan daha büyük sonsuz sayılar vardır.
Nihai kriz (ve en derinine kadar), sonsuz sayı teorisinden dolaylı olarak ortaya çıktı.
Eksiklik teoremi
Tam sayıların sayısının ℵ 0 , gerçek sayı sayısının ℵ 1 olduğunu belirledik . Bazı matematikçiler merak ettiler, ℵ 0 ve ℵ 1arasında sonsuz bir sayı var mı? 1878’de Cantor, ‘önsezisinin’ (ya da hipotezinin) olmadığını söyledi. Bu Devamlılık Hipotezi olarak bilinir. Altmış yıl boyunca matematikçiler bunu ispatlamak ya da ispatlamak için çabaladılar. Nihayet, 1938’de Alman matematikçi Kurt Gödel (“kuşak” olarak telaffuz edildi) Continuum Hipotezinin (CH) set teorisi ile tutarlı olduğunu kanıtladı , ancak kanıtlanamaz (yani hiçbir zaman bir çelişkiye yol açmayacak). Ama sonra, aynı Continuum Hipotez tersi için de geçerlidir (oradaki yani olduğu ℵ 0 ile ℵ 1 arasında en az bir sonsuz sayı ).
Peki hangisini kabul etmeliyiz? Cevap, ister inan ister inanma … ya! Ancak , CH’nin doğru olduğunu varsaymak daha kolaydır. “ Occam’s Razor ” olarak bilinen prensip budur (“İki karşıt teori varsa ve kanıtlanamaz veya ispatlanamazsa, daha basit olanı kabul et”).
Gödel, ispat etme ispatını genelleştirmeyi başardı: “Sayı teorisi ile ilgili olan ancak sayı teorisi sistemi ile tutarlı olan ancak kanıtlanamayan ifadeler var.”
Bu, Heisenberg’in fizikteki ünlü belirsizlik ilkesi 9 ile ilgilidir . Belirsizlik ilkesi ve kaos teorisi, evrenin kuantum doğası ile ilgilidir. Ama elbette, matematiğin soyut alanının bundan bağışık olduğunu düşünebiliriz! Görünüşe göre öyle değil.
Gödel, Platonculuk ile Formalizm arasında fazladan bir kama sürdü: Platonistler teorisine “Biçimsel sistem çok zayıf” diyerek yanıt verdi: Biçimciler, “Platonist görüş anlamsızdır, çünkü aksiyomlar keyfidir.”
Sanatta Krizler
Sanattaki ilk krizin ne olduğunu söylemek çok zor . Matematiğe kıyasla, sanatın amacı ve dolayısıyla tanımı, özellikle tarih öncesi, sanatta çok daha az açıktır. Bununla birlikte, şimdi anlayabildiğimiz gibi, sanatla ilgili üç kriz, görelilik, nesne özerkliği ve belirsizliktir.
izafiyet
İzafiyete inanmak, bir konunun gerçek ve nesnel bir temsilini yapmanın mümkün olduğu fikrini reddetmektir.
Sienalı sanatçı Sano di Pietro, Meryem Ana’yı, bebek İsa’yı, sanki hepsi cennetteymiş gibi altın varaka karşı çeşitli azizleri ve melekleri temsil ediyor. Meryem’in solundaki aziz, Mukaddes Kitaba göre İsa ile aynı zamanda doğmuş olan vaftizci Yahya’dır.
Figürlerini mimari bir ortama yerleştirerek ve nispeten yeni bir lineer perspektif tekniğini kullanarak, Floransalı Rönesans sanatçısı Raphael, konuya göre uzayda konumunu tanımlar . Şu an oradaydı, şu an Mary ve İsa’nın enthroned olduğu. İronik olarak, sanatçı hayal gücünden bir sahne oluşturmak için “Ben bu olaya tanık oldum” yazan bir teknik kullandı.
Bununla birlikte, sanattaki görelilik sadece alan ve zamanla sınırlı değildir . Aşağıdaki iki sanat eserini düşünün:
İzlenimci sanatçı Claude Monet, belirli bir zamanda, belirli bir günde, bu samanlıklara bakarak yaşadığı duyumları anlatıyor. Işık ve atmosferin etkileri konuya ilişkin algısını etkiledi .
Özetlemek gerekirse, sanattaki görelilik, dünyaya göründüğü gibi göründüğü gibi sunuluyor .
Nesne-özerklik
Sanatçılar, konularını göründüğü gibi tanımlamak için doğrusal perspektif kullanmayı öğrendikten sonra, resimler sanal pencerelerde ‘pencere’ çerçeveleriyle tamamlandı. Buna karşılık, birincisi sanat tarihine geri döner, genel olarak konuşursak, görüntü konu ile ne kadar çok özdeşleşirse, neredeyse sihirli bir şekilde (örneğin Mısır mezar resmi).
Bu resmi düşünün, Fransız on yedinci yüzyıl sanatçısı Claude Lorrain:
Resim, hayali (ve idealize edilmiş) bir dünyaya baktığımız yanılsamasını yaratır. Tekniğin çok iyi olması gerekiyor, çünkü fırça darbelerini görebilirsek “illüzyon balonu” patlar; Bir filmde bir mikrofon patlaması görmek gibi olurdu.
Paradoksal olarak, birçoğunun modern sanatın habercisi olduğuna inandığı sanat hareketi – Empresyonizm – görelilik krizine ve bu “illüzyon gibi imaj” sözleşmesine meydan okuyan bir krize dahil oldu.
Monet, Grainstack, sisin içinde güneşin resmine bakın . Bu düşük çözünürlükte bile (veya orijinalinden beş metre uzaklıkta), fırça darbeleri açıktır. Birçok insan Empresyonist resimlerin çok uzaklardan görülmesi gerektiğini söylüyor, çünkü o zaman “neye benzemesi gerektiğini” görebilirsiniz. Ancak bu, Empresyonistlerin niyetini yanlış anlamaktır. İzlenimci sanatçılar büyük, kalın fırça darbeleri (bazen bir palet bıçağıyla yapılan işaretler) ve kırılmış, yüksek yoğunluklu renkler kullandılar. İzleyicinin resimlerini on dokuzuncu yüzyıl resimlerine benzeyecek kadar uzağından izlemesi gerekiyorsa ne olurdu?
Empresyonist resimlerin çağdaş izleyicilerinden biri, Rus Vasili Kandinsky idi. Burada muhtemelen yukarıda gösterilene benzemeyen bir Monet’le (bir samanlık resmi) ilk karşılaşmasını hatırlıyor.
“Katalog bana saman yığını olduğunu açıkladı. Tanıyamadım. Bu tanıma eksikliğinden utandım. Ayrıca ressamın belirsizce resim yapma hakkının olmadığını da hissettim. Nesnenin eksik olduğu konusunda sıkıcı bir his vardı. … Bununla birlikte, bu tamamen açıktı – şimdiye kadar bilinmeyen tüm hayallerimi aşan, paletin beklenmedik gücü idi. ” 10
Bu “paletin gücü”, boyalı yüzeyin özerkliği idi . Artık sadece başka bir şey gibi davranan bir görüntü değildi – bir yanılsama – bu başlı başına bir şeydi.
Ve işte Kandinsky’nin eseri, ilk karşılaşması hakkında yazdığı aynı yıl tesadüfen boyandı:
Belirsizlik
Bu matematik ve fizikteki krizlere en yakın paraleldir: sırasıyla Gödel’in Eksiklik Teoremi ve Heisenberg’in Belirsizlik İlkesi. Şu soruyu dikkate alarak yaklaşacağız: Bir sanatçının imajı nereden geliyor?
Fransız avangard sanatçı Marcel Duchamp’ın üç eseriyle başlayalım.
İzlenimcilik Sonrası (örneğin, Van Gogh veya Gauguin’in çarpık renkleri) kazanımlarının tüm kabulü için, bu resim hala esasen, kısacık, görsel bir deneyimin kalıcı, iki boyutlu bir “eşdeğeri” bulma durumudur. bazen “bak ve koy” olarak da adlandırılır).
Yaklaşık beş yıl sonra ve Duchamp görüntünün kendi yaşamına sahip olmasına izin vermeye başlıyor (Kübizm dersleri sayesinde).
Bir yıl sonra ve aniden Duchamp, bir sanat görüntüsünün doğrudan sanatçısı tarafından yaratılması gerektiği varsayımına sırtını döndü. ( “Hazır Madeş” olarak sanatçı tarafından anılacaktır) diğer eserler o sadece tek nesnelerdir rağmen bu özel çalışma, sadece bir tabure içine bir bisikletin bir kalkık ön tekerlek eklenerek oluşturuldu ilan eserleri olmak. Sanatçı seçtiği sürece, bu yeterli.
Kandinsky aynı krize farklı bir açıdan yaklaşıyor:
Duchamp’ın aksine, Kandinsky yaratıcı sürecin dokunsallığını korur, ancak önündeki herhangi bir özel motifin bağlantısını reddeder. Bu, aklın “serbest dolaşıma” bir örneğidir.
Neredeyse kırk yıl sonra, ABD’de Jackson Pollock adlı bir sanatçı bu fikri daha da ileriye itiyor:
Pollock’un resimleri, fizik yasaları (örneğin, yerçekimi ve sıvıların dinamiği nedeniyle ivmelenme) ve insan kinesiyolojisi hakkında, sanatçının “içsel duygusal yaşamı” hakkında olduğu kadar – muhtemelen daha fazlası.
Bununla birlikte, bütün cesur çabaları için sanatçıların sanat eseri yaratma konusundaki sınırlayıcı varsayımlardan kurtulma çabaları, Duchamp, Kandinsky ve Pollock’un hepsi temelde iki unsur olduğunu varsaydı: sanatçı ve sanat eseri (sonra seyirci).
Fakat ya sanatçı bunu bile bırakırsa? Burada Fransız ressam Yves Klein tarafından bir sanat eserinin yaratıldığını ve daha sonra sanat eserinin kendisini görüyoruz:
Bu çalışmanın sanatçısı Yves Klein’in güvenle olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Belki de o daha fazla yönetmen ya da şef; ve burada hem tehlike hem de kurtuluş yatıyor.
Mandelbrot modeli
Mandelbrot modeli – İşte pek çok insana tanıdık gelebilecek bir görüntü.
Tamamen şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel formül tarafından üretilen tam anlamıyla sonsuz karmaşıklığa sahip bir kalıptır:
u , n + 1 = u , n 2 s + u 0 = 0 {u , n }, ancak ve ancak sınırlı C ∈ M
Bu matematikte en büyük sürpriz olabilir (en azından sanatçılar için): tamamen algoritmik ve mekanik olan süreçlerin, tamamen belirleyici ve öngörülebilir olması gereken süreçler, aslında vahşi ve tahmin edilemez olabilir.
iTunes modeli
Öyleyse, belki de sanat yapıcılığını bilgisayarların gerçekleştirdiği algoritmalara bırakmalı mıyız? Örneğin, Apple’ın iTunes Visualiser’ı (hayata G-Force adı verilen bağımsız bir program olarak başladı ).
Beceri ve duyarlılık, belirli bir görüntü veya görüntü dizisinin oluşturulmasında değildir (sonuçta, bilgisayar maharetli veya hassas değildir, sadece talimatları yerine getirirken oldukça hızlıdır). Hacim, perde ve ritime cevap verecek, beklenmedik ve öngörülemeyen (yani kaotik) kalıplar oluşturmak için geri beslenecek ve henüz (çoğunlukla) bir tutarlılık duygusunu koruyacak kodun oluşturulmasındadırlar.
Bununla birlikte, algoritmik bir yaratıcı süreç insan müdahalesi ve katılımından yoksun olmak zorunda değildir. Örneğin, Sidney merkezli bir baskıcı olan George Barker, onun için imajlar oluşturmak için bir bilgisayar programlar . Sanat programlamada.
Paradoksal olarak belki de, sanatı “evcilleştirmenin” bir yolu olmaktan uzak, matematik sanatı ve sanatçıyı özgürleştirmenin bir yolu olabilir.
Sanat ve Matematik ilk başta çok farklı şeyler gibi görünebilir, ancak matematikten zevk alan insanlar sanatta matematik aramaya meyillidirler. Modelleri, açıları ve perspektif çizgilerini görmek istiyorlar. Bu yüzden MC Escher gibi sanatçılar matematikçilere bu kadar çekici geliyor. Ölçme ve çizgiler gibi temel şeylerden bahsetmek yerine, sanatla ilgili çok sayıda matematik vardır, ancak sanatın inceliklerini genellikle matematik kullanarak tanımlayabilirsiniz.
Leonardo da Vinci
Leonardo Da Vinci tarafından boyanmış Mona Lisa olarak bilinen çok ünlü bir eser, altın oranına göre çizilir. 0.618 ve icat edilmiştir: altın oranı 1 altın o estetik olduğu söylenir çünkü. Altın oran insan vücudunda bulunabilir. Altın bir dikdörtgen, altın oranını yansıtan boyutlara sahip bir dikdörtgendir. Mona Lisaboyama boyunca birçok altın dikdörtgen vardır. Yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizerek, bunun gerçekten altın olduğunu görebiliriz. Bu dikdörtgeni gözlerinin üzerine çizilen bir çizgi ile bölersek, başının uzunluğunun göze oranının altın olduğu anlamına gelen başka bir altın dikdörtgen elde ederiz. Vücudunun geri kalanına, boynundan ellerinin üstüne kadar çizilebilecek başka altın dikdörtgenler var.
Da Vinci , Son Akşam Yemeği , Yaşlı Adam ve Vitruvius Adamı gibi altın oranlara göre de çizilen başka parçalar yarattı . Vitruvius Adamı (veya Eylemdeki Adam ) , daire içine yazılmış bir adamın çizimidir. Adamın yüksekliği, başının tepesinden göbeğine ve göbeğinden ayaklarının dibine kadar altın orandadır. Vitruvius Adamı , insan içindeki ilahi oranların tümünü gösterir.
MC Escher
Escher matematiksel olarak zorlayıcı sanat eserlerini yaratan ünlü bir sanatçı. Sadece basit çizim araçlarını ve çıplak gözü kullandı, ancak çarpıcı matematiksel parçalar yaratabildi. Uçağın bölünmesine odaklandı ve imkansız boşluklarla oynadı. Bazen gerçek dünyada inşa edilemeyen ama matematik kullanılarak tanımlanabilen çizimlerde poliprop üretti. Çizimleri gözleri yakaladı ve algı ile mümkün görünüyordu, fakat matematiksel olarak imkansızdı. MC Escher web sitesinde görülebilecek olan özel çizimi, Artan ve Azalan bu başyapıtlardan biriydi. Bu çizimde Escher, yükselmeye ve alçalmaya devam eden, matematiksel olarak imkansız olan bir merdiven yaratıyor, ancak çizim gerçekçi görünüyor. Aşağıdaki görüntü,Görelilik , bir örnek.
MC Escher’ın “Görelilik”
Escher ayrıca matematiksel olarak yanlış görünen birçok kilitleme figürü yarattı. Siyah ve beyaz kullanarak, matematiksel olarak imkansız görünmesini sağlamak için farklı boyutlar yaratabiliyordu. Escher genellikle iki ve üç boyutlu görüntüleri tek bir baskıda birleştirdi; Sürüngenler adlı parçası gibi , sürüngenlerin kendileri bir mozaiklemeden çıktığı ve etrafta yürüdükten sonra iki boyutlu resme döndüğü gibi.
Daha fazla Escher parçası görmek için http://www.mcescher.com adresini ziyaret edin .
Bazen sanatçılar belli doğrusal bakış açıları oluşturmak isterler. Bunu başarmak için, sanatçı eserdeki bir noktayı seçecek ve eserdeki bütün çizgiler o noktada birleşecek. Bu şekilde, sanatçılar özel bir matematiksel araç kullanmadan izleyicileri için belirli bir algı oluşturmak için matematiği kullanır. Birçok sanatçı farkına varmadan matematiği kullanır. Escher, eserleri yaratırken hiçbir matematiksel araç kullanmadı. Özellikle, onun Circle Limit III tamamen serbest çizilmiş ve henüz milimetre için matematiksel olarak doğru olan mozaikler içerir.
Bir sanatçı ve işletme sahibi, bir inşaat problemini Math Central Quandaries and Queries’e gönderdi . Üç boyutlu, beş köşeli bir yıldızı inşa etmek istedi. Sayfayı ziyaret ederek, bu sorunun matematiksel çözümünü ve bitmiş ürünün resimlerini görebilirsiniz.
Sanatta, matematik onu aradığınız sürece her zaman görünmez. Fakat güzel sanat yaratmada çok fazla simetri, geometri ve ölçüm var. Aynı zamanda birçok sanatçı, sanat eserlerini gerçekçi ve güzel kılacak altın oran gibi matematiksel bulgulardan yararlanır. Açıları ve perspektifi matematik kullanarak da tanımlanabilir. Belki matematik ve sanat oldukça karmaşık bir şekilde bağlantılıdır.
Matematik tamamen formülsel bir arayış gibi görünse de, ürettiği kalıplar ve oranlar tarihin en çarpıcı sanat eserlerini yaratmaya yardımcı olabilir – Da Vinci Kodunu okuyan herkesin bileceği gibi.
Leonardo Da Vinci’nin Luca Pacioli’nin kitabı, De Divina Proportione (The Divine Proportion) veya MC Escher’ın matematiksel olarak doğru olan baskılarındaki geometrik çizimlerine bir göz atın , sayılar ve forumlarda bulunan saflık ve kalıpların dünyayı dönüştürebileceğini fark edeceksiniz. daha güzel bir yere.
Ancak bu sadece tarihsel olarak değil – bugün bile matematikçiler ve sanatçılar gerçekten güzel işler yaratmak için yeteneklerini bir araya getiriyorlar. Bilgisayarların yardımıyla işleri tamamen yeni bir düzeye çıkardılar.
Aşağıda, matematik ve sanattaki en sevdiğimiz maceralardan yedisi var.
1. Simon Beck’in kar sanatı
Simon Beck, ticarete göre bir haritacıdır, ancak sanata olan tutkusu, Avrupa Alplerinde bu epik ‘kar manzaralarını’ yaratması için ona ilham verdi.
Her biri 11 saat sürer ve Beck onları pusula ve kar ayakkabısı dışında bir şey kullanmaz ve çoğu da aşağıda görebileceğiniz Koch kar tanesi veya Sierpinski üçgeni gibi matematiksel oluşumları gösterir .
Desenlerin sadeliği nedeniyle matematikle çizim yapmayı seçti, Alex Bellos’a2014’te The Guardian’da anlattı . “Daha erken çizim yapabilirsiniz” diyor . “Sadece basit kurallara uyuyorsun. Bir şemaya atıfta bulunmak zorunda değilsin. Bunu bellekten yapabilirsin. Ve onlar sadece en iyi görünüyorlar.”
Simon Beck
Simon Beck
2. Hamid Naderi Yeganeh’in bilgisayar çizimleri
İranlı arist Hamid Naderi Yeganeh karmaşık, bilgisayar tarafından üretilen illustations oluşturmak için matematiksel formüller kullanıyor – programı günde binlerce oluşturabilir. Ortaya çıkan şekiller her zaman güzeldi, ancak bazılarının rastgele gerçek yaşam nesnelerini de temsil ettiğini fark etmeye başladı.
“ Cuma günü daha iyi şekiller bulmak için formülleri değiştiriyorum. Ancak programların çalıştırılmadan önce sonuçlarının sonuçları hakkında hiçbir şey bilmiyorum. Örneğin tekne ve hayvanları kazara buldum” dedi.
Şimdi “matematiğin gücünü” dünya ile paylaşmaya yardımcı olmak için bu tanınabilir sarsıntılardan daha fazlasını elde etmek için verilerini değiştiriyor. Ayrıca formülleri ve resimlerini web sitesinde halka açık hale getirdi, böylece herkes kendi oluşturabilir.
Hamid Naderi Yeganeh
Hamid Naderi Yeganeh
3. Tom Beddard’daki Fabergé Fraktalları
Fraktallar, her ölçekte tekrar eden – doğal, matematik ve sanat dünyalarında yüzyıllarca sevilen hiç bitmeyen kıvrımlar, çizgiler ve eğriler yaratan kalıplardır. Takdirini göstermek için, İngiltere’deki fizikçi Tom Beddard , bu detaylı fraktal desenlerle kaplı 3D Fabergé yumurtalarının dijital görüntülerini oluşturmaya karar verdi .
“3D fraktallar, bir yinelemenin çıktısının bir sonraki için girdi oluşturduğu yinelemeli formüller tarafından üretilir,” dedi Beddard My Modern Met . “Formüller, alanı etkili bir şekilde katlar, ölçekler, döndürür veya çevirir. Seyahat ettiğiniz yüzeye daha fazla detayın açığa çıkabilmesi gerçeği için gerçekten fraktaldırlar.”
Tom Beddard
Tom Beddard
4. Liz Blakenship ve Daniel Ashlock’un fraktal taksonomisi
Sert fraktallar hayranı olsanız bile, bilmeyeceğiniz şey, orada birçok farklı fraktal türü olduğu ve hepsi yukarıdakilere benzemiyor. Bu yüzden Liz Blakenship ve Daniel Ashlock, tüm ihtişamlarında göstermek için resimlerle tamamlanan fraktalların bir taksonomisini yarattı.
Bu L sistemi fraktalları, örneğin, matematiksel diyagramlardan ziyade egzotik eğrelti otları gibi görünür. Ama yine de yinelenen kalıplardan oluşuyorlar. Ashlock ve Blakenship , “Bu L sistemleri, A ve B harfleriyle verilen iki açıyı ve C ve D harfleriyle verilen iki mesafeyi kullanır .
Liz Blakenship ve Daniel Ashlock
Liz Blakenship ve Daniel Ashlock
5. Henry Segerman’ın 3D modelleri
Avustralyalı matematikçi Henry Segerman , öğrencilerinin onları daha iyi anlamalarına yardımcı olmak için matematiksel formülleri ve kavramları ifade eden illüstrasyonlar ve 3B basılı modeller oluşturuyor .
“Öğrencilere matematiğin dilini anlama ve yaratıcı bir şekilde problemleri çözmek için yaratıcı bir şekilde uygulama zamanı verilmelidir. Segerman, matematik dersleri genellikle yeni bir fikir, bir hikaye ya da şiir oluşturmak için dili kullanacağımız bir İngilizce dersinin aksine, ezber egzersizlerinin ötesine asla geçmez. ” Diyor.
“Matematik dili genellikle sanat diline göre daha az erişilebilir, ancak matematiksel bir düşünceyi ifade eden bir resim veya heykel üreterek birinden diğerine çeviri yapmaya çalışabilirim.”
Henry Segerman
6. Hevea Projesi’nin izometrik gömme modelleri
İzometrik gömme anlaşılması biraz karmaşık olmakla birlikte, A Beautiful Mind matematikçi John Nash’in Nicolaas Kuiper ile birlikte yaptığı temel çalışmalardan biriydi – ve tüm dünyanın kum taneleri içinde nasıl yer alabildiğini açıklıyor.
Daniel Matthews , “Bu saçma geliyor. Mesela bir küreye bürün – bir tenis topunun yüzeyini söyleyin – ve nanometre yarıçapına sahip olduğunu küçültmeyi hayal edin,” diyor Daniel Matthews, izometrik gömme hakkında . “Nash ve Kuiper, yüzeyin yeterince karıştırılmasıyla (ancak her zaman pürüzsüz; kırılma veya katlanma veya yırtılmaya izin verilmez!), Hepsinin bu nanometre yarıçapında bulunan orijinal tenis topunuzun izometrik bir kopyasına sahip olabileceğini gösteriyor.”
Kendilerini Hevea Projesi olarak adlandıran bir Fransız matematik ekibi şimdi bunun neye benzeyeceğine dair dijital yapılar oluşturdular ve sonuçlar muhteşem.
Matematiksel sanattan daha iyi bir şey varsa, 2012’de ünlü sanatçı ve eski NASA mühendisi Kerry Mitchell’in Mars’ta inişini kutlamak için yarattığı bu görüntü gibi, uzay araştırmalarını kutlayan matematiksel sanattır.
Normal bir tabloya benzese de, Mitchell tüm sanatını algoritmalar ve fraktallar kullanarak yaratıyor.
“Bu görüntü Mandelbrot’umda ve Julia, yinelenen yinelemenin altındaki bir formülün dinamiklerini gösteren bir resim koleksiyonu oluşturuyor.“ Merak ”, Ağustos 2012’de Mars’taki merkezi eğilim eğilimini, harmonik ortalamayı ve Merak gezicisinin Mars’a inişini kutluyor. ” Mitchell yazıyor.
Türkiye’nin pek çok ilindeki tarihi eserlerin restorasyonuna danışmanlık yapan Vahit Okumuş, 25 yılını adadığı araştırmalar sonucu, Osmanlı’dan bugüne ulaşan tarihi eserlerin mimarı Sinan’ın matematiğini çözmeyi başardı.
Hayatını, Mimar Sinan’ın eserlerindeki matematiği çözmeye adayan ve tek arzusunun üniversitelerde, “eski eser mühendislik bölümü” kurularak, Mimar Sinan’ın tekniğinin genç mühendis adaylarına öğretilmesi olduğunu belirten Vahit Okumuş, Mimar Sinan’ın 428. ölüm yıl dönümünde, 25 yılını adadığı araştırmalarını AA muhabirine anlattı.
Sinan’ın, bir eser yapacaksa, onun depreme dayanıklılığını, zeminini, akustiğini, mukavemetini, hatta ısınmasını dahi düşündüğünü ve buna göre bir yöntem aradığını aktaran Okumuş, modern biliminse, istediği şeyi önce çizdiğini ve onun hesap şeklini yaptığını ifade etti.
Okumuş, Sinan’ın, elindeki malzemenin taşıyacağı güce göre, kendi matematiğini kurduğunu anlatarak, “Sinan mühendislik dalında, akustikte, köprüde, kemerde, istinat duvarında, barajlarda, zeminde, izolasyonda, deprem konusunda dünya biliminin bugün dahi ulaşamadığı, yeni bir matematik sistem kurmuştur.
Bu sistemin adına da ‘birim daire metodu’ denir. Bugün dünyada ilk kez ben yayınladım, şu anda da bilip kullanan yoktur. Sinan bu nedenle filozoftur, çünkü kendine özgün bir mühendislik oluşturmuş, bulduğu statik sistemle, matematiksel çözümler üretmiştir.” diye konuştu.
Okumuş, Zigetvar Seferi öncesi Kanuni Sultan Süleyman’ın Büyükçekmece’de inşa ettirdiği 636 metrelik Kanuni Sultan Süleyman Köprüsü’nden örnekle, Mimar Sinan’ın köprü yaparken kullandığı metodu, şöyle anlattı:
“Sinan, köprü inşasında birim daire metodunu kullanır ve köprüsü hiçbir zaman düşey yük oluşturmaz. Yani, üzerinden hangi yük geçerse geçsin, kemerlerin hiçbiri aşağı doğru basmaz, yana doğru basar. Yükü, yana doğru iter. Bu Sinan’a ait bir metottur.
Modern bilim, iş metodu, enerji metodu gibi çeşitli metotlarla kemerlerde çözüm yapar ama hiçbir şekilde doğru çözümler üretemezler. Bu sadece Sinan’ın metoduyla çözülür. O nedenle Sinan, bugünkü bilimin üzerinde bir adam. Sinan’ın köprülerinde, sivri kemer görünümü vardır.
Modern bilim, iş metodu, enerji metodu gibi çeşitli metotlarla kemerlerde çözüm yapar ama hiçbir şekilde doğru çözümler üretemezler. Bu sadece Sinan’ın metoduyla çözülür. O nedenle Sinan, bugünkü bilimin üzerinde bir adam. Sinan’ın köprülerinde, sivri kemer görünümü vardır.
Sinan, daireyi 8 derece ile 82 derece arasındaki iki yaydan oluşturur. Bunu da hesapla yapar. Düşey yük oluşmasın diye daireyi keser ve iki daireyi birleştirdiği noktaya da üzengi taşını (orta taşı) koyar. Bu taş genellikle 15 santimetre civarındadır. Taşı keser ki hiç bir zaman yatay yük oluşmasın.
Yoksa tam daire yapılmış köprüler ve kemerlerde, üst kısımda düşey basınç oluşur. Sinan bu düşey basıncı istemez. Bunu yaptıktan sonra kemeri örerken hiç bir şekilde, harç, demir, zıvana kullanmaz. Sadece taşları özel bir teknikle dizer. Öyle bir dizer ki derinine doğru birbirine bağlar bu taşı. Sistem kendi içinde bağlanır.”
Bu tekniğin ötesinde Sinan’ın köprü yapımlarında hareketli yükün etkisini direkt olarak köprüye aktarmadığını anlatan Okumuş, yaptığı araştırmalar sonucu Sinan’ın eserlerindeki dayanıklılığın bilimsel açıklamasını ise şöyle aktardı:
“Modern bilim hareketli yükü taşıyacak sistemler oluşturur. Halbuki hareketli yük, titreşim yaptığı için yapılan malzemenin bozulmasını kolaylaştırır. Sinan, buna çok önemli bir yöntem bulmuştur. Bir araba köprüye girdiği an, yükünü bütün köprüye dağıtır. Yani hareketli yük, tekil olarak etki etmez.
Bu tekil olarak etki etmediği için de üzerine gelecek yükle, köprü bozulmaz. Bugünkü bilim bunu çözememiştir. Çözemediği için de onu demirlerle taşıyacak sistem oluşturmuştur. Biz modern bilimde köprüleri, deneyle, yaklaşık metotlarla çözeriz. Teorik olarak olarak çözmüş olmamıza rağmen, teorik çözümlerimizde yaklaşık metotlar kullanırız.
Sinan hiçbir zaman yaklaşık metot kullanmaz, tamimiyle dosdoğru çözüm yapar, doğru çözüm yapar. Bu nedenle üzerine gelecek hareketli yük, köprüyü etkileyemez. Etkileyemediği için de hiçbir şekilde köprünün ileride hareketli yük dolayısıyla bozulması mümkün değildir.”
Sinan’ın, köprüdeki eğimi yine birim daire metoduyla çözdüğünü ve bu eğimi, yükün dağıtımı için yaptığını aktaran Okumuş, “Her köprüsünde böyle bir eğim vardır. Asıl doğru olan budur. Bunun bir avantajı da vardır. Sular yükseldiğinde köprünün üzerinden akmasını istemez, yandan kaçması için bu eğimi yapar. Köprülerde en büyük tehlike üzerinden su geçtiğinde ortaya çıkar, çünkü yıkılabilir” dedi.
Sinan’ın inşa ettiği köprülerin ayaklarında da bir köprü bulunduğunu ifade eden Okumuş, “Bunun amacı şu; Su yükseldikçe köprü yatay etki yapar, düşey etki yapmaz. Yatay etki yaparak, ayakları tutmayı sağlar. Su yükseldikçe üzerine yük fazla binecektir. Binen yük ayaklarını sıkıştıracaktır, kaymasını önleyecektir” diye konuştu.
Osmanlı döneminde Bakırköy’deki adliyenin bulunduğu yerden küfeki taşının çıkarıldığını anlatan Okumuş, bu taşın Romalılar tarafından kullanıldığını tespit eden Sinan’ın İstanbul’daki eserlerinde küfeki taşı kullandığını aktardı.
Okumuş, Sinan’ın eserlerinin hiçbir zaman rutubet almadığını, izolasyonu da bilimsel yöntemlerle yaptığını belirtti, Sinan’ı incelemeye Süleymaniye Camisi ile başladığını, eski rölöve projesinin kopyasını alarak odasına astığını ve uzun süre seyrettiğini anlatan Okumuş, şunları kaydetti:
“Süleymaniye Camisi’ne sabah namazına gidiyordum ve öğlene kadar camiyi izliyordum. Amacım şuydu; neyi nasıl ve niçin yaptığını görmek için eseri iyi tanımalıydım. Kullandığı malzeme ne? Taş kullanmış, tuğla kullanmış. Taş ve tuğla, eğilmeye ve çekmeye dayanmaz. Öyleyse bütün eserlerini, basınca dayanır şekilde yapma mecburiyetindeydi, yoksa bu eserlerin yaşaması mümkün değildi.
O zaman basınca dayanır bir form vermek için ne yapmıştır? diye düşündüm. Basınca dayanıklılık için kullandığı metodu buldum. Çok iyi trigonometri bilir. Trigonometriden yola çıkarak, bunu buldum. Kubbenin dönüşünü bulmak için aylarca, yıllarca uğraştım. Çünkü onu formüle etmesi gerekiyordu.
Hayır, yalan söylüyorlar çünkü statik ona emretmiştir, ‘burada boşluk bırakacaksın’ diye. Akustik çalışması da yaptım Süleymaniye Camisi’nde. Hiç bilmediğimiz galen taşını kullanmıştır akustik için. Sinan, Süleymaniye Camisi’nin duvarlarına hiçbir zaman yük taşıtmamıştır. Kemerlerine taşıtmıştır. Süleymaniye’de duvarların için boştur.”
Yıllarını Sinan’ın eserlerini incelemeye adayan Okumuş, bundan sonraki tek hayalinin, Osmanlı’dan günümüze eserleri ulaşan usta mimarın kullandığı tekniğin ve matematiğinin genç mühendislere öğretilmesi için bir bölüm açılması olduğunu söyledi.
Matematik ve mimarlık üzerine bir makaleyi biraz şaşırtıcı bulsa da, aslında mimarlık eski zamanlarda matematiksel bir konu olarak düşünülmüş ve disiplinler günümüze kadar yakın ilişkiler kurmuştur. Belki de bir kişi matematiğin esasen kalıpların çalışması olduğunu anladıktan sonra, mimari ile bağlantı netleşir. Salingaros, de yazıyor :
Tarihsel olarak, mimarlık matematiğin bir parçasıydı ve geçmişin birçok döneminde, iki disiplin ayırt edilemezdi. Antik dünyada, matematikçiler, yapıları – piramitler, ziggratlar, tapınaklar, stadyumlar ve sulama projeleri – bugün hayranlık uyandıran mimarlardı. Klasik Yunanistan’da ve antik Roma’da mimarların da matematikçi olmaları gerekiyordu. Bizans imparatoru Justinian, bir mimarın Ayasofya’yı daha önce inşa edilen her şeyi geçen bir bina olarak inşa etmesini istediğinde işi yaptırmak için, iki profesöre ( geometri ) , Isidoros ve Anthemius’a döndü.
Bu gelenek İslam medeniyetine devam etti. İslam mimarları, batılı matematikçilerin tam bir sınıflandırma yapmasından yüzyıllar önce iki boyutlu döşeme desenlerinden oluşan bir servet yarattılar.
Bahsedilen mimarlık türünden Salingaros bu alıntıda bahsettiği piramittir ve burada mimarların ne kadar geometri ve sayı teorisi kullandıkları konusunda uzmanlar arasında anlaşmazlık olduğunu belirledik. Mesela Büyük Piramit, Mısır’daki Giza’da, MÖ 2575’te Kral Khufu için yapıldı. Bu piramidin ölçümleri hakkında çok şey yazıldı ve altın sayı ve karekökü ile birçok çakışma bulundu. Piramidin şeklini açıkladığını iddia eden en az dokuz teori var ve bu teorilerin en az yarısı gözlemlenen ölçümlerle tek bir ondalık basamağa katılıyor. Bu zor bir alan, çünkü piramidin yapılışındaki bazı astronomik uyumlardan şüphe yok. Ayrıca Mısırlılar için düzenli geometrik şekiller kutsaldı ve mimarlıkta kullanımlarını ritüel ve resmi binalar için ayırdılar. Seschat adında bir anket tanrıçasına sahip olduklarının, binaya verilen dini önemi göstermektedir. Bununla birlikte, sofistike geometrinin piramitlerin yapımının arkasında olduğuna dair kanıt yoktur.
Sayısal tesadüflerin gerçekten tesadüfler olup olmadığına veya piramitlerin inşaatçılarının bunları belirli sayısal oranlar göz önünde bulundurarak tasarlayıp tasarlamadığına karar vermek gerekir. Altın sayıyı içeren böyle bir tesadüften bir bakalım. Altın sayı = 1.618033989 ve buna dayanan bir açı arcsec (1.618033989) = 51 ° 50 ‘olacak. Şimdi Büyük Piramidin yanları 51 ° 52 ‘açıyla yükseliyor. Bu bir tesadüf mü?
F Röber, 1855 yılında, altın sayının piramitlerin yapımında kullanıldığını iddia eden ilk kişi oldu. Birçok yazar Röber’i takip etti ya da altın sayının Mısırlılar tarafından nasıl ve ne şekilde kullanıldığına dair daha ayrıntılı versiyonlar üretti. Ancak, mimarların kasıtlı kararları almak yerine kullanılan yapım tekniklerinden kaynaklandığı için birçok güzel sayının, özellikle de altın sayının güçlerine yakın sayıların meydana gelmesinin nedenlerini ortaya koyunuz. Bu tip argümanlar son yıllarda daha sık ortaya çıkmıştır.
Derin matematiksel fikirler piramitlerin yapımında girdi bile, Ifrah [bu tartışmalara yararlı katkılar yapar düşünüyorum ] diye yazarken: –
Bir keresinde öğrencilerini soyut geometrinin tarihsel olarak pratik uygulamalarından önce olduğunu ve antik Mısır’daki piramitlerin ve binaların mimarlarının oldukça gelişmiş bir matematikçi olduğunu “kanıtladığını” ikna etmeye çalışan bir matematik profesörü olduğunu biliyordum. Fakat tarihteki ilk bahçıvan, üç bahisli mükemmel bir elips ve bir ip uzunluğu ile koni teorisinde kesinlikle bir dereceye girmedi! Mısırlı mimarlar, basit planlarından (“hileler”, “ustalar” ve tamamen ampirik bir yöntemden başka bir şeye sahip değillerdi; deneme ve yanılma ile keşfedilmiş hiçbir şüphe yok – zemin planlarını ortaya koydu.
Bahsettiğimiz mimaride ilk kesin matematiksel etki Pisagor’un etkisidir . Şimdi Pisagor ve Pisagorlular için sayı dini bir öneme sahipti. Pisagor’un “her şeyin sayı olduğu” inancı mimarlık için açıkça büyük öneme sahip olduğu için bir an için bunun ne anlama geldiğini düşünelim. Değerine bakıldığında aptalca bir fikir görünebilir ama aslında bazı temel gerçeklere dayanıyordu. PisagorMüzik ve sayılar arasındaki bağlantıyı gördüm ve notanın uzunluğu ile ilgili bir ip tarafından nasıl üretildiğini açıkça anladım. Batı müziğinde halen kullanılan bir dizi nota oranını belirledi. Gerilmiş bir ip ile deneyler yaparak, küçük tamsayılar tarafından belirlenen oranlara bölmenin önemini keşfetti. Güzel ahenkli seslerin küçük tamsayılı oranlarına bağlı olduğu keşfi, küçük tamsayılı oranlarını kullanan binaları tasarlamasına neden oldu. Bu, yapı için temel uzunluktaki bir modül olan ve boyutların şimdi temel uzunluktaki küçük tam sayı katları olduğu bir modülün kullanılmasına yol açtı.
Pisagor için Numaralarayrıca geometrik özelliklere sahipti. Pisagorcular kare sayılardan, dikdörtgen sayılardan, üçgen sayılardan vb. Bahsettiler. Geometri, şekillerin ve şekillerin çalışılmasıyla sayılarla belirlendi. Fakat bundan daha fazlası, Pisagorlular orana dayalı bir estetik kavramı geliştirdiler. Ek olarak, geometrik düzenlilik güzelliği ve uyumu ifade etmiş ve bu simetri kullanılarak mimariye uygulanmıştır. Şimdi bir matematikçiye simetri, bugün bir grubun temel bir yapılandırma üzerine altında yatan bir eylemi öneriyor, ancak kelimenin en küçük bölümlerinden şekillerin ve oranların tekrarlandığını gösteren eski Yunan mimari terimiyle “simetri” den geldiğini fark etmek önemlidir. tüm yapıya bir bina. Şimdi “her şeyin sayı olduğu” inancının ne olduğu açıkça anlaşılmalıdır.
Uzunlukların Pisagorluların oranının matematiksel ilkelerine nasıl uyduğunu görmek için Parthenon’un boyutlarına kısaca bakalım. MÖ 480’de, Atina’daki Akropolis, İkinci Pers Savaşında Persler tarafından tamamen tahrip edildi. Zaman ölçeğini anlamak için, bunun Pisagor’un ölüm zamanı ile ilgili olduğunu not edelim . Rumlar, Salamis ve Plataea’daki Perslere karşı kazanılan zaferden sonra, Yunanlılar, Atina şehrinin yeniden inşasına birkaç yıl boyunca başlamamıştır. Ancak Yunan devletleri MÖ 451 tarihli Beş Yıllık Ateşkes’de savaşlarını bitirdikten sonra, yeniden yapılanmayı teşvik etmek için koşullar mevcuttu. Atina Devlet Başkanı Perikles, Parthenon tapınaklarını MÖ 447’de yeniden inşa etmeye başladı. Mimar Ictinus ve Callicrates, heykeltıraş Phidias gibi kullanıldı.
Berger, Pisagor’un küçük sayıların oran fikirlerinin Athena Parthenos Tapınağı’nın yapımında nasıl kullanıldığına dair bir araştırma yapar. 2: 3 oranı ve 4: 9 karesi inşaat için temeldi. 4: 9 kenarlarının temel bir dikdörtgeni, 3 ve 4 nolu üç köşeli dikdörtgenden köşegen 5 ile oluşturulmuştur. Bu yapı biçimi aynı zamanda 3: 4: 5 Pisagor üçgenin iyi bir açı sağlamak için kullanılabileceği anlamına da gelir. bina doğru tespit edildi.
Tapınağın uzunluğu 69.5 m, genişliği 30.88 m ve kornişin yüksekliği 13.72 m’dir. Oldukça yüksek bir doğruluk derecesine göre bu, genişlik: uzunluk = 4: 9 oranının yanı sıra, yükseklik yükseklik: genişlik = 4: 9 oranının da olduğu anlamına gelir. Berger, oranlara ulaşmak için bu ölçümlerin en yaygın ortak paydasını aldı. yükseklik: genişlik: uzunluk = 16: 36: 81 0.858 m uzunluğunda temel bir modül verir. Sonra Tapınağın uzunluğu 9 2 modül, genişliği 6 2 modül ve yüksekliği 4 2 modül. Modül uzunluğu boyunca kullanılır, örneğin Tapınağın toplam yüksekliği 21 modüldür ve sütunlar 12 modüldür. Yunan tapınaklarında tanrı heykelinin bulunduğu iç alan olan naos 21.44 m genişliğinde ve 48.3 m uzunluğunda olup yine 4: 9 oranındadır. Berger, sütunların 1.905 m çapında ve Eksenleri arasındaki mesafe 4.293 m, yine 4: 9 oranı kullanılıyor.
F Röber’in Mısırlıların piramit yapılarında altın sayıyı kullandığına inandıklarını yukarıda belirttik. 1855 yılının aynı çalışmasında, altın sayının Parthenon’daki Athena Tapınağı’nın yapımında kullanıldığını da savundu. Belki de bu çalışma çok ikna ediciydi veya belki de insanların inanmak istedikleri romantik bir fikir sundu. Sebep ne olursa olsun, bugün çoğu kişi tarafından aslında Parthenon binalarının altın sayının kullanımıyla şüphesiz istisnai güzelliklerine kavuştuğu kabul edilmiş bir gerçek gibi görünüyor. Bu görüşü desteklemek için çok az kanıt var, Berger’ın 4: 9 teorisi ise sağlam bir şekilde yerleşmiş görünüyor.
Platon Pisagor’un fikirlerinden çok etkilendi . Platon’un fikir teorisi, anlam ve kavramları temel ve gerçek kılarken, bu fikirlerin fiziksel olarak gerçekleşmesi gerçek değildi ve daha az önemliydi. Örneğin, bir çiçek fikri gerçek ve kalıcıdır, çiçeklerin fiziksel örnekleri ise sadece görünür ve geçici olarak görülür. Binalar kalıcı olmasa da, Plato uzun ömürlü olduğunu ve bu nedenle ona çiçeklerden daha güzel olduğunu gördü. Matematiği tüm fikirlerin en temelini sağlayan olarak gördü ve bu nedenle binaların matematiksel ilkelere göre tasarlanması gerekiyor. PlatoPhilebus’da yazıyor : –
Burada güzelliğiyle anladığım şey … ortak insanın genel olarak anladığı şey değil, örneğin canlıların güzelliği ve temsilleri. Aksine, bazen düzlemsel … ve daireseldir, pusulalar, akor ve ayarlanan karelerden oluşan katı cisimlerin yüzeyleri ile. Çünkü bu formlar, diğerleri gibi, belirli koşullar altında güzel değildir; onlar her zaman kendi içinde güzeller.
Biz iş yoluyla antik mimari matematiksel yöntemleri hakkında biraz bilmek şanslıyız De architectura’dan Ⓣ Vitruvius’un. Bu, Julius Caesar’ın evlatlık oğlu Octavianus’a adanmış, MÖ 27’den kısa bir süre önce, on kitaptan oluşan bir Latin eseridir. Vitruvius, Roma’da projeler inşa etmekten sorumlu bir mimar ve mühendisdi. On kitap aşağıdaki gibidir:
Mimarlığın ilkeleri.
Mimarlık tarihi ve mimari malzeme.
İyonik tapınaklar
Dor ve Korint tapınakları.
Kamu binaları, tiyatrolar, müzik, banyo ve limanlar.
Kasaba ve ülke evleri.
İç dekorasyon.
Su tedarik etmek.
Kadranlar ve saatler.
Askeri uygulamalar ile makine mühendisliği.
Bu konulardan bazıları, örneğin müzik, mimarlık üzerine yazılmış bir kitapta tamamen yerinde görünmüyorsa, Vitruvius’un kitabını genç mimarlar için bir eğitim sağlamak olarak gördüğü, bu nedenle daha genel bir eğitim niteliğinde bazı konular sağladığını belirtmekte fayda var. . Ancak, bir mimarın sahip olması için mühendislik ve inşaatın kesinlikle gerekli beceriler olarak görüldüğünü belirtmekte fayda var.
Özellikle, Parthenon’daki Athena Tapınağı’nın nasıl inşa edildiğine ilişkin detaylar göz önüne alındığında, Vitruvius’un Kitap 3’te tapınak tasarlamada söylediklerini incelemek ilginçtir. Kitap simetri üzerine bir deneme ile başlar ve daha sonra simetri ve oranların tapınakların tasarımında kullanılmasını açıklar. Vitruvius’a göre, insan vücudunun oranları güzellik elde etmek için temeldi ve tapınağın oranlarının bu insan oranlarını izlemesi gerektiğini söylüyor. Çemberin ve karenin mimari tasarımlar üretmek için mükemmel figürler olduğunu öne sürüyor, çünkü yayılmış insan vücudunun geometrisine yaklaşıyorlar. Burada, Vitruvius’un insan vücudunun bir tanrı adına yapılmış olduğuna ve bu nedenle mükemmel olduğuna inandığından beri dini bir önemi var.
De architectura Ⓣ’nın göze çarpan kısımlarından biri, Vitruvius’un akustiği tartıştığı 5. Kitap. Sarton yazıyor : –
Vitruvius, sesi bir taş gölete atıldığında suyun yüzeyinde görülebilecek dalgalarla karşılaştırdığı dalgalardaki havanın yer değiştirmesi olarak açıklar. Daha dikkat çekici olanı, Vitruvius’un dalga teorisini mimari akustiğine uygulamasıydı. Sesin dalga teorisi Yunan’dı, bir salonun akustiğine, tipik olarak Roma’ya. … Vitruvius, bir tiyatronun akustiğini ve parazit, yankı, yankı olarak adlandırdığımız, onu bozabilecek olayları analiz eder.
Kitap 10’un matematiksel içeriği de ilginçtir. İçinde Vitruvius anlatıyor : –
… kaldırma makineleri, su toplama motorları, su çarkları ve su değirmenleri, su vidaları, Ctesibios’un pompası, su organları, kilometre sayacı ve barış motorlarından savaşçılara, mancınıklar, akrepler, balyalar, teller ve mancınıkların ayarlanması, kuşatma motorları, hendekleri doldurmak için kaplumbağa, Hegetor’un tokmağı ve kaplumbağası …
Vitruvius’un De architectura’sından ayrılmadan önce Ⓣ fark etmekte fayda var, ancak bugün Vitruvius’u bilgin olmaktan ziyade pratik bir adam olarak görmemize rağmen, Cardan onu her zaman on iki lider düşünür listesine ekledi.
Avrupa’da 14 kadar küçük matematik ilerleme ve mimarlık vardı th ve 15 inci yüzyıllarda. Mimari, Vitruvius’un öğretileri ve özellikle Yunanistan ve İtalya’da hala bol olan klasik mimari üzerine modellenmiştir. Bahsetmek istediğimiz bir sonraki kişi kuyumculuk eğitimi almış Brunelleschi . Şu anda gerçekten profesyonel bir mimar yoktu ve Brunelleschi , Roma’yı ziyaret ederek mimarlık becerilerini öğrendi: –
Hamamlar, bazilikalar, amfitiyatrolar ve tapınaklar dahil olmak üzere pek çok antik yapının çizimlerini yaptı, özellikle tonozlar ve kubbeler gibi mimari elemanların yapımını inceliyordu. Ancak, mimari araştırmalarının amacı, Roma mimarisini yeniden üretmeyi değil, kendi zamanının mimarisini zenginleştirmeyi ve mühendislik becerilerini mükemmelleştirmeyi öğrenmekti.
Brunelleschi , doğrusal perspektif ilkelerini keşfetmesiyle en önemli gelişmelerden birini yaptı. Klasik alimler perspektifin bazı prensiplerini anladılar ama konuyla ilgili herhangi bir metin yazılmadı. Bir canvada resim yaparken, üç boyutlu bir sahnenin gerçekçi bir iki boyutlu gösterimi için temel bir perspektif anlayışı olduğunu düşünüyoruz. Ancak Brunelleschi’nin bakış açısı anlayışı, binaların tasarımında, istediği görsel etkinin gözlemcinin tüm konumlarından görünür olmasını sağlamak için tasarımlarını oluştururken kullanıldı. Eskilerin oran ve simetri kurallarını takip etmek Brunelleschi için önemliydiama bu güzelliğin matematiksel prensiplerini tüm gözlemciler tarafından görülenlerin olmasını istedi. Bir anlamda, bakış açısından bağımsız olarak belirli bir oran değişmezliği elde etmeye ve gerçek orandan ziyade doğru olan görünür oran olmasını sağlamaya çalışıyordu. Argan yazıyor : –
Bakış açısı ne ortaya çıkar, ne yaratır, ne de icat eder. Daha ziyade, mimarinin uzaysal verilerine uygulanabilecek, orantılı ya da akla indirgeyebilecek esasen kritik bir yöntem ya da süreçtir. Platonik etki, uzunlamasına ve merkezi diyagramların sentezindeki bir tefekkür perspektifine, teorik olarak tek bir noktaya yönlendiren bir perspektife, Aristotelesciliğe hakimdir.
Brunelleschi zamanından kalma ünlü matematikçilerin çoğu mimarlığa katkıda bulundu. Alberti , Brunelleschi’nin ilk defa parlak buluşlarını yazdığı perspektif üzerine önemli bir metnin yazarı olmasının yanı sıra konuyla ilgili bir metin yazdı . Mimari çalışmaları ile motive edilen genel bir orantı teorisi geliştirmek için çok sayıda matematikçiden biriydi.
Leonardo da Vinci’nin adı matematikten çok çarpıcı tablolarını düşünmesine rağmen, aslında matematikten etkilendi. Mimarlık onun uzmanlık alanlarından bir diğeriydi ve bu konuda, özellikle de arkasındaki matematiksel ilkeleri Alberti’nin metinlerini incelemekten öğrendi . Çok çeşitli yetenek ve ilgi alanlarına sahip biriydi ve kariyerinin bir aşamasında mimarlık, tahkimatlar ve askeri konularda Milan Dükü’ne danışmanlık yaparak hayatını kazandı. Ayrıca hidrolik ve makine mühendisi olarak kabul edildi. Ayrıca Cesare Borgia’da askeri mimar ve genel mühendis olarak çalıştı. Daha sonra Fransız Kralı Francis, onu ilk ressam, mimar ve tamirci olarak Kral’a verdim.
Rönesans döneminden bir başka matematikçi , kendisi bir mühendis ve mimar olan Pier Francesco Clementi tarafından öğretilen Bombelli idi. Bombelli , bu eğitimle kısa süre içinde hem işinde hem de karmaşık sayıları derinlemesine araştırmasında matematiksel becerilerini kullanarak hem mühendis hem de mimar olarak çalışıyordu. Hem matematik hem de mimaride yeteneklerini birleştiren bir diğeri ise , tahkimat ve kalelerin yapımını yönlendiren Bramer’dı . İçinde bulunduğu pratik çalışmanın yol açtığı, sinüslerin hesaplanması üzerine bir çalışma yayınladı. O izledi Alberti (1435), Dürer (1525) ve Bürgi(1604) 1630’da, birinin doğru geometrik perspektif çizmesini sağlayan mekanik bir cihaz yaptığında.
La Faille çağdaşıydı Bramer matematik ve askeri mühendislik kim öğretti. Tahkimatlar konusunda danışmanlık yapan bir mimar olarak çalıştı ve mekanik üzerine önemli çalışmaların yanı sıra mimari bir tez yazdı. Daha sonra 17 th Century İngiliz mimar yaşamış Wren birçok yönden, İngiliz tarihinin en iyi bilinen mimar. Çok yönlü bir bilim insanı, mimarlığı meslek olarak kabul etmeden önce bir dizi önemli matematik problemini çözdü. Her ne kadar bir mimar olarak tanınmış bir mimar olarak tanınsa da Newton tarafından gününün önde gelen matematikçilerinden biri olarak kabul edildi . Wren olduğu belliydimatematiği, çok çeşitli bilimsel disiplinlere başvuruları olan bir konu olarak gördü ve matematiksel becerileri mimari başarılarında önemli bir rol oynadı. Çalıştığı mimarlardan biri olan Robert Hooke, mimardan ziyade matematikçi olarak biliniyor. Yine matematik ve mimarlığın yakından ilişkili olduğu disiplinler bu zamanda doğal olarak kabul edildi.
Başka 17 inci yüzyıl matematikçisi oldu La Hire çıkarları geometri mimarisinin yaptığı çalışmada ortaya çıktı. 1687’de Académie Royale’deki mimarlık başkanlığına atandı . Geometriye olan ilgisi perspektif çalışmasıyla ortaya çıktı ve konik bölümlere önemli katkılar yapmaya devam etti. 19 yılında inci yüzyılın Poleni hidrolik, fizik, astronomi ve arkeoloji için katkıları olmuştur. Mimar olarak çalışmasının yanı sıra astronomi, fizik ve matematik alanlarında üniversite başkanlığı yaptı.
On dokuzuncu yüzyıl, insanların bilimsel ve sanatsal düşüncelerinde ayrılığa neden olan bir tutum değişikliği gördü. Bu dönemden itibaren, on yedinci yüzyılda söylenmeyen bir şekilde matematikçilerin ve mimarların rolleri farklı olarak görülüyordu. Bu, matematik ve mimarlık arasındaki bağlantıların ortadan kalktığını söylemek değildir, sadece bilimsel ve sanatsal yönlerin aynı kişide bulunmayan tamamlayıcı beceriler olarak görüldüğü söylenemez. Elbette hala matematik ve mimarlıkta üstünlük gösterenler vardı; sadece değişen algılardı. Mimari ve matematik alanında mükemmel bir kişinin bir örnek oldu Aronhold 1851 den Berlin Mimarlık Kraliyet Akademisi’nde ders Aronhold 1863’te Kraliyet Mimarlık Akademisi’nde profesör olarak atandı. Geometriye olağanüstü katkılarda bulundu.
Bu iki beceriyi birleştiren bu dönemdeki diğerleri arasında Brioschi ve Wiener var . 1852’den 1861’e kadar Brioschi , Pavia Üniversitesi’nde uygulamalı matematik profesörüdür. Orada mekanik, mimarlık ve astronomi dersleri verdi. Wiener , 1843’ten 1847’ye kadar Giessen Üniversitesi’nde mühendislik ve mimarlık okudu. Bu eğitimle Darmstadt’ta Technische Hochschule’de fizik, mekanik, hidrolik ve tanımlayıcı geometri öğretmenliği yaptı.
Geç 19 sayısı vardır inci Yüzyılın ve 20 inci örneğin Fransız için, matematik açmadan önce mimarları olarak kariyerlerini başladı Yüzyıl matematikçi Drach ve Amerikan Wilks . Drach matematiğe geçmeden önce mimar olarak çalıştı. Wilks , North Texas State Teachers College’da mimarlık okudu. 1926’da mimarlık dalında lisans derecesi aldı. Ancak görme kabiliyeti çok iyi değildi ve mimarlık mesleği olarak mimarlık mesleğine devam ederse bunun bir engel olacağından korkuyordu.
20 İki benzersiz yetenekleri inci Yüzyılın vardı Escher ve Buckminster Fuller . Escher , konuyla olan ilgisine ve sanatının altında yatan derin matematiksel fikirlere rağmen, hiçbir zaman matematikçi olmadı. Haarlem’deki Mimarlık ve Dekoratif Sanatlar Okulu’nda eğitim gördü ve sadece 21 yaşındayken mimarlıktan vazgeçti. Buckminster Fuller 20 ikinci yarısında binalarda yepyeni bir anlayış tasarımı geometrik ilkeleri uygulanan bir mühendis, matematikçi ve mimar oldu inci Yüzyılın. Estetik amaçlı basit geometrik formlar ve işlevsel amaçlar kullanarak yapısal saflıktan bir sanat yaptı.
Öyle mimari yapılar var ki bulunduğu yerin adı söylendiğinde, birçoğumuzun aklında ilk canlanan şeyler o yere ait bu yapılardır. Gerçekten de Mısır’ dan bahsedildiğinde dünyanın 7 harikasından günümüze ulaşan tek eser olan Keops piramitleri de zihinlerimizde canlanır.
Peki 21. yy da dahi insanları etkileyebilen bu yapılardaki sır ne?
Neden bu yapılar gözümüze hoş gelir?
İstemli veya istemsiz belli oranlar kullanılmış olabilir mi?
Altın oran insanoğlu tarafından yüzyıllardan beri kullanılmaktadır. Altın oran antik çağlardan kalan birçok eserde görülebilir. Bunlardan birisi milattan önce 2500 yıllarında yapıldığı tahmin edilen Mısır’daki büyük piramittir.
En eski kullanımına Mısır Piramitleri’nde rastlanmaktadır. Piramitlerin taban yerleşimlerinden yüksekliklerine hemen her noktasında altın oranın kullanımına rastlanmakta hatta piramitlerin bir arada incelenmesi sonucu konumlarının altın spirali oluşturduğu çarpıcı şekilde görülmektedir. Piramitlerin yapımında kullanılan bu oran birçok Mısır eserinde ortaya çıkmaktadır.
Peki ülkemizdeki mimari yapılarda da matematikten söz edebilir miyiz? Mimariyle matematiği buluşturan o ünlü ismi tanırsınız: Mimar Sinan.
Toplamda 375 eseri olan mimarın ustalık eserim dediği Dünya Kültür Mirası listesindeki Selimiye Camisi de matematikle haşır neşir olmuş bir mimari eserdir. Bunu şurdan anlıyoruz:
Türk mimarisi ve sanatında da altın oran örneklerini görmek mümkündür. Mimar Sinan’ın inşa ettiği Süleymaniye ve Selimiye Camilerinin minarelerinde, Konya’ da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin taç kapısında, İstanbul’ daki Davut Paşa Camisinde, Sivas’ta Mengüceklerden günümüze miras kalan Divriği Külliyesinde altın oran görülür.
Gerçekten de bir mimari eser eğer bugün gözümüze hoş geliyorsa bunda matematiğin kullanılmış olmasının etkisi büyüktür. Buna güzel bir örnek Mimar Sinan’ ın Selimiye Camisinin kubbesini o genişlikte oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi çözmesidir. Böylece görülmektedir ki kubbenin ve minarelerin temelinde matematik yatmaktadır.
Bu konuda Sidney’ deki opera binasından söz etmemek olmazdı. Sizce bu eserde matematik nasıl kullanıldı?
1959’da Sydney’e bir opera binası yapmak için düzenlenen tasarım yarışmasına 32 ülkeden 222 kişi katıldı. Kazanan neredeyse hiç tanınmayan, 40’lı yaşlarında Hollandalı bir mimar, Joern Utzon oldu.
Yarışma projesindeki kabuklar aslında tanımsız bir geometrideydi, ancak erken tasarım sürecinde, “kabuk” bir dizi parabol tarafından desteklenen prekast beton nervür olarak algılandı. Ancak, mühendisler bunları oluşturmak için kabul edilebilir bir çözüm bulamadı.
…
Sidney Opera Binası modern mimarinin son derece karmaşık geometrileri için yolu açtı. Tasarım bilgisayar analizi kullanımı ile karmaşık şekiller tasarımının ilk örneklerinden biriydi.
İşte bu binanın da çatı kabukları bize malzeme oluyor. Dikkat ettiyseniz kabuklar yatların yelkenlerini andırıyor. Yelkenlerin parabolik görüntüsü bir mimari eserde işte bu kadar güzel durabiliyor. Böylece de matematik en dikkat çekici malzeme olarak mimaride kullanılabiliyor.
