Kategori arşivi Matematik

Matematik ve Müzik

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler.
Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır.

Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır.

Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir.

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Bilim “doğru” yu, sanat ise “güzel” i temsil eder. Bilimde teoriler ve ispatlar vardır. Bir teori ortaya atılır ve bu teori belli prensiplere ve kurallara bağlı olarak sonuca ulaştırılır. Sanatta ise bireysel düşünceler daha ön plandadır. Kurallar ve prensipler, değişik zamanlarda değişik ekollere göre farklılık gösterebilir.
Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Bir teorinin ispatındaki güzellik matematikçiler için bir doyum noktası olabilir. Aklımıza ispattaki güzellik nedir diye bir soru gelebilir. Daha kısa olması mı? Daha kolay olması mı? Sertöz’ün (1996: 6,7) “Matematiğin Aydınlık Dünyası” isimli kitabında Tosun Terzioğlu bunu ” matematiğin iç estetiği” olarak adlandırmaktadır ve bu yüzden matematiği sanatla bağdaştırmakta ve hatta en çok müzikle ilişkilendirmektedir. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar. Müzikte önce “güzel” vardır, sonra “doğru”. Ancak bu tartışılabilir. “Hermann Weyl şöyle demiştir, “Çalışmalarımda her zaman doğru ile güzeli birleştirmeyi denedim; fakat bir tanesini seçmek zorunda kalsam, genellikle güzeli seçerim.” … İngiltere’nin önde gelen matematikçilerinden G.H.Hardy ise kitabında şöyle demektedir, “Dünyada çirkin matematiğe yer yok” ” (Rothstein,1996: 139). Matematikteki güzel bir ispat insanları kolay kolay ağlatmaz, öte yandan müzikteki güzel bir beste veya icra dünyadaki dengeleri hiçbir zaman değiştiremez.

Matematik, önünüze bir problem koyar ve çözmenizi ister. Bir süre sonra bir bakarsınız ki önünüze konulan problemler birbirleri ile bağlantılı, uyumlu, karışıklıklar içinde çok basit gerçekler gizlenmiş. Sizin bulmanızı bekliyor. Doğru, güzel ve uyumlu. Kimileri matematiğin doğadan geldiğine inanırlar. Matematik zaten vardır ve biz onu anlamaya çalışırız. Kimileri ise matematiği insanların yarattığına inanırlar. ” Müzik, nedensiz bir şekilde insanı harekete geçirmede etkilidir, matematik ise nedensiz bir şekilde doğayı harekete geçirmede etkilidir” (Winkel, 2000: 5).
Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir? Birçok insan için matematik kısaca “baş belası” dır. İnsanlar matematiği sevmediklerini söylemekten sakınmazlar. Bazı insanlar için ise matematik hayatın kendisidir ve sevmenin bir yoludur. Bunun için de anahtar matematiği anlamaktır.

Matematik ve müziği birbirinden ayıran önemli unsurlar olmasına rağmen bu iki disiplin birçok açıdan son derece ilişkilidir. Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir.
Matematik ve müzik ilişkisi çeşitli boyutlarda düşünülebilir; İlk olarak müziğin kökenindeki matematikten bahsedebiliriz. Müziğin armonik yapısı matematikseldir. Sadece matematikseldir demek yanlıştır ancak belirli kurallara bağlı olarak biçimlendirilir. Tarihin değişik dönemlerinde değişik kurallar uygulanmıştır ancak mutlaka matematiksel bir köken olmuştur. İkinci olarak müziğin bilişsel aktiviteler üzerine etkisi akla gelmektedir. Gerek arka plan müziği olarak kullanılan müzik, gerekse müzik eğitimi kişilerin bilişsel performanslarını dolayısı ile matematik performanslarını geliştirmektedir. Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı” , matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

MÜZİĞİN TEMELİNDEKİ MATEMATİK

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. “Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır. Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton’un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır. Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları şaşırtıcı gelmemelidir” (Archibald,1923: 2). Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki ilişkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür. Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır. Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur. Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur.
Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi “tetrakord” olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize “altın oran” konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır.
Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.
2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M )
Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.
Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)
Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.
Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;
3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m
2:27/32=16/27 6M
2:64/82=81/128 6m
2: 8/9=9/16 7m
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.
Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir .
Tampere edilmiş 5 li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür.
Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995).
Euclid (M.Ö. 300)’in çalışmaları temel olarak Pythagoras’a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Maj. 3 ‘lü ve Maj. 6’lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid ‘in Maj. 3’lüsü 4/5=64/80 iken, Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).
Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine ‘oran’ anlayışı büyük önem taşımaktadır. Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ’a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır. Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.
Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci’dir. Leonardo Fibonacci (1175-1240) bir İtalyan matematikçisidir. Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak ençok “tavşan çiftliği” problemi ile meşhur olmuştur. Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur. Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Burada bizim için önemli olan orandır. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398……Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,
(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.
Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings, percussion and celeste” parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel’in “Hallelujah” eseridir. Bu eserde toplam 94 ölçü vardır. En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin girişi “Kings of kings”, 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. Yani 94 ölçünün 8/13 inde. 94. 8/13=~58. İlk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34. ölçüdür) “The Kingdom of Glory…”teması başlamaktadır. İkinci 37. ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) “And he shall reign…. ” tekrar solo trompetlerin görüldüğü önemli bir bölüm gelmektedir. Haendel’in bu kompozisyonu yazarken ne düşündüğünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek, müzikte altın oranın kullanılabileceğini bize göstermektedir (Beer, 1998:8).

Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996).

19. yy. da J. Fourier, müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduğu görüşünü savunmaktadır. Bu doğrultuda yeni bir ses sistemi geliştirmiştir. Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiştir. Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kişinin fiziksel koşullara göre algılaması gerektiğinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliştirmiştir. Bu bir tür “deneme teorisi” dir. ( Gönen, 1998:13)

MÜZİĞİN MATEMATİK EĞİTİMİNE KATKISI

Müzik çok etkin bir eğitim aracıdır. Sadece matematik için değil birçok alanda çok etkili bir araç olarak eğitimde kullanılmaktadır. Müzik pek çok insan için bir eğlence kaynağıdır. Duyguları harekete geçirir. Müzik dinlemek, bir enstrüman çalmak, dans etmek bize büyük zevk verir . Müzik özellikle çocuklarda duygusal, sosyal,. fiziksel ve bilişsel açıdan çok etkilidir. Müzik beynimizi harekete geçirir. Bu yüzden müzik, daha iyi beyin faaliyetleri için araç olarak kullanılabilir. Yapılan pek çok araştırmada görülmüştür ki; pek çok çeşitli becerinin müzik ile öğretimi çok daha etkilidir.
Dünyanın değişik yerlerinde matematik eğitimi ile ilgili yapılan pek çok araştırmada, verilen eğitimin yeterli olmadığı, yeni yaklaşımlar üzerinde çalışılması gerektiği yönünde sonuçlar ortaya çıkmaktadır. Matematik pek çok ülkede eğitim açısından en sıkıntılı derstir. Buna önyargılar, yetersiz altyapı, yetersiz imkanlar gibi pek çok sebep sayılabilir. Ancak sonuçta şu konuda hemen herkes birleşmektedir ki; matematik eğitiminde yeni yaklaşımlara ihtiyaç vardır. Müzik, özellikle okul öncesi dönemde çok daha etkin bir öğretim aracı olarak kullanılabilir. Okul öncesi dönemde verilecek temel matematiksel kavramlar müzik ile çok daha etkin bir şekilde verilebilir Okul öncesi dönem, çocukların yeteneklerini ortaya çıkartmak ve yönlendirmek açısından büyük önem taşımaktadır. Matematiğin ve müziğin temeli bu dönemde atılmalıdır.

Araştırmacılar küçük çocuklarda, ileri matematik çalışmaları yapılamayacağı fakat onlara çok hoşlanacakları için müzik dinletmenin de yüksek beyin fonksiyonlarını sağlayacağını düşünmektedirler. Shaw (2000) çocuğa, tercihen okulöncesi dönemden başlayarak, okullarda verilen müzik eğitiminin onun uzamsal temporal akıl yürütmesini, dolayısı ile de ileride matematik performansını olumlu etkileyeceğini ifade etmektedir. Daha kalıcı bir beyin gelişimi için çocuklarda uzun yıllar piyano eğitimi uygulamasını da önermektedir (Shaw,2000:32,22)
Müzik ile bilişsel aktivitelerin gelişimi konusunda yıllardır çeşitli araştırmalar yapılmıştır. Ancak medya tarafından ençok ilgi gören araştırma 1993’te “Mozart Etkisi” (Mozart Effect) olarak duyurulmuş ve çok dikkat çekmiştir. Araştırma Frances Rauscher tarafından yürütülmüştür. Amerika’da Psikoloji bölümünde okuyan 38 öğrenciye 10 dakika süre ile Mozart’ın iki piyano için yazdığı Re Maj. Piyano Sonatı (K.V.448) dinlettirilmiştir. Daha sonra öğrencilere üç boyutlu düşünme testi uygulanmıştır. Sonuçta, kontrol grubuna kıyasla Mozart dinleyen gruptan 8-9 puan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. Müzik ile üç boyutlu düşünme arasındaki ilişki o dönemde ortaya atılmıştır. Sonuçlar açıklandıktan sonra araştırmacılardan birisi olan teorik fizikçi Gordon Shaw Mozart müziğinin beyne jimnastik yaptırdığını öne sürmüştür ve şöyle demiştir : ” Karmaşık yapılı müziğin matematik ve satranç gibi ileri düzey beyin etkinlikleri ile ilgisi olan belli karmaşık sinirsel örgütler arasındaki iletişimi kolaylaştırdığına inanıyoruz. Bunun aksine basit ve tekrara dayanan müziğin karşıt bir etki yapabileceğini düşünüyoruz. ” (Campbell,2002: 25-26).
Yapılan çeşitli Mozart Etkisi çalışmalarının yanında fareler üzerine yapılan bir çalışma ilginçtir. Farelere uzun süre Mozart müziği dinlettirilmiş ve labirent çözmede daha başarılı oldukları gözlemlenmiştir. Farelerin öğrenme düzeylerindeki artış müzik kesildikten 4 saat sonrasına kadar etkili olmuştur. (Shaw 2000.:36)

1996 yılında Avustralya’da yapılan bir çalışmada okul öncesi dönemi çocuklara 10 ay boyunca haftada 1 saat müzik eğitimi verilmiştir. Verilen eğitimin matematik yetenekleri üzerindeki etkisi incelenmiştir. Çocukların Matematik Yetenekleri Test of Early Mathematics Ability (TEMA-2) ile değerlendirilmiştir. Sonuçta müzik eğitimi alan gruptan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. (Geoghegan&Mitchelmore, 1996).
2000 yılında Bilhartz, Bruhn ve Olson tarafından erken müzik eğitiminin çocuğun bilişsel gelişimine etkisi isimli bir araştırma yürütülmüştür. Araştırmada 4 ila 6 yaş arası 71 çocukla çalışılmıştır. Çocuklar bilişsel gelişim için “Stanford-Binet Intelligence Scale (SB)” testinin dördüncü edisyonu ile ve müzik için “Young Child Music Skills Assessment(MSA)” testi ile değerlendirilmiştir. Deney grubu 30 hafta süresince, haftada 75 dakika, ebeveyn katılımlı müzik programına tabi tutulmuştur. Müzik programına katılan çocuklardan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir (Bilhartz&Bruhn&Olson, 2000: 615).
Los Angeles’ta yapılan bir çalışmada 135 öğrenciye 4 ay boyunca piyano eğitimi verilmiş ve eğitim verilmeyen gruba göre matematik puanlarında %27 oranında artış görülmüştür (AMC, 2004).
Yetenek açısından düşünecek olursak; pek çok kişi matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bir ilişki olamadığını varsaymaktadır. Matematik yeteneği olan çocuklar genellikle müzikle uğraşmaktan alıkoyulmazlar. Hatta bu çoğu zaman desteklenir. Ancak müzik yeteneği keşfedilen çocuklar için durum daha farklıdır. Bu çocuklar çoğu zaman müzikal açıdan desteklenmekte ancak bilişsel açıdan köreltilmektedir. Bu çocukların matematik yetenekleri çoğu zaman yok sayılmaktadır veya önemsenmemektedir. Oysa teknoloji çağı olan günümüzde “matematik mantığı” artık büyük önem kazanmıştır. Bilişsel açıdan eksik donanım ile mesleğe başlayan müzisyenler çoğu zaman bu eksikliği ilerleyen meslek hayatlarında hissetmektedirler.
Sergeant ve Thatcher (1974), zeka ve müzikal yetenekle ilgili üç çalışma yapmıştır. Sonuçları istatistiksel tekniklerle yorumlamışlardır ve şu sonuca varmışlardır; Tüm yüksek zekalı insanlar mutlaka müzikal değiller, fakat tüm müzikalitesi yüksek insanlar yüksek zekalıdır. Bu şekilde bakıldığında akademik zekanın müzikal başarı ile ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir. Bu noktadan bakıldığı zaman; zeki çocukları, eğer müziğe ilgileri varsa, potansiyel müzisyen olarak görebiliriz (Boyle&Radocy, 1987: 142).
2001 yılında yapılan araştırmada 8 yaş grubundaki çocukların Matematik yetenekleri, müzik yetenekleri ve soyut zekaları arasındaki ilişki istatistiksel açıdan incelenmiştir. Toplam 75 çocuğa Müzik yetenek testi, Matematik yetenek testi ve Soyut zeka belirleyici test uygulanmıştır. Öğrencilerin Müzik Yetenekleri ve Matematik Yetenekleri arasında 0,423 lük bir ilişki bulunmuştur ve bu ilişki katsayısı istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır.Yani, öğrencinin Müzik yeteneği yükseldikçe matematik yeteneği artmaktadır. Müzik Yeteneği ile Soyut Zeka arasında ise 0,295 lik bir ilişki bulunmuştur ve bu istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır. Öğrencinin müzik yeteneği arttıkça Soyut Zekası da artmaktadır. Sonuç olarak her iki değişkende (Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka Seviyesi) , Müzik Yeteneği ile ilişkilendirildiğinde anlamlı bir farklılık göstermiştir. Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka karşılaştırıldığında ise en yüksek etkinin Matematik Yeteneğinde olduğu görülmektedir. Dolayısı ile, Matematik Yeteneği ile Müzik Yeteneği arasında oldukça anlamlı bir ilişki vardır. (Karşal,2004)

SONUÇ

Matematik ve müzik pek çok açıdan birbiri ile ilişkili iki disiplindir. Antik çağlardan itibaren bu ilişki fark edilmiş ve pek çok matematikçinin ve düşünürün ilgisini çekmiştir. Bilimin ve sanatın temsilcileri sayılan bu iki disiplinin birbiri ile olan ilişkisinin etkin kullanımı günümüzde pek çok açıdan olumlu sonuçlar doğurabilir.

Müzik, özellikle okul öncesi dönemi çocuklarında etkili bir eğitim aracı olarak kullanılabilir. Bu dönemde çocukların alacakları temel matematik eğitimi ve temel müzik eğitimi “doğru” verildiği taktirde, çocukların önlerindeki ufuk bir hayli genişleyecektir. Sadece okul öncesi dönemde değil sonraki dönemlerde de gerek müzik dinlemenin gerek enstrüman çalmanın kişilerin bilişsel aktivitelerine kattığı olumlu etki pek çok araştırmanın konusudur ve küçümsenemeyecek kadar önemlidir.

Ülkemizde müzik eğitimi verilen kurumlarda, özellikle küçük yaşta eğitime başlayan okullarda, çocuklar bilişsel açıdan oldukça yetersiz yetiştirilmektedirler. Müzik yeteneği olan çocukların bilişsel gelişimleri, eğitim sistemi içerisinde, bilerek veya bilmeden genellikle engellenmektedir. Günümüz teknoloji çağıdır. Her alanda olduğu gibi müzikte de teknoloji her geçen gün ilerleyerek kullanılmaktadır. Müzisyenlerdeki matematik mantığı artık daha çok önem kazanmaktadır. Tüm bunların yanı sıra, bilişsel açıdan daha ileri çocuklar müziği de çok daha kolay algılayabilmekte ve ilerleyebilmektedir. Bu iki disiplinin yetenek anlamında da ilişkili olduğu düşünülürse müzikalitesi yüksek olan çocukların zihinsel kapasitelerinin çok daha ileri olduğu unutulmamalıdır.

Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL
Marmara Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Öğretim Üyesi

sonraki yazı Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

Müziğin İçindeki Matematik

Yazar: admin Kategori matematik, müzik

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar.

Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir?

Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir.

Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.

Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.

2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)

Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir.

Müzikte önemli olan bir başka isim matematikçi Fibonacci’dir. Onun meşhur tavşan çiftliği problemini hatırlayanlar 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… sayı dizisini bilirler. Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398…

Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakordu oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.

Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Ünlü matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı”, matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

Prof. Dr. Ece Karşal

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Matematik ve Astronomi geleneğinin temsilcisi

Yazar: admin Kategori astronomi, geleneğinin, Matematiğin, temsilcisi

On beşinci yüzyılda yaşamış olan önemli bir astronomi ve matematik bilginidir. Babası Timur’un torunu olan Uluğ Bey’in doğancı başısı idi. “Kuşçu” lâkabı buradan gelmektedir. Ali Kuşçu, Semerkand’da doğmuş ve burada yetişmiştir. Burada bulunduğu sıralarda, Uluğ Bey de dâhil olmak üzere, Kadızâde-i Rûmî (1337-1420) ve Gıyâsüddin Cemşid el-Kâşî gibi dönemin önemli bilim adamlarından matematik ve astronomi dersleri almıştır.

Alaeddin İbn Muhammed el-Kuşçu olarak bilinen Kuşçuzâde Alâüddîn Ebû el-Kâsım Ali İbn Muhammed, XV. yüzyılın başlarında Maveraünnehir bölgesinde Semerkand‘da doğdu. Babası Muhammed doğan besliyordu, Uluğ Bey‘in (1394-1449) doğancısı olduğu için önce Kuşçuzâde, sonradan da Kuşçu lakabıyla tanınmıştır. Eğitiminin önemli bir kısmı Uluğ Bey‘in sarayında ve onun yakın çevresinde geçti. Uluğ Bey’den, Gıyâsüddîn el-Kâşî‘den, Kadızâde-i Rûmî‘den ve Uluğ Bey’in etrafındaki diğer bilim insanlarından matematik ve astronomi dersleri aldı. Uluğ Bey ondan “faziletli oğlum” diye bahseder. Ali Kuşçu Semerkand‘da tahsilini tamamladıktan sonra, söylentiye göre gizlice Kirman‘a gitmiş ve oradaki bilim ve düşün insanlarından dersler almıştır.

BİLİMSEL KİMLİĞİNDEN DOLAYI BÜYÜK İLGİ GÖSTERİLDİ

Kirman’da kaldığı sürede içlerinde Nasîrüddîn-i Tûsî‘nin Tecrîd el-Kelâm adlı eserinin de bulunduğu birçok kitabı okuma ve inceleme fırsatı buldu. Tûsî’nin kitabı üzerine hazırladığı ilk kelam çalışması olan Şerh el-Tecrîd (Tecrîd Üzerine) eserini de burada yazmış ve Ebû Sâid Bahâdır Han‘a takdim etmiştir. Ali Kuşçu burada kaleme aldığı bir diğer çalışması olan Risale Hall el-Eşkâl el-Kamer‘i de (Ay’ın Görünümleri Üzerine) Semerkand’a döndüğünde Uluğ Bey’e takdim etmiş ve takdirini kazanmıştır. Ayrıca Risâle der İlm-i Hey‘e (Astronomi Risalesi) ve Risâle der İlm-i Hisâb (Aritmetik Risalesi) adlı Farsça iki makale daha yazmıştır.

1449 yılında Uluğ Bey’in öldürülmesinden sonra başlayan taht kavgaları Semerkand’ı yaşanmaz hale getirince, Ali Kuşçu da, ailesiyle birlikte Timurluların sarayından ayrılarak Akkoyunlu hükümdarı Uzun Hasan yönetimindeki Tebriz‘e gitmiştir. Uzun Hasan bilime ve bilim insanlarına değer veren bir hükümdardı. Ali Kuşçu’ya bilimsel kimliğinden dolayı büyük ilgi gösterdi ve aralarındaki anlaşmazlığı çözmesi için Fatih Sultan Mehmed‘e elçi olarak gönderdi.

ALİ KUŞÇU’NUN BİLGİSİNE HAYRAN OLAN FATİH

Kendisine İstanbul’da çalışmasını teklif etti. Ali Kuşçu da elçilik görevini tamamladıktan sonra İstanbul’a dönmeye söz verdi. Elçilik görevini tamamlayan Ali Kuşçu İstanbul’a döndü. Fatih Sultan Mehmed, yolculuğu boyunca kendisine refakat etmesi için bir heyet gönderdi ve

İstanbul’da büyük törenlerle, armağanlarla karşılanmasını sağladı.

Karşılayanlar arasında İstanbul kadısı Hocazâde de vardı. Fatih Sultan Mehmed, huzuruna kabul ettiğinde Ali Kuşçu’ya Hocazâde’yi nasıl bulduğunu sormuş, o da “Acem’de Rum’da benzeri yok” deyince Fatih de “Arap’ta da benzeri yoktur” demiştir.

Ali Kuşçu İstanbul’da daha önce Farsça hazırladığı Risâle der İlm-i Hisâb adlı çalışmasını genişleterek Arapça bir redaksiyonunu yapmış ve Muhammediye adıyla Fatih’e sunmuştur. Matematik alanındaki bu önemli çalışmasının ardından, Risâle der İlm-i Hey’e adlı çalışmasının da Arapça, genişletilmiş redaksiyonunu hazırlamış ve Fatih’in Uzun Hasan ile gerçekleştirdiği Otlukbeli Savaşı‘nın (11 Ağustos 1473) kazanıldığı gün Fethiye adıyla Fatih’e sunmuştur. Fatih Sultan Mehmed, savaş dönüşü Ali Kuşçu’yu Ayasofya Medresesi’ne müderris tayin etti. Bu tayin İstanbul’da astronomi ve matematik alanındaki çalışmalara canlılık getirmiş, hatta Ali Kuşçu’nun derslerini bilim insanları dahi takip etmiştir. Ali Kuşçu ayrıca Molla Hüsrev‘le birlikte Semâniye Medreselerinin programını hazırlamış, İstanbul’un boylamını 59derece, enlemini de 41 derece 14 dakika olarak belirlemiştir.

Astronomi çalışmalarında kullandığı Güneş saati Fâtih Camisi‘ndedir. Ali Kuşçu 15 Aralık 1474’te İstanbul’da öldü. Yetiştirdiği öğrenciler arasında Osmanlı bilim tarihinin iki önemli ismi Mîrim Çelebi ve Molla Lütfî de vardır.

MATEMATİK ALANINDA EN TANINAN ESER

Ali Kuşçu’nun matematik alanında en tanınan eseri Muhammediye‘dir ve Osmanlılarda en fazla ilgi gören hesap kitabı olma özelliğini taşımaktadır. Kitap iki bölüm (fen)

olarak düzenlenmiştir, birinci bölüm aritmetiğe, ikincisi ise arazi ölçümü konusuna ayrılmıştır.

Birinci bölüm bir giriş ve beş makaleden oluşmaktadır. Hint hesabı (Onluk Dizge) konusuyla ilgili olan birinci makale üç alt bölümden oluşmaktadır. Birincisi rakamların biçimleri

ve dizilimi, ikincisi tam sayılarla hesap, üçüncüsü ise kesirli sayılarla hesap konusundadır. Ali Kuşçu bu konuları çok yalın ve anlaşılır bir şekilde ele alıp açıklamıştır. Açıklayıcı özelliği yüksek olduğundan uzun yıllar medreselerde ders kitabı olarak okutulmuştur.

İkinci makale, müneccim hesabı (Altmışlık Dizge) konusundadır ve burada da bir sayının iki katını alma, toplama, çarpma, çıkarma, karekök hesaplama ve aritmetiğin önemli bir konusu olan sağlama ele alınmıştır.

ASTRONOMİ VE MATEMATİKSEL COĞRAFYA DA UZUN YILLAR OTORİTE

Ali Kuşçu aritmetikte olduğu gibi astronomi ve matematiksel coğrafya konusunda da uzun yıllar otorite olmuştur. Bu konuda kaleme aldığı eseri Fethiye, hem ders kitabı olarak yaygınlaşmış, hem de üzerine birçok bilim insanı tarafından yorum ve açıklama yazılmıştır.

Kitap bir giriş ve üç makale olarak düzenlenmiştir. Birinci makale gezegenlerin konumları ve dizilimleri üzerinedir. Burada kürelerin sayısı, gezegenlerin enlemsel, boylamsal ve hem enlemsel hem de boylamsalhareketleri incelenmektedir.

İkinci makale Yer’in biçimi, iklimlere bölünüşü ve göksel olgulara ilişkindir. Burada ayrıca ekvatorunözellikleri, enlemi 90 derece olan bölgelerin özellikleri, günler, gece ve gündüz uzunlukları, ekliptik yayın ufuktan yükselişi, gezegenlerin meridyenden geçiş, doğuş ve batış dereceleri gibi konular incelenmektedir.

Üçüncü makale uzaklık ve büyüklük miktarlarına ilişkindir ve Yer’in büyüklüğü, Ay’ın evrenin merkezine olan uzaklığının Yer’in yarıçapı cinsinden bilinmesi, Ay’ın ve Güneş’in çapının bilinmesi gibi konular hakkındadır.

Fethiye’nin ilginç bölümlerinden biri de evren sisteminin betimlendiği bölümdür. Birinci makalenin birinci bölümünde evreni oluşturan kürelerin sayısı ve nasıl sıralandıkları anlatılmaktadır. Ali Kuşçu evrende dokuz küre bulunduğunu, bunların birbirlerini çevrelediğini belirterek, en dışta kürelerin küresinin (felek el-eflak) yer aldığını, sonra sırasıyla Satürn, Jüpiter, Mars, Güneş, Venüs, Merkür ve Ay küresinin dizildiğini ileri sürmektedir.

Konuyla ilintili olması dolayısıyla, boylamsal ve enlemsel hareketler ile dışmerkezli ve çembermerkezli düzenekler hakkında da bilgi vermiştir. Yer’in şekli ve iklimlere bölünmesi konularını da irdeleyen Ali Kuşçu, gezegenlerin büyüklük ve uzaklıklarını da ele almış, konuyu açıklayabilmek için gerekli daire çevresi ve alanı, küre yüzeyi ve hacmi, birbiri ile orantılı dört miktardan bilinmeyen miktarın nasıl hesaplanacağı, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranlar gibi matematiksel bilgiler vermiştir.

Ali Kuşçu bu bölümlerde, yer yarıçapını birim kabul ederek, her gezegenin en uzak mesafesinin altında bulunan gezegenin en yakın mesafesine eşit olacak biçimde ve gezegen kürelerinin yarıçaplarının bir listesini vermektedir. Ali Kuşçu’nun her gezegen için verdiği en uzak ve en yakın mesafe toplanıp ikiye bölündüğünde, gezegenlerin evrenin merkezine, yani Yer’e ortalama uzaklıkları yaklaşık olarak elde edilir.

İSTANBUL’A GELİŞİYLE BAŞLATTIĞI YENİ BİLİM GELENEĞİ

Ali Kuşçu, Maveraünnehir‘de gelişen matematik ve astronomi geleneğinin temsilcisi olarak İstanbul‘a gelmişti. Aslında bu Osmanlı bilim tarihi açısından önemli bir olaydır. Çünkü o tarihlerde İstanbul’da Ali Kuşçu ayarında astronomi bilgini yoktu. İstanbul’a gelişiyle başlattığı yeni bilim geleneği, hem Maveraünnehir bilim geleneğinin

stanbul’a taşınmasını sağlamış hem de astronomi biliminin Osmanlılarda yayılmasına neden olmuştur. Diğer taraftan, eserleriyle de çok sayıda medrese öğrencisini etkileyerek birçok önemli bilginin yetişmesine yardımcı olmuş, Osmanlı dünyasında matematik ve astronomi bilimlerinin temellerini atmıştır. Ali Kuşçu, Molla Hüsrev ile birlikte Fatih Medreseleri‘nin programlarını hazırlamıştır.

Burada dikkat çekilmesi gereken nokta, bu medreselerin çerçevesini çizen vakfiyede, dini bilimlerin yanı sıra pozitif bilimlerin de okutulmasının şarta bağlanmış olmasıdır.

sonraki yazı

Uzayın Matematiği

Yazar: admin Kategori astronomi, mayematiği, uzay

Fizik evrende gerçekleşen olayları açıklamaya yarayan bir bilim dalıdır. Fizik mi matematiğin içinden çıktı ya da matematik mi fiziğin içinden çıktı gibi sorular tavuk ve civciv sorusunun tıpatıp aynısıdır. Kendi şahsi görüşüm matematiğin fiziğin içinden çıktığı yönünde. Newton zamanına gittiğimizde bazı nesnelerin mekanik tasvirlerini açıklamak için hız ile zaman arasında denklemler kurulmaya başlanmıştır.

Bilimin gelişmesi ile biz matematikçilerin ortak çalışacağı cebir sayılar kuramı topoloji gibi konulardan bir tane daha eklenerek ki bu eklenen matematiksel fizik bilimi olmuştur. Matematiksel fizik işte tam da matematik ve fizik arasında ne tür ilişki olduğunu fiziksel yasaların matematiksel denklemler ya da tasvirlerle açıklanabileceğini ifade etmiştir. Zaten fizik ya da matematikten en az biriyle uğraşan bir insanın arada nasıl kuvvetli bir bağ olduğunu anlamıştır. Bunlardan en önemlileri uzay – matematik – fizik üçgenidir.

Evreni inceleme imkanı veren astronomi iyi derecede bir fizik ve matematiğin karışımıdır. Gök cisimlerinin incelemek ve yer tayini yapmak açısal momentum ile hesaplanan bir olaydır. Bu da matematik ile ortaya konulur. Birçok kez gezegenlere fırlatılan uzay mekiklerinin yine fiziksel denklemler içeren fırlatma mekanizması ile yapılmaktadır. Evrende başıboş dolaşan asteroid kuşaklarından kopan parçalar dünyaya zarar verip vermeyeceği ya da ne kadar yakından geçeceği gibi teknik bilgiler matematik ile hesaplanan konulardır. Peki başka bir gezegene dünyadan giden bir insanın kaç yaşında döneceği, kaç yıl geçeceği, kaç yıl sonra orada olacağı gibi bilgilerde matematik ile hesaplanmaktadır.

Genel Görelilik adı verilen teori ikiz insanların birisinin uzayda diğerinin ise dünyada kaldıklarında yıllar sonra uzaydan dönen insanın daha genç gözükeceği matematiğin açıklamasından başka bişey değildir. Zaten biz bunları söylemesek bile Galileo “Evrenin kitabı matematiktir. Evren matematik ile yazılmış bir kitaptır.” gibi güzel bir söz söyleyerek tüm bunlara açıklama getirmiştir. CERN gibi dünyaca ünlü araştırma merkezinde tanrı parçacığına ilişkin tüm öngürüler matematiksel hesaplamalardan kaynaklanmaktadır.

Astrofizikçiler galaksilerin fotoğraflarını çektiklerinde “Fibonacci dizilerinin” salyangoz kabuğu temsili resiminin aynısını görmüştür. Kulağımızda işitmeyi sağlayan salyangoz, samanyolu galaksinin kolları olan salyangoz kolları aynı biçimdedir ve bunlar Fibonacci salyangozundan başka bişey değildir. Dünyamızın kuzeyinde Aura ışıklarının oluşumu sonrası Bristol Üniversitesindeki araştırmacılar bu oluşan ışıkların denklemsel bir şekilde parladıklarını bularak önemli gelişim kaydetmişlerdir. Evrendeki matematik birçok makale dergilerinde kapak sayısı olmuş popüler bir konudur. Evrenin işleyişi fizik ve matematik kardeşliğinin bir sonucudur.

Evrenin Big Bang gibi bir patlamadan sonra oluştuğunu biliyoruz. Ya da sanıyoruz… İşte Dünyanın ilk kuruluşu ve günümüzdeki basınç dengesinde değişme sadece 1 kuadvindir. Bu da kalem ucunun milyonda biri… Şaşırtıcı! İnsanoğlu dünyayı parçalamak için son sürat devam ettikleri çalışmalar neticesindeki değişim matematik ile hesaplanmıştır. Uzay – Zaman gibi derin konular ya da Görelilik Kanunu, Çekim Kanunları birer fizik kanunu olmasına rağmen evren ile ilgili bir takım düşünceleri ortaya koymaya yardım etmektedir. Son yıllarda Kara Madde, Kara Delik gibi esrarengiz konular tartışılmaktadır. Bu maddelerin içinde zamanın boyutun ne olduğu fizik biliminin içinde bulunan matematiksel kanunlarla hesaplanmaktadır. İşte tüm bunlar bizi matematik ve evren arasındaki bir ilişkiye götüren kumsaldaki bir kum tanesi… Son olarak bilim dünyasının evrendeki çok boyutluluk ile ilgili sorusu matematikçiler tarafından araştırılıyor. Özellikle yazının başında da açıkladığım gibi matematiksel fizikle uğraşan bilim insanlarına büyük görev düşmektedir.

sonraki yazı Matematik ve Astronomi geleneğinin temsilcisi

Astronomide Matematiksel Teknikler

Yazar: admin Kategori astronomide, teknikler

Matematik, astronomi için merkezi öneme sahiptir ve her zaman önemlidir. Gözlemler ölçüldüğü anda, gözlemlere dayanan hesaplama ve tahmin imkanı gökbilimcilere açıktı. Matematiksel gelişmeler astronomik hesaplamalarla hem uygulandı hem de motive edildi ve en ünlü astronomların çoğu aynı zamanda matematikçilerdi ve tersi de oldu. Her ne kadar teknikler giderek daha karmaşık hale gelse de, matematiksel astronomik tekniklerin çoğu cennetsel cisimlerin göreceli mesafelerinin konumlandırılması ve hesaplanması ile ilgilidir.

Bunun temeli , göksel küre üzerinde hesaplamalara izin veren küresel trigonometridir. Dünyadaki bir gözlemciden alınan gözlemlere dayanarak. Göksel kürenin düz bir yüzeye çıkması, astrolabe ve göklerin haritalanması gibi araçların yapımına izin verdi. Giderek daha doğru bir şekilde hesaplama teknikleri, astronominin kesin bir bilim olarak gelişmesi için çok önemliydi. Bununla birlikte, astronomi okuyan veya kullanan herkesin en son matematiksel teknikleri bilmediği veya uygulayamadığı akılda tutulmalıdır. Mesela, kuzey Fransa’da on ikinci yüzyılda, yurdun duvarı boyunca uzanan pencereler gibi manastırındaki mimari simge yapılara göre yıldızları yerleştiren bir keşiş kanıtı var.

Matematiksel astronominin ilk gelişmeleri Mezopotamya ve Babil uygarlıklarında, özellikle de Seleukos Krallığı döneminde (yaklaşık 320BC ila 620AD arasında) ortaya çıktı. Göksel cisimlerin tutulma ve konumlarını, enlem ve boylam dereceleri cinsinden tahmin etmek için teknikler geliştirildi ve güneşin görünür hareketine göre ölçüldü. Aritmetik yöntemlere göre tablolar referans için hesaplanmış ve yazılmıştır. Bu masalar, Babillerin (cinsiyetsel sayımsal hesaplama sistemi, matematiksel alanlarda, Erken Modern döneme kadar astronomide kullanımda kaldı) yaklaşımının birçok unsurunu benimseyen Yunanlıların erişimine açıktı. Araştırma için geliştirilen Mısır yöntemlerinin çoğu, astronomideki matematiksel problemlere de uygulanabilir.

Yunanlılar tarafından geliştirilen ve geliştirilen teknikler arasında, üç boyutta uygulanmaları da dahil olmak üzere üçgenleştirme sorunlarının geometrik çözümleri vardı. Göksel cisimlerin hareketini açıklamak ve tahmin etmek için tekdüze dairesel hareketlerin kombinasyonlarını temel alan sistemler önerildi; Eudoxus, eşmerkezli kürelerin dönüşlerine dayanan bir model öneren ilk kişiler arasındaydı. Bu tür bir model pozisyonları tahmin etmede çok doğru değildi, ancak yeni bir eğri türü oluşturdu, su aygırı, geometri için yeni bir araştırma alanı sağladı. Diğer popüler model türleri epicycles (merkezi dünyada veya yakınında bulunan dairesel bir yörüngede yörüngede dönen gezegenler) veya eksantriklere (gezegenler sırayla dünyanın etrafında dönen, gezegenin etrafında dönen) dayanıyordu. Gök küresinin daha karmaşık modellerinin geliştirilmesi, daha karmaşık hesaplamalar ve onları desteklemek için daha karmaşık bir geometri gerektiriyordu. Alandaki ders kitapları, astronomi için matematiksel teknikleri pekiştiriyordu; bunlara küresel deniyordu.

Hipparchus dahil matematikçiler ve astronomlar , açıların ölçümü için teknikler ve bu açılarla hesaplamalar için tablolar geliştirdiler. Arşimed ve Aristarchus, üçgenlerdeki sayısal oranları incelediler ve bu yeni teorilerin astronomiye uygulanmasına ilişkin sofistike teoriler ve incelemeler yayınlandı. Bu metinler astronomide hayati önem taşıyan küresel trigonometrinin öncüleriydi. Ptolemy’s Almagest bu teknikleri özetledi ve geliştirdi ve İskenderiye Hipparchus ve Menelaus bugün günümüzde sinüs fonksiyonunun değerleri olarak adlandırılacak tablolar üretti.

Yunanlıların öğrenmesi, mevcut çalışmaların cemaatine Hint ve Çince matematiksel ve astronomik metinler ekleyen Arapça alanlara iletildi.

Arap alimler, okudukları yöntemleri geliştirdi ve birleştirdiler; öngörücü astronomi, İslam’ın birçok yönünün merkezinde yer aldı. Matematiksel tekniklerdeki önemli ilerlemeler El-Hwarizmi’nin yeni ayın zamanının görünür olduğu zamanlar hakkındaki tahminlerini ve astronomik gözlemlerden namaz kılacak olan kıble veya Mekke yönünün hesaplanmasını içeriyordu.

Araplar, Rumlar üzerinden Babillilerden devralınan cinsiyet rejimi sistemi ile çalıştı, ancak daha kolay olduğu için sayıları karmaşık hesaplamalar için ondalık sisteme dönüştürdü. Baz-60 sayılarını astronomların aritmetiği olarak adlandırdılar. Ayrıca, sayı sistemine sıfırı eklemek de dahil olmak üzere, Hint sisteminin unsurlarını dahil ettiler.

Thabit ve Ibrahim, güneş saatleri için konik bölümlerin çözümü ve bunun güneş saatlerinin yapımına uygulanması da dahil olmak üzere geometrik yöntemler geliştirdi. 10. yüzyılın sonlarında Ebu el-Wafa ve Ebu Nasr Mansur, uçak ve küresel trigonometri teorilerini kanıtladı ve sinüs ve teğet yasalarını çıkardı. Trigonometrik problemlerin hesaplanması için oldukça kesin tablolar ve teknikler üretildi. Ebu Nasr’ın öğrencisi El Biruni (973-1050) bu teknikleri coğrafi ve astronomik problemlere büyük başarı ile uyguladı.

Yunanlılar astrolabı geliştirmişti , ancak Araplar yeni tekniklerini iyileştirmelerine ve her enlem derecesi için ayrı plakalar gerektirmeyen evrensel astrolaların gelişmesine uyguladılar . Göksel kürenin Yunanlılar tarafından tarif edilen düz bir düzlem üzerine yansıtma teknikleri ve göksel küre üzerindeki konumların hesaplanmasını sağlamak için düz bir yüzey üzerinde ölçek ve çizgilerin işaretlenmesi tekniklerini mükemmelleştirdiler.

10. yüzyılın sonundan itibaren Batı Avrupalı bilim adamları, Yunanlılar ve Arapların yazılarına giderek daha fazla ilgi duymaya başladılar ve çeviriler önemli metinlerden yapıldı. Astronomi, kilise eğitim kurumlarında öğrencilere öğretilen matematik derslerinin kuadriviumunun (aritmetik, geometri, astronomi ve müzik) bir parçasıydı. Üniversitelerin kurulması ile birlikte astronomi matematiği de dahil olmak üzere Yunan ve Arap metinleri incelendi. Küresel trigonometri teknikleri ve diğer önemli uygulamalı geometri teknikleri çalışıldı, yorumlandı ve Batı Avrupa enlemleri için astronomik tabloları hesaplamak için kullanıldı. Önümüzdeki birkaç yüzyıl boyunca, matematiksel astronomi üzerine yapılan çalışmaların çoğu, mevcut tekniklerin sağlamlaştırılması ve iyileştirilmesine odaklandı.

On yedinci yüzyıla gelindiğinde matematik, matematikçiler ve meslektaşları arasında gittikçe daha verimli bir iletişim aracı olarak kurumsallaşmaya başladı. Bu, matematikteki ilerlemelerin yaygın olarak bilinmesini ve daha hızlı uygulanmasını sağlamıştır. 1614’te John Napier’in logaritmalar üzerine yaptığı çalışma, astronomide matematiksel hesaplamaları basitleştirmenin bir yolu olarak hızlı bir şekilde benimsendi ve ardından yeni logaritmik, trigonometrik ve astronomik tablolar geldi. Bunlar , yeni tekniklerden büyük ölçüde yararlanan ve güneşle ilgili eliptik yörüngelere dayanan Kepler’ın Rodolphine Tablolarını içeriyordu . Tabloların ve tekniklerin doğruluğu, cennetsel cisimlerin gözlenebildiği hassasiyette olduğu gibi hızla arttı.

On yedinci yüzyılda hesabın gelişimi, bir bedenin hareket ettiği hız gibi miktarlar da dahil olmak üzere değişen miktarların daha fazla doğruluk ve kolaylıkla hesaplanmasına olanak sağlamıştır. Geometrik büyüklüklerin cebirsel ifadelerle temsil edilmesindeki gelişmeler astronomik modellerin daha da geliştirilmesine yardımcı olmuştur. Evrendeki işteki güçlerin daha iyi anlaşılması, işlerin neden daha verimli davrandıklarını hesaba katan hesaplamaları ve tahminleri sağladı ve bunu hesaplama için kullanılan matematiksel modellere yerleştirdi.

Astronomi için matematiksel tekniklerin gelişimi, on yedinci yüzyılın sonunda durmamıştı, bununla birlikte temel çalışmaların çoğu atılmıştı. Sonraki yüzyıllarda, trigonometri ve analizin temelleri üzerine inşa edilmiş ve astronomiye uygulanmış daha karmaşık matematiksel yöntemler geliştirilmiştir. Küresel trigonometri prensipleri, modern astronomi hesaplamalarının temelini oluştursa da, hesaplamalar şu anda slayt kuralları yerine bilgisayarlar tarafından yapılmaktadır.

Kaynak: http://www.sites.hps.cam.ac.uk/starry/mathematics.html

sonraki yazı Uzayın Matematiği

Astronomi ve Matematik

Yazar: admin Kategori astronomi, matematik

Astronomi; gökyüzünün gizemini açıklayan, dünyanın kökenine ve insanoğlunun gelişim sürecine ışık tutan ve evrenin küçükten büyüğe tüm yapı taşlarıyla ilgilenen bir bilim dalıdır. Astronomi kelimesinin kökeni, yunanca gök cismi anlamına gelen “astron” ile kanun, gelenek veya tayin etmek anlamına gelen “nomos” kelimelerinden gelmektedir. Astronomi insanlık tarihinde en çok merak edilen ve temeli ilk atılan bilim dallarından biridir. Bilim insanları gökyüzünü çıplak gözle binyıllardan beri, teleskop yardımıyla da yüzyıllardan beri gözlüyor. Astronomi, dünyanın ve evrenin işleyişinin daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Nasıl ki insan vücudunu iyi anlayabilmek için anatomi, fizyoloji gibi temel bilimlerin bilinmesi gerekiyorsa, insanların da evreni anlamaları için astronomi bilmeleri gerekmektedir.

Astronomi, kişiye doğru ve mantıklı düşünmeyi öğreten önemli bilim dallarından birisi olması nedeniyle, dünyada kavram düzeyinde bilgi kazandırılması için kullanılmaktadır. Astronomi, merak, hayal ve keşif duygularını güçlendirir. Matematik Terimleri Sözlüğü’nde matematik; “Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini akıl bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi, cebir, uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim” olarak tanımlanmaktadır. Matematiğin öğeleri mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten oluşur. Matematik bir disiplindir. Matematik insanın düşünce sistemini düzenler. Matematik bir yaşam biçimidir. Matematikte tek amaç yoktur. En önemli amacı insandaki doğuştan var olan düşünebilme yeteneğini geliştirebilmektir. Karşılaştığımız olayları ve problemleri inceleme ve araştırma yapmak suretiyle doğruyu bulmamızı sağlar. Doğa olaylarını açıklamada, teknolojinin her türlü mühendislik dalında, biyoloji, tıp, eczacılık, tarım, gıda vb. gibi alanlarda, ticaret, ekonomi, işletme, endüstri, maliye ve yönetim gibi alanlarda, devlet ve kurum yönetiminde, askeri alanlarda hep matematiği kullanırız. Fizik, kimya, astronomi (gökbilim) gibi fen bilimleri söz konusu olduğunda bu bilimlerin temelinde ve bugüne gelmelerinin temelinde matematik vardır. Bu temel bilimler kendi içinde ayrı bilim dallarına ayrılır. Bu temel bilimler için ara disiplinler de söz konusudur. Örneğin; Fizik-kimya, biyo-kimya, biyo-fizik, astro-fizik, jeo-fizik v.b.

Medeniyetlerin ve Bilim İnsanlarının Matematik ve Astronomi Çalışmaları

İlk çağlarda astronomi yıldız konumlarından yön bulmada, Ay ve Güneş’in konumlarından da zamanı belirlemede kullanılmıştır. Ay ve Güneş’in görünür hareketlerine dayalı olarak takvimler oluşturulmuş ve yıldızların tanrılarla ilgili olduğuna inanılması nedeniyle bu çağlarda astronomiye karşı ilgi artmıştır. M.Ö.3000-2000 yılları arasında, Çin’de dini törenlerin vakitlerini bulmak amacı ile takvim, ay ve güneş tutulmaları ve buna benzer olaylarla meşgul olan bilginlerden kurulu bir heyet vardı. İmparator Yoa (M. Ö. 2373 – 2258) zamanında bilginler günle gecenin uzunluklarını ve mevsimlerin süresini ölçmeyi başarmışlardı. M.Ö.1100 yıllarında ünlü matematikçilerden Çu-Kung’un Yer (Dünya) ile Güneş arasındaki uzaklığı ölçmek için yaptığı çalışmalar, Yer’i düz olarak kabul etmesi yüzünden hatalı bir şekilde sona ermiştir. Yunanlılar, Babilli astronomları memleketlerine getirerek onların bilgilerinden faydalanmışlar, astronomi konusunda kısa zamanda ilerleme kaydetmişlerdir. Babilli bilgin Berossos, Kos adasında bir astronomi okulu kurmuştur. Pythagoras Mısır’a yaptığı gezilerden yerin serbest küre olduğunu, yörüngesinin eğik olduğunu öğrenmiştir. Aristarkhos ile Eratostene, M.Ö. 3. ve 2. yüzyıllarda Güneş’le Yer arasındaki uzaklığı, Yer’in büyüklüğünü ölçmeye çalışmışlardır. Matematik diğer bilimlerin ilerlemesinde aşırı derecede katkı sağlar fakat bir ilginçlik burada doğuyor ki diğer bilimler de matematiğin gelişmesinde katkı sağlamıştır. Buna örnek olarak gökcisimleri ve yörüngelerin hesaplanmasında mevcut matematik yeterli olmadığı için astronotların zorlamalarıyla yeni bir konu olan diferansiyel denklemler ortaya çıkmıştır

Matematik ve astronomi birbirini yakından ilgilendiren, birbiriyle bağlantılı bilimlerdir. Bu yüzden en önemli matematikçiler astronomi ile ilgili çalışmalar da yapmıştır. Henri Poincaré (1854-1912) cebirsel topoloji konusunda olduğu gibi kaos kuramı konusunda da öncü çalışmalar yapmıştır. Üç cisim problemi ile ilgilenirken ilginç sonuçlara ulaşmıştır. Poincaré ilk kez “kaos” terimini kullanırken, başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı vurgulamış, kelebek etkisinin varlığını da dolaylı olarak ortaya koymuştur. “Kelebek etkisi” fizikçilerin ölümsüz ifadesiyle, “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta fırtına çıkabilir” şeklindedir. Kopernik, dünyanın ve diğer gezegenlerin güneş etrafında döndükleri kuralını açıklamıştır. Heliosentrik teorisi bugün Kopernik teorisi olarak da adlandırılır. Kopernik, en önemli eseri “De Revolutionibus Orbium Coelestium” adlı kitabında heliosentrik teorisini detaylı anlatmıştır. 1543’te, Nürnberg’de j. Rheticus ve A. Osiander’in çabalarıyla basılan altı kitaplık “De Revolutionibus” adlı yapıtta da detaylı olarak anlatılmıştır. Birinci kitabının son üç bölümünde sisteminin ayrıntılı bir biçimde düzenlenmesi için gerekli olan matematiksel bilgileri (döneminde çok kullanılan trigonometri kavramları) vermiştir. Son beş kitap Evren’in güneş merkezli varsayımına bağlı olarak olabildiğince ayrıntılı ve eksiksiz bir betimlemesine ayrılmıştır . Astronom ve matematikçi Ali Kuşçu’nun ise astronomi ve matematik alanında yazmış olduğu iki önemli eseri vardır. Bunlardan birisi Fatih’e sunulan ve üç bölümden oluşan “Fethiye” isimli kitabıdır. Kitabın birinci bölümünde gezegenlerin küreleri ele alınmakta ve gezegenlerin hareketlerinden bahsedilmektedir. İkinci bölüm dünyanın şekli ve yedi iklim üzerinedir. Son bölümde ise Ali Kuşçu, dünyaya ilişkin ölçüleri ve gezegenlerin uzaklıklarının hesaplanmasını vermektedir. Ali Kuşçu bu eserinde ekliptikliğin eğilimini bizzat kendisi hesap ederek 23⁰30’13” olarak bulmuştur. Bu değer bugünkü hesaplara oldukça yakındır. Ali Kuşçu diğer eseri “Risale Fi’l Muhammediye” adlı eserinde ise cebir ve hesaptan bahsetmektedir. Matematikçi, astronom ve tarihçi Uluğ Bey zamanında yeni astronomi aletleri yapılmış, eski aletler geliştirilmiştir. 9. ve 10. yüzyılda bir usturlab ile ancak 43 işlem yapılırken, Uluğ Bey zamanında geliştirilen usturlab, 1000’den fazla işlem yapıyordu. Uluğ Bey’in usturlabının çapı 40 metre idi. Uluğ Bey, bu arada gökyüzünün bir de haritasını yapmayı başarmıştı. Uluğ Bey, astronomi çalışmalarının temelini teşkil eden trigonometri ilmi üzerinde de geniş çalışmalar yaptı.

Paralaks – Birkaç bin ışık yılı içerisindeki yıldızlar Kozmik mesafe merdivenindeki tek doğrudan ölçüm yöntemi olan paralaks, yakın yıldızların uzaklıklarını belirlemek için lise sıralarında görmüş olduğunuz trigonometriden yararlanır. Paralaksı anlamanın en basit yolu, kolunuzu kırmadan önünüzde tutup baş parmağınızı gözlerinizin hizasına getirerek bir gözünüzü kapatıp bakmak ve ardından diğer gözünüzü kapatıp bakmaktan geçer. Bu süreçte parmağınız arka planda yer değiştirecektir; eğer kolunuzu kırıp suratınıza daha yakın konuma getirirseniz bu değişim artacaktır. Paralaks yönteminde, altı aylık aralıklarla yıldız gözlemlenir ve arka planındaki diğer yıldızlara göre ne kadar yer değiştirdiği hesaplanır. Bundan sonrası, lise sıralarında gördüğünüz basit trigonometri ile bulunacak kadar kolaydır.

Sefeid (Cepheid) Yıldızları – 40 milyon ışık yılı uzaklığı içerisindeki yıldızlar Astronomide “standart mumlar” parlaklığını iyi bildiğimiz gök nesneleri için kullanılan bir tabirdir. Bunun yıldızların mesafelerini belirlememize nasıl katkısı olduğunu anlamak zor değil. Arkadaşınızın parlaklığını iyi bildiğiniz bir ışık kaynağını; örneğin bir mumu; sizden yavaşça uzaklaştırdığını düşünün. Ters kare kuralına göre parlaklık uzaklığın karesi oranında azalacaktır. Bu sayede parlaklığı ölçümleyerek uzaklığı belirleyebilirsiniz.

Cepheid yıldızlarının parlaklık değişim grafiği. Bu yıldızların parlaklıklarındaki değişim çok düzenlidir ve bu sayede uzaklık ölçümü için kullanılabilir. Peki ama bu yıldızların titreşimiyle neden ilgileniyoruz? Bir Sefeid Yıldızı’nın periyodunu ölçmeniz, onun gerçek parlaklığını bulmanızı, gerçek parlaklığını yeryüzünden ölçülen parlaklıkla kıyaslamanız da yıldızın bizden uzaklığını bulmanızı sağlayacaktır. Astronomi ve matematik ilişkisi pek çok örnekte görülebilir. Tarihe adını yazdırmış astronomların öncelikle iyi birer matematikçi olmaları şaşırtıcı değildir.

sonraki yazı Astronomide Matematiksel Teknikler

ALTIN ORAN NEDİR ?

Yazar: admin Kategori altın, oran

Altın oran, matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır.

İlk olarak kimler tarafından keşfedildiği bilinmese de, Mısırlılar’ın ve Yunanlılar’ın bu konu üzerinde yapmış oldukları bazı çalışmalar olduğu görülmektedir. Öklid, milattan önce 300′lü yıllarda yazdığı “elementler” adlı tezinde “ekstrem ve önemli oranda bölmek” olarak altın oranı ifade etmiştir. Mısırlıların Keops Piramidinde, Leonardo da Vinci’nin “İlahi Oran” adlı çalışmada sunduğu resimlerde kullanıldığı bilinen “altın oran” , “Fibonacci Sayıları” olarak da bilinmektedir.

Orta Çağ’ın en ünlü matematikçisi olan İtalyan kökenli Leonardo Fibonacci, birbiri arasında ardışık ilişki ve olağanüstü bir oran bulunduğunu iddia ettiği sayıları keşfetmiş ya da diğer bir görüşe göre de Hint-Arap medeniyetinden öğrenmiş ve Avrupa’ya taşımıştır. Evrendeki muhteşem düzenle birebir örtüşen bu sayıları keşfetmesi nedeniyle, altın orana da adının ilk iki harfi olan “Fi” (Φ) sayısı denilmiştir.

Bir yapı ya da sanat eserinin altın orana yakınlığı, onun aynı zamanda estetik olarak güzelliğinin bir ölçüsü olarak kabul görmüştür.

Bir doğru parçasının (AC) Altın Oran’a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (B) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AB) büyük parçaya (BC) oranı, büyük parçanın (BC) bütün doğruya (AC) oranına eşit olsun.

Bildiğimiz gibi matematikte 3.14 sayısına karşılık gelen ve bir dairenin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilen sayıya Pİ (∏) sayısı denir. Aynı Pİ sayısı gibi altın oran da matematikte 1.618 e eşit olan sayıya denir ve Fi(φ) simgesiyle gösterilir ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894…’tür.

Bu oranın kısaca gösterimi: şeklindedir.

Altın Oran’ı tanımlamaya, bir kare çizerek başlayalım…

Şimdi, bu kareyi tam ortadan ikiye bölelim… İki eşit dikdörtgen olacak şekilde…

Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya (C noktasına) pergelimizi koyalım.

Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani dairemizin yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna oranı Altın Oran’dır. Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran’dır. A / B = 1.6180339 = Altın Oran C / A = 1.6180339 = Altın Oran

Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın dikdörtgendir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.618 dir, yani Altın Oran’dır.

Artık bu dikdörtgenden her defasında bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, hep bir “Altın Dikdörtgen” olacaktır.

İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen’in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir “Altın Spiral” elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur. Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler. Altın oran, sadece dörtgenlerde değil, üçgen, beşgen ve altıgenlerde de geçerlidir.

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.

Fibonacci dizisi, her sayının kendinden öncekiyle toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. Bu şekilde devam eden bu dizide sayılar birbirleriyle oranlandığında “altın oran” ortaya çıkar, yani bir sayı kendisinden önceki sayıya bölündüğünde altın orana gittikçe yaklaşan bir dizi elde edilir.

Fibonacci sayıları : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765… şeklinde devam eder. Bu ardışık sayılar dizisi ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır:

Fibonacci sayıları, kendisinden önceki iki sayının toplamı ile devam etmektedir. Örneğin 13 sayısı kendisinden önceki iki sayının (5+8) toplamını göstermektedir.

“İyi de, peki bu sayıların altın oran ile bağlantısı nedir?” sorusu aklımıza gelebilir, onu da şöyle açıklayalım:

Bir Fibonacci sayısının ile kendinden önceki sayıya bölümü ile elde edilen sonuç, 1,618’dir. Örneğin; 6765 / 4181 = 1,618… sonucunu vermektedir. Bu durum, 89!dan daha küçük olan Fibonacci sayıları için 0,01 gibi küçük bir farklılıkla ortaya çıksa da, büyük sayıların tamamında sonuç aynıdır. Yani dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yani 1.618’e yaklaşır, 89/55 ve sonrasında ise 1.618..’de sabitlenir.Altın oranın karşılık geldiği 1,618 sayısının matematikteki en şaşırtıcı yanı, tersinin bir eksiğine; karesinin ise bir fazlasına eşit olmasıdır. Bu yönüyle altın oran (Φ) evrende eşi benzeri olmayan, bu özelliğe sahip tek sayıdır. Bu kuralı biraz açarsak, şunları söyleyebiliriz: Bir sayının tersi, 1’in o sayıya bölünmesi ile elde edilen sonuçtur. Örneğin 2‘nin tersi 1/2=0,5‘tir. Altın oranın tersi ise, 1 / 1,618 = 0,618‘dir. Yani altın oranın tersi, kendisinin 1 eksiğine eşittir.Aynı şekilde altın oranın karesi (1,618)² = 2,618‘e, yani kendisinin bir fazlasına eşittir.Bu, şaşkınlık verecek bir durumdur ve bu özellikte başka bir sayı yoktur! Altın oran veya Fibonacci sayıları, bugüne kadar insan yapımı birçok çalışmada kullanılmıştır. Bunun yanında doğada var olan nesnelerin birçoğunda altın oranın var olduğu keşfedilmiştir. Mesela İNSAN VÜCUDU…. (ANCAK DİKKAT; elimize bir cetvel alıp ölçmeye kalkmayalım… Zira bu ölçümler bilim adamlarınca kabul edilen ideale en yakın vücut ölçüleri içindir. Ölçüler bu orana ne kadar yakın ise o kadar ideal kabul edilmiştir. )

ALTIN ORAN NEDİR

BİTKİLER…

VE HAYVANLAR….

sonraki yazı

KEŞFEDİLMEYİ BEKLEYEN ALTIN ORAN

Yazar: admin Kategori altın, oran

Altın oran keşfedilebilmiş en değerli sayı dizelerinden birisidir. Belki de Pi sayısı kadar önemlidir. Altın oran yani Fibonacci dizisini okumaya başladığınızda tuhaf verilere erişirdiniz. Örneğin, evren bu oransal dizilimde hareket etmektedir. Bugün evrenin genişlediği düşünülmektedir. Her ne kadar düzensiz görünse de altın oran rakamları ile genişlemektedir. Örneğin hastalık AO ile bağıntılı gelişir.

Hasta bölgenizi AO’nın oransal dizilimine tanıtabilirseniz muhtemelen iyileşecektir. Çünkü her şey eğer serbestlikten uzaklaştırılırsa stabilize olma ya da mükemmelleşme durumuna girebilir. AO, düzenli dizilimlere sahiptir. Bu anlamsız görünen rakamların üssel değerleri alındığında görünen fraktallar harikadır. Bir matematikçi olmamama rağmen diyebilirim ki, AO, farklı üssel dizilimlere sahiptir ve bazıları henüz bilinmemektedir.

Bir düzen veya fraktalize bir yapı inceliyorsanız onun temeli AO’ya kadar uzanır. Örneğin dünyamızda bulunan ya da bulunmayan bazı elementlerin atom dizilimi ya da birleşiklerin AO içermesi olağandır. AO, daha çok düzeni temsil eder. AO rakamları boyutumuza indirgenmiş bir bilgidir (veridir). Üst boyutların yapısını alt boyutlarda fiziken yapılandırmak zorundadır. Yoksa bu kadar sağlam uzaysal temeller oluşamazdı.

Yani fraktalize bir uzay alt boyutlardan üst boyutlara doğru genişleyen bir dizilim izler ki tersi de kısmen doğrudur. Alt boyutun AO’dan oluştuğu kabul edilirse üst boyutlar onun üssel ifadesi haline gelir. Bu haliyle üst boyutlar rakamsal karşılıkları ile (bulunabilirse) anlaşılabilir. AO, tersine üst boyutlardan alt boyutlara da bir ağacın kökleri gibi ilerler. Anlamaya çalışın lütfen doğal oluşumlardan bahsediyorum. Yoksa bizlerin AO baz almadan ürettiğimiz her şey bunun dışındadır. Bu halde bir bina dahi inşa etmeye çalışsak tam olarak AO ifade edilemeyecek, milimetrik hatalar olacaktır. Oysa hatırlayın küçük bir arı, kovanında hatasız oranlarla çalışmaktadır. Belki de bu sebepten AO dışındaki her şey yok olmaya mahkumdur.

Yaşam ve ölüm çarkı da AO kapsamındadır. Bu değerlere yaklaşılabilir (benzeri gibi kopya edilebilir) ama tesir edilemez. Aynı şey evren için de geçerlidir. Bir ve bir kaç boyutu dinamitle havaya uçuramayız. Üst boyutlarda fiziki patlayıcının anlamı da yoktur. Bu yüzden daha yüksek boyutlara o boyutlar için yetki verilmiş müdahiller etki edebilir. Fakat örnek doğru olsaydı, siz bir AO bombasıyla tüm dizilimi ve boyutları yıkabilirdiniz. Çünkü onu yıkabilecek tek güç kendisidir.

AO, günümüzde bilinen haliyle sadece bir sayılar dizisine indirgenemez. Çünkü onun hesaplanabilen rakamsal değerlerinden asıl anlamına erişilmesi için daha üst boyutlara çıkılması gerekir. Farazi bir örnekle açıklarsam, üçüncü boyutta inşa edilmiş mükemmel AO’ya sahip bir bina yapılabilirse tüm boyutlarda farklı şekillerde ve aynı anda görünür. Buradan şunu çıkarsayabilirsiniz. Eğer bir AO ile örülmüş bal peteği var ise o hem burada hem de diğer boyutlardadır. Bu basitçe budur. Hem burada görünür hem diğer âlemlerde.

Görünür kelimesini ifade etmek kolay olsun diye ‘bilinir’ ile değiştirmek istiyorum. Bilinmesi güç olan bu şeyi biraz daha hayal gücü ile ifade edeyim. AO bir cihaz gibidir. Bir saati nasıl ki sadece üzerinde duran rakamlar olarak kabul etmez isek AO’yu da edemeyiz. Kendine has bir mekanizması vardır. Sadece rakamsal değerler olarak bakmak onu biraz basite indirgemek olurdu. Demek istediğim haliyle o bir rakam değil rakamlarının bütününün ruhudur da. AO’nun rakamlarının alanı canlı farz edilebilecek türden yeni bir oluşumdur. Bu sebeple eğer böyle bir şey var edilebilirse örneğin arının yaptığı bal peteği gibi, üst boyutların bilgisini de taşıyacaktır.

Bu da onu her boyutta bilinir kılar. Arının peteğinin ilahi bir tarza sahip olup olmadığı tabi kişiden kişiye değişir. Ben açıkça evrensel bir şaheser görüyorum. AO boyutsal bir işlevdir. Yani rakamlarının ardında mekanik aksamı olan bir saat gibidir fakat aksam kendini oluşturan parçalardan farklı bir şeyleri ölçer. (insan icat ettiği şeyin, onun falanca işe yaraması için kurguladığı işlevi yerine getirdiği şey sanır ve aldanır.) Saat örneğine dönersek bize saati söyleyen rakamlar değil onlardan edindiğimiz duyusal izlenimlerdir.

Bu yüzden bazen kapı ağzında şişe açmak daha efektif olabilir. (Bilinmeyen bir yöntem olmasına rağmen çözüm beklenmedik olduğu için) Bu ölçüm dışında da tüm diğer her şey gibi tesirli veya tesirsiz enerjiler açığa çıkar.

Enerjiler onun doğasıyla da alakası olmak zorunda değildir. (Tıpkı oksijeni kirleten atıklar gibi, atıkları oluşturan maddeler beher miktarlarda ise oksijen zarar görmez fakat bir kimyasal atık halinde yoğunlaştıklarında zarar verici olurlar. Bu haliyle benim atığım kimyasal bir birleşiktir ve doğada da vardır demek mantıki bir çıkarım olmaz) Atık olarak düşünebileceğimiz AO enerjiler onun işlevinin dışında bile olsa AOsaldır. Şunu söylemek istiyorum AO’nun yan enerjilerinin atık olduğunu bile farzetsek mükemmelliğe hizmet ederler. (iyilik sever evren) AO aynı zamanda bir gözlem kabiliyeti de getirir. Sizin yarattığınız bir AO fraktalden tüm boyutları izleyebilirsiniz. (AO’ya uyumlu diğer gözlerin bilgine açmadıysanız yalnızca sizin yarattığınız fraktalden tüm boyutları gözleyebilirsiniz) Beyin fraktalize davranmayı kısmen öğrenebilir.

Yani yaydığı dalgaların fraktalize özellik kazanmasıyla AOsal hale getirilebilir, AO frekansına ayarlanabilir. Doğamız gereği programlanabilir bir yapımız var. AO’ya ayarlanmak kolay olsa gerek. Buradan şunu geriye doğru çıkarsamak istiyorum. Diğer boyutlar ile iletişim halindeyseniz, AO yeteneğinizden bahsedebiliriz. Örneğin farklı boyutlardaki varlıklara kanallık yapan kişiler kısmen AOsal zihin frekanslarına giriş yapabilmekteler. (Tek yolun bu olduğunu da söylemiyorum çünkü her bağlantı kendi özel frekansını yaratabilir)

AO, bir bilgi deposudur. Her türden veriyi saklayabilir. Bir Usb bellek ile karşılaştırabilseydik sanırım depolama kabiliyetini tüm dünyada üretilen belleklerle bile kıyaslayamazdık. Bir AO fraktale sizle ilgili bir bilgiyi bırakın, unutmayacak siz geri bağlandığınızda size sağlayacaktır. Ne yazık beynimiz ve öğrendiklerimiz neticesi ona ancak hard disk muamelesi yapabiliriz.

Evrende farklı türlü yollarla bilgi saklanabilmesine rağmen… Örneğin renk frekanslarında bilgi saklanabilir. Belki nano teknoloji yakında bunu da yapacaktır. AO’ya öğretilebilir ve zihinsel çıkarsama yapılabilir veri gömebiliriz. AO sizin için sonucu üretecektir. Biz kısaca buna ilham diyoruz. Ancak o daha komplike işler de başarabilir. AO, bir boyuttaki veriyi diğer boyutta kurgulanabilecek düzeye geliştirip orada gerçekleştirebilir. O halde siz örneğin kitabınızı dördüncü boyuta yerleştirebilirsiniz (taşıyabilirsiniz).

Ama fiziken orada olamayacaktır. Bilginin dördüncü boyutta erişilebilir haline dönüşecektir. Bu tıpkı koca bir tankerde su taşımaya benzer. Eğer çalkalandıkça tankerin yalpalamasına sebep olacaksa tankerin içindeki suyu dondururuz. Böylece gideceği yere katı halde kolaylıkla götürülebilir. Yalnızca AO’ya kitabı tanıtmanız yeterlidir. Fikir vermesi açısından materyallerin dördüncü boyuttaki halleri kanımca aleve benziyor. (dördüncü boyut buradan enerjinin akıcı ve yakıcı hali olarak görünüyor)

İstek ve arzulara gelince, onlar ya üst boyutlardan ya da alt boyutlardan çekilerek yaratılırken AO biraz daha süresiz davranır. Yaratılmamış hiçbir şey yoktur ki siz düşünmemiş olun veya tam tersi… Bu yüzden bir kere her isteğiniz AO tarafında yaratım alanında bilinir. Bu bilgidir. Fraktalize düşünme burada işe yarar. AO ile bağlantınızda ondan ihtiyaç duyduğunuz şeyi istersiniz ve yaratım alanından size ulaştırır. Gerçekleşme safhaları olsun isterseniz ağırdan alır. Bal yiyeceksiniz ama önce bir kaç arıyı kovan yapmaya ikna etmek gerekebilir. Bunu görmek isterseniz evinize haşere gelmesi kaçınılmazdır. Eğer hızla dileyebilecek kapasiteniz varsa bilgi net ve tam bir şekilde kapınızı çalar. Komşunuz sizin seveceğinizi düşünerek bal getirmiştir.

AO tüm bunların toplamı, daha fazlası ve her şeydir. Çünkü o iletişim hattı gibi davranır. Aynı zamanda yapı taşıdır. Pek çok işe yarar. Hayal gücünüzü zorlayın. Son olarak onu çağırma antrenmanı yapın. Gelecek veya görünecektir. Ya da kendini ifade edebileceği şekilde onu bilebileceksiniz. Bir kıvrım ya da düz hatta, estetik ya da sanat eserindeki çözemediğiniz gizem zihninizde soru işaretine dönüştüğünde AO görünmüş olabilir.

sonraki yazı Doğada Altın Oran

Doğada Altın Oran

Yazar: admin Kategori oran

Altın oran, Fi (phi) sayısı olarak bilinir. Neticede matematiksel bir kavramdır ve değeri de 1,618 dir. Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Fibonacci dizisinin mucidi Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi.

FİBONACCİ DİZİSİ: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144….

Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında) kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı altın orana yakınlaşmaktadır.

ALTIN ORANIN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeğinin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı, altın oranı verir.

2) Papatya: Papatya çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.

3) Mısır Piramitleri: Her bir piramidin tabanının yüksekliğine oranı yine altın oranı veriyor.

4) Leonardo da Vinci: Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.

Mona Lisa: Bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

Aziz Jerome: Yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.

Cool Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

5) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

6) Deniz Kabuğu: Deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

7) Tütün: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır. Aynı özellik eğrelti otunda da vardır.

8) Elektrik Devresi: Altın Oran sadece Matematik ve kâinatta değil, Fizik’te de kullanılıyor. Verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. Bu durumda Eşdeğer Direnç, yani Reş = altın oran olur.

9) Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

10) Mimar Sinan: Mimar Sinan’ın da birçok eserinde bu altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu oran kullanılmıştır.

11) Arı Kovanları: Arı kovanlarında yaşayan dişi arıların sayısının erkek arıların sayısına bölündüğünde hep aynı sayı elde edilir. Yani 1.618

12) Sanatta: Michelangelo, Albrecht Dürer, Da Vinci ve diğerlerinin sanat eserlerinde, Altın Orana bilinçli ve dikkatli bir bağlılık söz konusudur. Beethoven in Beşinci Senfonisinde, Bartok’un, Debussy’nin ve Shubert’in eserlerinde de gözükür. Stradivarius’ un bile ünlü kemanlarındaki F deliklerinin yerlerini belirlemekte altın oranı kullandığı bilinmektedir.

İNSAN VÜCUDUNDA ALTIN ORAN

İnsan gözünün altın orana bu kadar yakın olmasının, estetik açıdan sürekli olarak altın orana uygun şekil ve yapıları tercih etmesinin bir nedenini, yaşadığı çevre olan doğada hemen her an altın oranla karşı karşıya olmasının yanı sıra, kendi vücudunun hemen her noktasında altın orana sahip olmasında arayabiliriz. Aşağıda oranlarda insanında ne kadar altın oran örneği olduğunu göreceksiniz:

Tam Boy / Bacak boyu

Beden Boyu / Kol altı beden boyu

Parmak ucu – Omuz boyu / Parmak ucu – Dirsek boyu

Göbek – Omuz boyu / Göbek – Bel boyu

Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır. Büyük (üst) bölüm ve küçük (alt) bölüm olarak. Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka… Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.

İNSAN YÜZÜNDE ALTIN ORAN

İdeal ölçülere sahip bir insan yüzünde de sayısız altın oran örnekleri görmek mümkündür:

Yüz yüksekliği / Yüz genişliği

Alın genişliği / Burun boynu

Yüz genişliği / Gözbebekleri arası

Gözbebekleri arası / Ağız genişliği

Ağız genişliği / Burun genişliği

1.Papatya, ayçiçeği gibi birçok bitkinin yapısında :

2. Deniz kabuğunun yapısındaki eğrilikte :

3. Çam kozalağındaki spirallerin eğrilik açısında:

4. Salyangozların kabuklarında :

İnsan Doğasında Altın Oran :

Tam Boy / Bacak boyu

Beden Boyu / Kol altı beden boyu

Parmak ucu – Omuz boyu / Parmak ucu – Dirsek boyu

Göbek – Omuz boyu / Göbek – Bel boyu

Yüz yüksekliği / Yüz genişliği

Alın genişliği / Burun boynu

Yüz genişliği / Gözbebekleri arası

Gözbebekleri arası / Ağız genişliği

Ağız genişliği / Burun genişliği

sonraki yazı ALTIN ORAN NEDİR ?

Doğadaki Matematik

Yazar: admin Kategori sanat

Tabiattaki birçok şey incelendiğinde belirli bir mantık üzerine yaratıldığını görmek mümkündür. Mahlukatın tesadüf eseri vücuda gelmediği, bunun bir yaratılış sonucu ortaya çıktığını idrak etmek tefekkür ile mümkündür.

Matematikte Fibonacci adını verdiğimiz bir sayısal dizilim vardır. Bu dizilim tabiattaki birçok canlının şekil ve biçiminde mevcudiyetini gösterir. Bitki yapraklarının diziliminden tutun, ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilimine kadar birçok bitkide, hatta salyangoz kabuğundan insanoğlunun eline, koluna kadar birçok uzuvda ve canlıda bu sayıların dizilişini görmek mümkündür. İşte bu sayısal dizilim canlıların bir tesadüf eseri değil, İlahi bir kudret sonucu yaratıldığını gösterir. Fibonacci dizilimi hakkında kısa bir malumat vermek gerekirse, başlangıç dizilimi 0, 1 olup, bir sonraki sayı kendinden önceki sayının toplamıyla devam eder: 0, 1, 1(1+0), 2(1+1), 3(2+1), 5(3+2), 8(5+3), 13(8+5), 21(13+8) … şeklinde devam eder.

Bu sayısal dizilim, 6. yüzyılda Hindistanlı matematikçiler tarafından keşfedilmiş olsa da 12. yüzyılda Avrupa’ya tanıtan kişinin ismini (Fibonacci) almıştır. Esas mevzu ise bu dizilimin tabiattaki birçok canlının biçiminde görülmesi gerçeğidir.

Misal vermek gerekirse aşağıda sözkonusu Fibonacci dizilimiyle bağlantılı bir altın oran (altın spiral) şeması yer almaktadır:

Bu sayısal dizilim, tabiattaki birçok bitkide, hayvanda ve insanlarda görülmekle birlikte hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığına apaçık bir delildir.

Salyangoz kabuklarının da aynı sayısal özelliğe sahip olduğu görülmektedir. Bu spiral, altın oran ismiyle bilinmektedir. Matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en mükemmel boyutları verdiği düşünülen geometrik ve sayısal bir oran bağıntısı olarak da tarif edilmektedir.

Fibonacci dizilimi ile Altın Oran arasındaki ilişki ise dizilimde yer alan ardışık iki sayının oranının, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yaklaşmasıdır.

Salyangoz kabuklarının da Fibonacci sayısal dizilimine sahip olduğu bilim insanları tarafından kesin olarak tespit edilmiştir.

Yukarıdaki sayısal eğriyi aşağıdaki salyangoz kabuğuyla mukayese ettiğinizde salyangoz kabuğundaki bükümün sayısal dizilime göre artış gösterdiğini açıkça görebilirsiniz:

Notilus isimli deniz canlısında da Fibonacci dizilimi mevcuttur:

ABD’de yapılan bazı bilimsel konferanslarda bilim adamları, doğal olarak tabiatta oluşan hortumların da bu sayısal dizilime göre şekil aldığı konusunda ortak kanıya varmıştır.

Örneğin Amerika’da oluşan Irene isimli hortumun uydu görüntülerinde bu hesaplama yapılmış ve sayısal bir dizilime göre hortumun etrafa yayıldığı tespit edilmiştir:

Hortumlar genel olarak aynı özelliğe sahip olup, Altın Oran isimli Fibonacci spirali özelliğini taşımaktadır. Amerika’da oluşan hortumlardan bir diğer örnek de Sandy isimli hortuma aittir:

Fibonacci spirali bitkilerde de görülmektedir. Örneğin bir gülde altın oran spiralini görebilirsiniz:

İnsan kulağında da Altın Oran’ı görmek mümkündür. Aynı sayısal dizilim kulak içinde yer alan kulak salyangozunda da vardır. Kulak dışında yer alan Fibonacci spirali:

İnsan elinde eklem noktalarına göre hesaplanan Fibonacci spirali:

İnsan eli ve kolunda eklem noktalarına göre Fibonacci sayı dizilimini görmek mümkündür. El ve kolun uzunlukları arasındaki oran, Fibonacci sayılarının birbirine oranıyla (1,618) aynıdır:

Fibonacci dizilimi; 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

Bilim insanları bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artışın bu dizilime göre sıralandığını keşfetmiştir. Bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artış 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 şeklinde devam eder:

İlginçtir, tabiattaki bitkiler de yaprak, dal veya yaprak dizilim oranları itibariyle Fibonacci dizilimine göre teşekkül eder. Hangi bitkinin kaç yaprak olduğu, yaprak sayılarının dizilişi belirli bir kurala göredir.

Hiçbir yaprak veya çiçek tesadüfen ortaya çıkmaz. Hatta bir ağaçta kaç dal olacağı, dalların nereden çıkacağı, dallar üzerindeki yaprak sayıları ve hangi düzene göre yerleşecekleri belirli bir sayısal kurala göre belirlenmektedir. Hiçbir şey tesadüf eseri ortaya çıkmamaktadır. Doğadaki çiçekler de belirli bir düzene göre yaratılmıştır. Fibonacci diziliminde yer alan rakamlarla doğadaki çiçeklerin büyük bir çoğunluğunun yaprak sayıları birbirine uyum göstermektedir.

Örneğin papatyalar türlerine göre 13, 21, 34, 55, 89 yapraklıdır. Tek ve iki yapraklı çiçekler çok nadir olsa da en çok 3, 5, 8 ve 13 yapraklı çiçekler yaygınlık göstermektedir. Aşağıda 21 yapraklı papatya türü yer almaktadır.

Papatyaların ortasında yer alan başçık sayılarının dizilimi de Fibonacci dizilimi ile uyumludur.

Örneğin aşağıdaki görselde saat yönünde ve saat yönünün tersinde spiraller sayıldığında Fibonacci dizilimindeki 21 ve 34 sayıları çıkmaktadır. Yine bu iki sayının birbirine oranı 1,6 küsur Altın Oran değerine sahiptir.

Karnıbaharda yer alan ters yöndeki spiral sayıları da bu dizilimle uyum gösterir:

Kırımızı renkle belirtilen spiral sayısı 5, mavi renkle belirtilen spiral sayısı ise 8’dir. Her iki rakam da Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine olan uyum Altın Oran ile açıklanmaktadır.Brokolideki birbirine zıt yöndeki spiral sayısı 13 ve 21’dir. Bu rakamlar Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine oranı yine Altın Oran ile uyumludur.

13 spiral

21 spiral Çam kozalağında ters yöndeki spiral sayısı da Fibonacci dizilimi ile uyumludur:

8 spiral

13 spiralİşte bu uyum ayçiçeğinde de vardır. Sadece burada verdiğimiz örneklerde değil doğadaki tüm bitkilerde bu uyumu görebilirsiniz.

Fibonacci dizilimi çiçeklerin dal sayısında olduğu gibi ağaçların dal sayısında da aşağıdan yukarı Fibonacci dizilimi görülmektedir. Aşağıdaki grafikler bunu göstermektedir:

Bitkilerde yaprak dizilimi Fibonacci dizilimiyle uyumludur:

O kadar çok örnek var ki biz sadece bunları sizlerle paylaşmaya vakit bulabildik. Kim bilir daha keşfedilmeyi bekleyen nice mucizeler var… Tüm bunlar tabiattaki hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığını, her canlının kusursuz bir tasarım ile Allah tarafından yaratıldığını göstermektedir.

sonraki yazı KEŞFEDİLMEYİ BEKLEYEN ALTIN ORAN

Neden matematik tarihi, aynı zamanda sanat tarihidir?

Yazar: admin

Yeni Matematik ve Sanat adlı kitabında , tarihçi Lyn Gamwell sanatçıların binlerce yıl boyunca çalışmalarında sonsuzluk, sayı ve form gibi matematiksel kavramları nasıl kullandıklarını araştırıyor. Burada kitabından matematik ile sanat arasındaki bağlantıları ortaya çıkaran on çarpıcı görüntüyü seçti.

Sanat tarihi alanında yüksek lisans öğrencisiyken, soyut sanatla ilgili birçok açıklama okudum, ama onlar her zaman yetersiz ve yanıltıcıydı. Doktora programımı tamamladıktan sonra, biyoloji, fizik ve astronomi tarihini öğrenmeye ve modern sanatın bilimsel dünya görüşünün bir ifadesi olduğunu gösteren bir kitap yayınlamaya başladım .

Ancak birçok sanat eseri aynı zamanda zamanlarının matematiğini ve teknolojisini ifade ediyor . Matematik ve Sanatı araştırmak için matematik, grup teorisi ve yordam mantığı gibi matematik kavramlarını öğrenmek zorunda kaldım. Bu fikirleri anlamakta zorluk çeken bir acemi olarak, çoğu eğitim kitabındaki kalitesiz ve kafa karıştırıcı resimlerdeki içerikten etkilendim. Bu yüzden, kitabım için soyut kavramların kristal berraklığında görselleştirilmesi olan bir grup matematik şeması oluşturmaya söz verdim.

Manhattan’daki Görsel Sanatlar Okulunda öğretim görevlisi olarak, bu kitabı, tarihte hatırlayamadığı için tarihte asla iyi olmadığını söyleyen Maria ve lise başarısız olan Jin Sug için öğrencilerim için yazdım. cebir çünkü formülleri ezberleyemiyordu. Umarım bu kitabı okurlar ve tarihin bir hikaye kitabı olduğunu ve matematiğin büyüleyici fikirlerle ilgili olduğunu keşfederler.

İşte açıklamaları izleyen on resim:

Tarih boyunca, bilim adamları, mikron cinsinden ölçülen minik “manzaraların” tepeleri ve vadileri boyunca akarken, elektronların attığı yollar gibi doğada matematiksel desenler keşfettiler (bir mikron metrenin bir milyonda birine eşittir). Bu dijital baskıdaki elektron yolları, büyük ve küçük ölçeklerde hileli dalgalar (ucube dalgalar, katil dalgalar) üzerinde çalışan Eric J. Heller tarafından kaydedildi. Bir elektron dalgası bir bilgisayar içinden aktığında, yarı iletken bir ucube dalgası cihazın aniden düzgün çalışmasını tehdit edebilir.

Batı matematiği, soyutlamayı ve genellemeyi artırarak ilerler. Rönesans’ta İtalyan mimar Filippo Brunelleschi, geometrik objeleri belirli bir bakış açısıyla bir “resim düzlemi” üzerine yansıtmak için bir yöntem olan doğrusal perspektif icat etti. Üç asır sonra Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet, devrilen veya döndürülen uçaklar için projektif geometriye bakış açısını genelleştirdi. Daha sonra, yirminci yüzyılın başlarında, Hollandalı LEJ Brouwer, Poncelet’in projektif geometrisini, düzlemin sürekli kalması koşuluyla (delik veya gözyaşı olmadan) herhangi bir şekilde (lastik tabaka geometrisi olarak adlandırılan) gerilmiş veya çarpık yüzeylere projeksiyonlara yaygınlaştırdı; bu fotoğrafın konusu. Çağdaş sanatçı Jim Sanborn, geceleri yaklaşık 1/2 mil uzaklıktaki büyük bir kaya oluşumuna eşmerkezli çemberler düzenini yansıtarak yarattı. Daha sonra bu fotoğrafı ayın doğusundaki uzun pozlamada çekti.

Öklid ve Ptolemy gibi eski Yunan matematiği bilgisi ortaçağ Batı’sına kaybedilmiş, ancak İslam alimleri yazılarını Arapça çevirilerde korumuşlardır. Dokuzuncu yüzyılda halifeler, matematik ve felsefe alanındaki yabancı metinleri edinmeleri ve çevirmeleri için Bağdat’ta Bilgeliğin Evi’ni kurdular. Ptolemy’nin on üç cilt çalışması bugün verdikleri adla, Almagest (“en iyisi için Arapça” olarak bilinir ).

İki çağdaş matematikçiler, Rıza Sarhangi ve Robert Fathauer İslami matematikçi saygı, o pratik bir metin yazdı Bilgelik, Evi’nde çalıştı Ebu’l-Vefâ el-Bûzcânî (AD 940¬-98), Geometri olanlar Parçaları günü Esnaf tarafından gerekli . Bu baskının ortasındaki normal bir heptagonun (yedi eşit kenar ve açılı çokgen) nasıl inşa edildiğini gösterdi. Heparenin çevresi Sarhangi ve Fathauer, Buzjani’nin ismini Farsça, Farsça (Farsça) (modern İran) yazdı.

On dokuzuncu yüzyılda demiryollarının gelişmesiyle birlikte, bir seyahat için en uygun rotayı bulma konusu pratik bir ilgiydi. Konu, matematik literatürüne 1930 yılında girdi ve Viyana matematikçi Karl Menger, bunu optimal bir teslimat yolu bulmanın “haberci problemi” ( das Botenproblem ) olarak tanımladı . Yakında “seyahat eden satıcı problemi” olarak adlandırıldı: şehirlerin listesi ve her bir çift arasındaki mesafeler göz önüne alındığında, her şehri bir kez ziyaret eden ve menşe şehirine geri dönen en kısa rotayı bulun.

Amerikalı matematikçi Robert Bosch, bu sürekli çizgiyi, seyahat eden satıcı probleminin 5000 şehirli örneğinin çözümüne dayanarak çizdi. Bir mesafeden, baskı bir Celtic knot şeklinde gri bir arka plana karşı siyah bir kordon tasvir ediyor görünmektedir. Ancak yakın incelemede, görünen “gri” aslında siyah bir arka plan üzerinde hareket eden sürekli beyaz bir çizgidir. Beyaz çizgi hiçbir zaman kendi kendine geçmez – düğümden ziyade bir ağdır – ve bu yüzden başlığın cılız cevabı “Değil” dir.

1905’te Albert Einstein kütle ve enerjinin simetrisini keşfetti – kütle enerjiye dönüştürülebilir ve bunun tersi de (E = mc2). Sonra yirminci yüzyılın başlarında, Einstein da dahil fizikçiler ve matematikçiler Zürih’te toplandılar ve doğa simetrisini araştırırken grup teorisini kullandılar.

Gerstner gibi İsviçreli sanatçılar, simetri açısından doğanın bu matematiksel tanımları ile rezonans eden desenler yarattılar. Matematikçiler gibi, bu sanatçılar da temel estetik yapı taşlarını (renk ve biçim birimleri) kurdular ve onları oran ve dengeyi koruyan kurallar kullanarak düzenlediler.Advertisement

1956’da Gerstner, modüler bir sistem tasarladı – 28 grupta 196 tonlu hareketli bir palet. Gerstner’ın 196 kareden oluşan paleti, her biri 7 kareden oluşan 28 gruba sahiptir. Burada, sanatçının matematikçinin terimlerini kullanarak tanımladığı sayısız olası düzenleme vardır: gruplar, permütasyonlar, algoritmalar ve değişmezlik.

Doğal dünyanın en derin seviyelerine dair bilimsel görüşler, sanatçının Karl Gerstner’in bilim ve teknolojinin laik çağı için bu dairesel “simge” ile sembolize ettiği simetriye dayanan açıklamalardır. En simetrik geometrik form bir küredir (üç boyutlu uzayda bir noktadan eşit olan tüm noktalar). Yirminci yüzyılın sonlarında, bilim adamları, evrenin plazma alanına yayılan bir nokta olarak mükemmel simetriye başladığı sonucuna vardılar. Bebek evreni genişledikçe, ilkel küre soğutulur ve ilk parçacıkları, sonra atomları, gaz bulutlarını ve yıldızları oluşturmak için plazmadan madde yoğunlaşır. Bir noktada evrenin orijinal simetrisi bozuldu; Ortaya çıkan asimetriler, evrim sırasındaki mutasyonlara benzer rastgele kaymaların sonucu olarak görünmektedir.

Simon Thomas, bu heykel gibi eserleri matematiksel bir formülün görselleştirmesi olan genç bir İngiliz sanatçı. 1980’lerde Londra’daki Kraliyet Sanat Koleji’nde görsel sanatlar okudu ve çarpıcı fizik desenleriyle heykel yapmaya başladı, Bristol Üniversitesi’nde ikamet eden sanatçı olarak görev yaptı, ikisi de fizik bölümünde (1993–95). ve matematik (2002).

sonraki yazı

Sanat ve matematik

Yazar: admin Kategori matematik, sanat

Matematik ile sanat arasında ortak olan nedir? Bazı insanlar bu iki disiplini tanımla uyuşmaz olarak görürler. Diğer matematik bkz içinde en azından, geometri ve perspektif gibi alanlarda, teknikte. Ancak, bu bağlantının, herhangi bir disiplin ve uygulayıcıları tarafından kullanılan araçlar arasında olduğundan daha önemli olmadığı söylenebilir. Örneğin, kimse elektroniği olduğunu savunuyor içinde birçok yazar elektronik bilgisayar kullanıyor çünkü literatürde. Öte yandan, bazı insanlar “güzel” bunları yayınlama ve sanat olduğu bu dan çıkarmak, karmaşık geometrik biçimler ya da şekiller bakmak içinde matematik.

Bununla birlikte, bu makalede, bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini ve nasıl ilişki kurabileceklerini incelemek için biraz daha derine inmeye çalışacağım.

Güzellik ve oran

Eski Yunanlıların zamanından beri ve muhtemelen daha önce, sanatçılar güzellik kavramında orantılı olarak oynadıkları merkezi rolü fark etmişlerdir. Ve orantı matematiksel bir kavram olarak, kendini resmi tanımlara borçludur.

Öyleyse, oranla ilgili bazı temel estetik görevleri düşünelim.

İlk görev, bir çizgi parçasını ikiye bölmektir, böylece daha küçük iki parça birbiriyle ‘hoş’ bir ilişki kurar.

Bunu nasıl yapabiliriz? Segmenti iki eşit parçaya bölebiliriz (1: 1 oranında veya “bire bire”). Biraz fazla açık? Çok sıkıcı? Ya bir bölüm diğerinden iki kat daha uzun olacak şekilde bölüştürsek (2: 1 veya 1: 2 oranı)? Belki de bu, parçaları boyut olarak çokfarklı kılar . Belki 2: 3 veya 3: 2 oranında bölebiliriz?

Bunun gibi bir görev, her ne kadar basit gözükse de, ufkunun nereye yerleştirileceğini düşünürken her peyzaj sanatçısı ile yüzleşen şeydir.

Mı ideal cevap var? Muhtemelen hayır, hepimizin biraz “hoş” ve “güzel” kavramlarına sahip olduğumuz göz önüne alındığında. Ancak, orada olduğu çok özel özellikleri olan bir oran, yüzyıllar boyunca birçok sanatçı bazen farkında olmadan, desteklenmiş oldu. Bu oran şu şekilde tanımlanır: Daha uzun mesafeye bölünen kısa mesafe, bütün mesafenin bölündüğü daha uzun mesafeye eşittir .

İlgili bir görev, en hoş oranlara sahip bir dikdörtgen oluşturmaktır.

Çözüm, belki de çok açık bir şekilde, her iki tarafın eşit olması, diğer bir deyişle bir kare yaratılmasıdır. İki bitişik tarafın oranı 1: 1’dir.

Üçüncü görev daha karmaşık ve ilginç: bir dikdörtgeni yaratın, böylece onu ortadan ikiye bölerek orjinaliyle aynı oranlarda (ancak 90 derece döndürülmüş) iki dikdörtgen oluşturun.

Bu görevin çözümü standart kağıt boyutlarımız için temel teşkil ediyor: A3, A4, A5, A6 vb. Ve oran √2: 1 (yaklaşık 1.414: 1).

Dördüncü ve son görev bir dikdörtgen oluşturmaktır, böylece bir kareyi bir uçtan çıkarmak orijinaliyle aynı oranda daha küçük bir dikdörtgen oluşturur.

Joshua Reynolds’un James’in portresi, Lauderdale’in yedinci Earl’ü

Joshua Reynolds
James, 7. Lauderdale
Coll Başkanı . NSW Sanat Galerisi

Alan aşağıda taç oturduğu çıkıntıya bir kare. Alan üzerinde çıkıntının tüm boyama aynı oranda bir dikdörtgendir.

Görünen o ki, bu sorunun son çözümü aslında ilk sorunumuzun son çözümü ile aynı. Ve bu oran yaklaşık olarak 1,618: 1’dir. Kesin değeri (oldukça basit cebir ile kanıtlanabilir ) √5-1: 2’dir. Kendi özel adı vardır: altın oran. Hatta kendi matematiksel sembolü de var: Φ (Yunanca phi harfi ) .

Çoğu sanatçı, bir sanat eserinin, özellikle de kompozisyonunun önemli bileşenleri olarak ilişkilerin ve özellikle oranın (matematiksel olarak hesaplanmış bir oran olmasa da) önemini kabul eder. Ancak bazı sanatçılar için oran her şeydir ; başka bir şey bir dikkat dağıtıcıdır. Bu tür sanatçılardan biri Piet Mondrian. Mondrian’ın olgun stilinde (tipik olarak beyaz, kırmızı, sarı ve mavi, kalın, siyah çizgilerle birbirine kenetlenmiş dikdörtgenler), her resim tüm dünyanın bir temsilidir (veya “damıtma”) . Şimdi Mondrian sadece bu şekilde çalışmaya başladı. Daha önceki çalışmalarına bakarsanız, yirminci yüzyılın ikinci on yılı boyunca, bireyin generaline giderek yavaş yavaş hareket ettiğini, şeylerin “özünü” ararken göreceksiniz. Bu, teknikte soyutlama veya daha genel olarak indirgemecilik olarak bilinir. İndirgemecilik, kaosun düzene ve karmaşıklığın sadeliğe dönüştürüldüğü anlamına gelir .

Biraz sonra göreceğimiz gibi, bazı sanatçılar sıradan kaosa kadar ters yönde seyahat etmeyi tercih ediyor .

Matematik nedir?

Bir dizi matematikçiye “Matematik nedir?” Diye sorsanız, muhtemelen birçok cevap alırsınız. Bununla birlikte, çoğu, iki temel görüşden birine düşecektir. Biri matematiksel “nesnelerin” bizim hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğunu söylüyor. Diğer görüş, matematiksel bir “nesne” diye bir şeyin olmadığını ve matematiğin, sembollerin kuralların sistemlerine , matematikçilerin icat ettiği sistemlere göre manipüle ettiğini söylüyor . İlk görüşe “Platonizm” denir (Platon’dan sonra, günlük yaşamda yaşadığımız gerçekliğin ardında kusursuz bir formun olduğuna inanan Plato’dan sonra) ve ikincisine “formalizm” denir (çünkü matematiği biçimsel bir sistem olarak görür) . Platonistler sık sık keşfettiklerini söylerler matematiksel teoremler, formalistler sıklıkla sadece sembollerle oynadıklarını söyleyeceklerdir.

Zaten sanat ile paralellikler var. Bazı sanatçılar (örneğin Piet Mondrian veya Kasimir Malevich), yarattıkları görüntüleri, bazı gerçeklerin veya ilkelerin tezahürü olarak görür ve bu yüzden eserleri mümkün olan en gerçek gerçekleri mümkün olduğunca açıklayana kadar, daha fazla damıtmaya çalışacaktır. Diğer sanatçılar (Andy Warhol gibi) sanatın dilini sanatın konusu olarak görür , bu yüzden eserleri sembollerin “anlam” yarattığı bir dizi deney haline gelir .

Sistemden çıkma

Matematiğin (ve bilimin) özü ne soruyor ? ya da nasıl? ya da kaç? (en azından sadece bu sorular) ama neden?

Neden bir sistemden geri adım atıp atmadığını sormak – sistemin arkasındaki sistemi veya başka bir deyişle “meta sistem” i görmek. Ancak, elbette, eğer bir meta-sistem varsa, bir meta-meta-sistemi olmalı, vb. (Açıkçası, bu “sistem dışına adım atmanın” önemi, bir Platonist ve bir Formalist için farklı olacaktır.)

Bu aynı zamanda ilginç bir felsefi soru ortaya koyuyor (neredeyse teolojik bir soru): tüm sistemlerin arkasında bir “Büyük Sistem” var mı , yoksa “tamamen kaplumbağa” mı ?

Rene Magritte
La koşulu humain, 1933
Coll. NGA, Washington, DC

Sanatta olduğu kadar matematiğin seviyelerini de karıştırdığımızda bazı ilginç sonuçlar ortaya çıkıyor. Örneğin, Belçika Sürrealisti Rene Magritte’nin bu resmini göz önünde bulundurun:

Burada çalışan semiyotik “şaka” nedir (yani, semboller ve anlam hakkında bir şaka)? Temsil ve “gerçeklik” arasında bir fark olmadığı, çünkü tuvaldeki görüntüyü (resimdeki şövale üzerinde) tanımlayan boya, binaları veya çimleri tanımlayan boyadan daha az gerçek değildir.

MC Escher
Baskı Galerisi 1956
Coll. NGA, Washington, DC

Şimdi bu çalışmayı Hollandalı sanatçı MC Escher tarafından düşünün:

Dikkatli bakarsanız, kentin, galeri içeren, resmi içeren kenti “içeren” resmi içeren galeriyi içerdiğini göreceksiniz.

Bunlar gerçekten paradokslar ve biz onların garip olduklarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, her zaman bir seviye veya anlamdan diğerine geçiyoruz. Örneğin, daha önce şunu yazdım: “Bu yazıda… bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini incelemeye çalışacağım.” Başka bir deyişle, yazımda, makalenin kendisine atıfta bulundum!

Seviyeler arasında geçiş yapan bu ‘yasadışı’ normalde bir sorun değildir, fakat matematik ve mantıkta bunun gibi bulanıklıklar paradokslara yol açabilir. Bunlar bakış açınıza bağlı olarak çıldırtan veya büyüleyici olabilir. Birkaç mantık paradoksuna bir göz atalım. Saçma etkilerini sindirmek için biraz zaman ayırın.

İlk (ve en basit) kendini referans kullanır :

Bu ifade yanlıştır.

İkinci döngüsel referans kullanır :

Aşağıdaki ifade yanlıştır.
Önceki ifade doğrudur.

Üçüncü, sonsuz kümülatif referans kullanır :

Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır.
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır.
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. … vb.

Paradokslar ve küme teorisi

Birçok matematiğin inandığı bir matematiğin matematiğinin temeli olduğuna karar verilir. Bir anlamda, küme teorisi çok basittir (bu yüzden ilkokul / ilkokullarda öğretilmiştir); yine başka bir anlamda çok derin.

Bir küme basitçe “şeyler” topluluğudur. İşte bazı set örnekleri:

C: Sizinle aynı odadaki bütün insanların kümesi.

B: Sizinle aynı odada olmayan , şimdiye kadar yaşamış olan tüm insanların seti .

C: Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 numara ve Bach’s G on Air’den oluşan set .

D: Evrende Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 sayısı ve Bach’ın G’deki Havası dışındaki her şeyden oluşan set . (diğer setler dahil!). Bu “C değil” olarak tanımlanır ve “~ C” ile yazılır.

E: Set A ile birleştirilen Set A’dan oluşan set Bu, “A ve D birliği” olarak tanımlanır ve “A ∪ D” olarak yazılır.

F: Aynı zamanda Set D’ye ait olan A Grubu üyelerinden oluşan set, bu A ve D’nin kesişimi olarak tanımlanır ve “A ∩ D” yazılıdır.

Biz muktedir gerekmez Not saymak üyeleri, üyeler fiziksel nesneler olmak zorunda değildir ve üyelerin bir kümesi haline gruplandırdık olmasına daha yaygın diğer bir yönleri gerekmez. Tek şart, üyelerin (veya unsurların) iyi tanımlanmış olmasıdır .

İşte küme teorisine dayanan başka bir meraklı paradoks: Bir kümeyi tanımlayın: tüm kümelerin kümesi. Buna “U” (“evrensel” için) diyeceğiz. Eğer U bütün kümelerin kümesiyse, açıkça kendisinin bir üyesi olmalıdır. Do bütün setleri set: Artık başka kümesi tanımlamak değil kendilerini içerir. Buna “X” diyeceğiz. Soru şudur: U, X grubunun bir üyesi mi? Cevap evet olsaydı, o zaman bu U olduğu anlamına gelir değil cevap hayır, o zaman bu U anlamına geleceğini olsaydı X üyesi olan X üyesi! Paradoksun kaynağı sadece görünüşte iyi tanımlanmış bir küme (X) oluşturmak için kelimeler kullanmamızdır ; o görünüyor iyi tanımlanmış olması ama değil .

Escher Baskı Galerisi , temelde set teorisi paradoksuna ilişkin bir resimdir.

krizler

Matematiğin tarihi ve evrimi, sanat eseri gibi, bir dizi krizle işaretlendi: daha önce kabul edilmiş ilkelerin devrilmiş olduğu zamanlar.

“Matematiğin” ilk kullanımı nesneleri (muhtemelen mülkleri) saymaktı. Yani sayılar şunlardı: “1, 2, 3, 4,…” vb. Teorik olarak en büyük sayı yoktu, ancak pratikte sayılacak çok şeyin olması olasılığına göre belirlendi. Sonra kesirler tanıtıldı. Bu tam bir kriz değil, kesinlikle kavramsal bir sıçramaydı. İlk defa insanlar turtaları bir grup insan arasında adil bir şekilde bölebilirdi!

Sıfır

İlk gerçek kriz sıfırdı. Sıfır olmadan, bildiğimiz matematik (yani, sırasıyla X ve C yerine 10’u 100, 100’ü 100’ü temsil eden yer-değer sistemi) imkansız olurdu.

Peki neden sıfır bir krizdi? Bu kısmen karışıklıktı (“hiçbir şey” nasıl olabilir? ”) Ve kısmen korku – büyük bilinmeyen,“ uçurum ”.

İşte ‘sıfır uçurum’ sorununu ele alan bir sanat eseri örneği:

Kapoor’un Boşluk alanı , her biri üstte otuz santimetre açıklığa sahip dört büyük Cumbrian taş bloğundan oluşur. Her bloğun içi o kadar karanlık ve yansımasız ki, sadece deliğin ne kadar derin olduğuna bakarak bilmek imkansız. Aslında sonsuz bir şey olmaz.

Olumsuz sayılar

Negatif sayılar, diğer şeylerin yanı sıra finansal işlemlerin (alacakları ve borçlarıyla) mümkün olmasını sağlamıştır. Yine de ilk tanıtıldıklarında krize neden oldular. Niye ya? Bunun nedeni, temel “sayı” kavramını genişletmeleridir. Sayı, başlangıçta iki küme arasında bire bir yazışma anlamına gelir: sayılacak nesne kümesi ve soyut bir ‘birim’. Peki eksi 5 koyunu nasıl alabilirsin?

Bu konstrüksiyona Rus Yapılandırmacı Naum Gabo tarafından bak.

Bu etki genellikle “negatif alan” olarak adlandırılır; ancak, negatif eğrilik olarak daha doğru tanımlanır (dışbükey yerine içbükey).

Normalde heykelde, pozitif ve negatif eğrilik (örneğin, Henry Moore’un çalışması) arasında bir denge vardır, ancak bu heykelde (ve Rus Yapılandırmacılar tarafından pek çok kişi) negatif eğrilik egemendir ve uzayın döndüğü izlenimini verir. tersyüz.

İrrasyonel sayılar

Kare bir birimi bir birim hayal edin. Pisagor, köşegenin birimlerindeki uzunluğun, kareye girdiğinde ikiye eşit olan bir sayı olduğunu kanıtlamıştır (yani is2).

Bu neden bir krizdi? Matematikçiler bir zamanlar her sayının iki tam sayının oranı olarak ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Bu nedenle, örneğin 3 = 3/1 ve 3.127 = ³¹²⁷ / _{, 1000} . Bu, ölçümün temelidir: örneğin, bölümler ve alt bölümlerle işaretlenmiş bir çubuğu kullanarak uzunluğu ölçersiniz. Fakat çok fazla zorluk çekmeden 5 , kare olduğunda 2 veren hiçbir p / q (p ve q’nin tam sayıları olduğu) olmadığı kanıtlanabilir . Sonuç olarak, bir mesafeye – veya herhangi bir miktara sahip olabilirsiniz. – bu asla tam olarak ölçülemez, çünkü kesir olarak ifade edilemez. Bu sayılara ‘irrasyonel’ denir, çünkü oran olarak ifade edilemezler.

Öklid dışı geometri

Euclid’in beşinci geometri aksiyomu 6 aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir. Bir çizgiye (L) ve o çizgide (P) olmayan bir noktaya sahipseniz , orijinal çizgiye paralel olan bu noktadan geçen bir çizgiyi çizebileceğinizi belirtir. (Bu elbette her şeyin tek bir düzlemde olduğunu varsayar.)

Öklid dışı geometri, bu aksiyomu doğru olarak kabul etmeme üzerine kurulu bir sistemdir . Normal (Öklid) geometride, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamı her zaman 180 derecedir. Gelen olmayan -Euclidean geometri, ancak, toplam fazla 180 derece veya en az 180 derece olabilir. Her ne kadar ‘ortaklaşa’ ile çelişseler de, bir sistem olarak kusursuz bir şekilde tutar, yani hiçbir zaman iç çelişkilere yol açmayacak demektir.

Öklid dışı geometrinin bir kriz olmasının nedeni, negatif ve irrasyonel sayılardan açıklamak zordur, ancak Euclid’in beş aksiyomu yüzyıllardır geometrinin temeli olmuştur. Ayrıca, “ispatlara dayanma, ispatlara dayanma vb. Aksiyomlara dayanma ispatları” sistemi, matematiğin bütününün nasıl işlediğinin modeli olmuştur. Öklid dışı geometri aksiyomların mutlaklığına meydan okudu veya reddetti.

infinitesimals

Sonsuz sinyaller, sıfırdan büyük, diğer pozitif sayılardan küçük miktarlardır. Birçok matematikçi hala mantıksız sayılsa da, asırlarca kullanılan matematiğin temeli budur. Bu bir paradoksun tam tersidir: “Çalışmamalı” olmalı, ama işe yarıyor!

Kasimir Malevich’in Suprematist Kompozisyonu: Beyaz Üzerine Beyaz , “sonsuz” bir tabloya benziyor: elde edebileceğin kadar zor ama yine de resme denebilir.

Hayali (ve karmaşık) sayılar

Pozitif sayıyı karelendiğinde pozitif bir sayı elde edersiniz (örneğin 4 x 4 = 16); Eğer negatif bir sayı karesini aldığımda, sen de pozitif bir sayı elde (örn -4 x -4 = 16), iki olumsuzluk ‘birbirini iptal’ çünkü. Öyleyse, herhangi bir sayının karesi daima pozitifse, negatif bir sayının karekökü nasıl olabilir? ‘Gerçek’ sayılarla olamaz. Ama ya yapabileceğimizi hayal edersek; ya -1 karesinin “i” (“hayali” için) olduğunu söylesek? Eğer yaparsak, o zaman i ² = -1 ve √-4 = 2i.

Rakamları “hayali” veya “gerçek” olarak tanımlamak, bir tür hiyerarşi veya değer yargısı olduğu anlamına gelir. Şimdi matematikçiler isimlerin mantıksız ve keyfi olduğunu itiraf ediyorlar, ancak isimler sıkışmış ve uygun 7 . Aslında, gerçek ve hayali sayılar “karmaşık sayılar” oluşturmak için de birleştirilebilir (örn. 3i + 7).

Sonsuz sayılar

Matematikçiler uzun zamandır sonsuzluk kavramını (“mümkün olan en yüksek sayı” diye bir şey yoktur) ve daha yakın zamanda sonsuz ölçekleri kabul etmişti. Bununla birlikte, bir sonraki kriz, çeşitli sonsuz sayıların olduğu kavramıydı.

Kendine şu soruyu sorabilirsin: “Bir sonsuzluk diğerinden nasıl daha büyük olabilir?”

Bu tabloyu rasyonel sayılar veya kesirler olarak düşünün:

Göstergelerin (kesirlerin üstündeki sayıları) ızgara boyunca her adım attığımızda birer bir arttığını ve indikatörlerin (en alt sayıları) her indiğimizde bir arttığını göreceksiniz. Dolayısıyla, ızgara sonsuza kadar aşağı ve yukarı uzatılırsa, her rasyonel sayının en az bir kez listelenmesi gerekir. Postacı olsaydınız ve ızgaradaki her kesime posta yollamak zorunda kalsaydınız, hangi yolu izlerdiniz? İlk önce üst sıraya geçmek iyi olmaz çünkü bir sonraki sıraya asla geçemezsiniz. Aynı şekilde soldaki sütun için. Çözüm aşağıda mavi olan gibi bir yol izlemektir:

Gösterilen bu yolu izleyerek, belirtilen herhangi bir rasyonel sayıya ulaşılabilir – en sonunda, kesin bir adım adımdan sonra. Bu, rasyonel sayılar kümesinin “sayılabileceği” anlamına gelir, çünkü herhangi bir üye için tam sayılar kümesinin karşılık gelen bir üyesi vardır. Bu birebir yazışmalara bazen “haritalama” denir.

Tam sayılar kümesiyle eşleştirilebilen sonsuzluğa ℵ ₀ denir (telaffuz edilir) (Aleph null). Buna sonsuz sayı teorisinin öncüsü Georg Cantor deniyordu.

Umarım merak ediyorsundur, ℵ ₀ bariyerinden daha büyük sonsuz bir sayıya geçebilir miyiz ?

0 ile 1 arasında, ondalık olarak ifade edilen benzersiz gerçek sayıların bir listesini derleyelim. Bunlar rasyonel veya mantıksız olabilir. İşte her bir numara için ilk dokuz ondalık basamağı gösteren böyle bir listenin başlangıcı:

r (1) = 1  4 1 5 9 2 0 5 3
r (2) =. 3  3  3 3 3 3 3 3 3
r (3) =. 7 1  8  2 8 1 8 2 8
r (4) =. 4 1 4  2  1 3 5 6 2
r (5) =. 5 0 0 0  0  0 0 0 0
r (6) =. 2 4 4 9 1  9  3 1 0
r (7) =. 0 5 8 8 2 4  1  9 7
r (8) =. 9 8 7 6 5 4 3  2  1
r (9) =. 0 0 1 0 2 5 5 2  9

Onlar sonsuz seride olduğundan, ℵ vardır ₀ tanesi. Bununla birlikte, bir oluşturabilir yeni (3), ve benzerleri r (1), r, ikinci basamak (2), üçüncü basamak r ilk rakamı kullanılarak, fakat (her zaman ilave basamak sürece numarayı 9, bu durumda 0 olur). Yani, bu örnekte, köşegenin altındaki kalın rakamları takip ederek , .138209129… Sonra bir tane ekleyerek, .249310230 elde ettik… Bu, serimizdeki mevcut sayıların hiçbirine eşit olamaz çünkü en az birinde farklılık gösterir. her birinin ondalık basamağı. Bu, iki set arasında bire bir yazışma olamayacağını gösterir. Bu nedenle sıfır ile bir arasında daha gerçek sayılar vardır. tüm sayılar!

Bu yüzden, ℵ ₁ (“aleph one”) adı verilen sonsuz sayıda daha büyük veya “daha yüksek bir düzen ” olmalıdır. Aslında bundan daha büyük sonsuz sayılar vardır.

Nihai kriz (ve en derinine kadar), sonsuz sayı teorisinden dolaylı olarak ortaya çıktı.

Eksiklik teoremi

Tam sayıların sayısının ℵ ₀ , gerçek sayı sayısının ℵ ₁ olduğunu belirledik . Bazı matematikçiler merak ettiler, ℵ ₀ ve ℵ ₁arasında sonsuz bir sayı var mı? 1878’de Cantor, ‘önsezisinin’ (ya da hipotezinin) olmadığını söyledi. Bu Devamlılık Hipotezi olarak bilinir. Altmış yıl boyunca matematikçiler bunu ispatlamak ya da ispatlamak için çabaladılar. Nihayet, 1938’de Alman matematikçi Kurt Gödel (“kuşak” olarak telaffuz edildi) Continuum Hipotezinin (CH) set teorisi ile tutarlı olduğunu kanıtladı , ancak kanıtlanamaz (yani hiçbir zaman bir çelişkiye yol açmayacak). Ama sonra, aynı Continuum Hipotez tersi için de geçerlidir (oradaki yani olduğu ℵ _{0 ile} ℵ ₁ arasında en az bir sonsuz sayı ).

Peki hangisini kabul etmeliyiz? Cevap, ister inan ister inanma … ya! Ancak , CH’nin doğru olduğunu varsaymak daha kolaydır. “ Occam’s Razor ” olarak bilinen prensip budur (“İki karşıt teori varsa ve kanıtlanamaz veya ispatlanamazsa, daha basit olanı kabul et”).

Gödel, ispat etme ispatını genelleştirmeyi başardı: “Sayı teorisi ile ilgili olan ancak sayı teorisi sistemi ile tutarlı olan ancak kanıtlanamayan ifadeler var.”

Bu, Heisenberg’in fizikteki ünlü belirsizlik ilkesi 9 ile ilgilidir . Belirsizlik ilkesi ve kaos teorisi, evrenin kuantum doğası ile ilgilidir. Ama elbette, matematiğin soyut alanının bundan bağışık olduğunu düşünebiliriz! Görünüşe göre öyle değil.

Gödel, Platonculuk ile Formalizm arasında fazladan bir kama sürdü: Platonistler teorisine “Biçimsel sistem çok zayıf” diyerek yanıt verdi: Biçimciler, “Platonist görüş anlamsızdır, çünkü aksiyomlar keyfidir.”

Sanatta Krizler

Sanattaki ilk krizin ne olduğunu söylemek çok zor . Matematiğe kıyasla, sanatın amacı ve dolayısıyla tanımı, özellikle tarih öncesi, sanatta çok daha az açıktır. Bununla birlikte, şimdi anlayabildiğimiz gibi, sanatla ilgili üç kriz, görelilik, nesne özerkliği ve belirsizliktir.

izafiyet

İzafiyete inanmak, bir konunun gerçek ve nesnel bir temsilini yapmanın mümkün olduğu fikrini reddetmektir.

Sienalı sanatçı Sano di Pietro, Meryem Ana’yı, bebek İsa’yı, sanki hepsi cennetteymiş gibi altın varaka karşı çeşitli azizleri ve melekleri temsil ediyor. Meryem’in solundaki aziz, Mukaddes Kitaba göre İsa ile aynı zamanda doğmuş olan vaftizci Yahya’dır.

Figürlerini mimari bir ortama yerleştirerek ve nispeten yeni bir lineer perspektif tekniğini kullanarak, Floransalı Rönesans sanatçısı Raphael, konuya göre uzayda konumunu tanımlar . Şu an oradaydı, şu an Mary ve İsa’nın enthroned olduğu. İronik olarak, sanatçı hayal gücünden bir sahne oluşturmak için “Ben bu olaya tanık oldum” yazan bir teknik kullandı.

Bununla birlikte, sanattaki görelilik sadece alan ve zamanla sınırlı değildir . Aşağıdaki iki sanat eserini düşünün:

İzlenimci sanatçı Claude Monet, belirli bir zamanda, belirli bir günde, bu samanlıklara bakarak yaşadığı duyumları anlatıyor. Işık ve atmosferin etkileri konuya ilişkin algısını etkiledi .

Özetlemek gerekirse, sanattaki görelilik, dünyaya göründüğü gibi göründüğü gibi sunuluyor .

Nesne-özerklik

Sanatçılar, konularını göründüğü gibi tanımlamak için doğrusal perspektif kullanmayı öğrendikten sonra, resimler sanal pencerelerde ‘pencere’ çerçeveleriyle tamamlandı. Buna karşılık, birincisi sanat tarihine geri döner, genel olarak konuşursak, görüntü konu ile ne kadar çok özdeşleşirse, neredeyse sihirli bir şekilde (örneğin Mısır mezar resmi).

Bu resmi düşünün, Fransız on yedinci yüzyıl sanatçısı Claude Lorrain:

Resim, hayali (ve idealize edilmiş) bir dünyaya baktığımız yanılsamasını yaratır. Tekniğin çok iyi olması gerekiyor, çünkü fırça darbelerini görebilirsek “illüzyon balonu” patlar; Bir filmde bir mikrofon patlaması görmek gibi olurdu.

Paradoksal olarak, birçoğunun modern sanatın habercisi olduğuna inandığı sanat hareketi – Empresyonizm – görelilik krizine ve bu “illüzyon gibi imaj” sözleşmesine meydan okuyan bir krize dahil oldu.

Monet, Grainstack, sisin içinde güneşin resmine bakın . Bu düşük çözünürlükte bile (veya orijinalinden beş metre uzaklıkta), fırça darbeleri açıktır. Birçok insan Empresyonist resimlerin çok uzaklardan görülmesi gerektiğini söylüyor, çünkü o zaman “neye benzemesi gerektiğini” görebilirsiniz. Ancak bu, Empresyonistlerin niyetini yanlış anlamaktır. İzlenimci sanatçılar büyük, kalın fırça darbeleri (bazen bir palet bıçağıyla yapılan işaretler) ve kırılmış, yüksek yoğunluklu renkler kullandılar. İzleyicinin resimlerini on dokuzuncu yüzyıl resimlerine benzeyecek kadar uzağından izlemesi gerekiyorsa ne olurdu?

Empresyonist resimlerin çağdaş izleyicilerinden biri, Rus Vasili Kandinsky idi. Burada muhtemelen yukarıda gösterilene benzemeyen bir Monet’le (bir samanlık resmi) ilk karşılaşmasını hatırlıyor.

“Katalog bana saman yığını olduğunu açıkladı. Tanıyamadım. Bu tanıma eksikliğinden utandım. Ayrıca ressamın belirsizce resim yapma hakkının olmadığını da hissettim. Nesnenin eksik olduğu konusunda sıkıcı bir his vardı. … Bununla birlikte, bu tamamen açıktı – şimdiye kadar bilinmeyen tüm hayallerimi aşan, paletin beklenmedik gücü idi. ” 10

Bu “paletin gücü”, boyalı yüzeyin özerkliği idi . Artık sadece başka bir şey gibi davranan bir görüntü değildi – bir yanılsama – bu başlı başına bir şeydi.

Ve işte Kandinsky’nin eseri, ilk karşılaşması hakkında yazdığı aynı yıl tesadüfen boyandı:

Belirsizlik

Bu matematik ve fizikteki krizlere en yakın paraleldir: sırasıyla Gödel’in Eksiklik Teoremi ve Heisenberg’in Belirsizlik İlkesi. Şu soruyu dikkate alarak yaklaşacağız: Bir sanatçının imajı nereden geliyor?

Fransız avangard sanatçı Marcel Duchamp’ın üç eseriyle başlayalım.

İzlenimcilik Sonrası (örneğin, Van Gogh veya Gauguin’in çarpık renkleri) kazanımlarının tüm kabulü için, bu resim hala esasen, kısacık, görsel bir deneyimin kalıcı, iki boyutlu bir “eşdeğeri” bulma durumudur. bazen “bak ve koy” olarak da adlandırılır).

Yaklaşık beş yıl sonra ve Duchamp görüntünün kendi yaşamına sahip olmasına izin vermeye başlıyor (Kübizm dersleri sayesinde).

Bir yıl sonra ve aniden Duchamp, bir sanat görüntüsünün doğrudan sanatçısı tarafından yaratılması gerektiği varsayımına sırtını döndü. ( “Hazır Madeş” olarak sanatçı tarafından anılacaktır) diğer eserler o sadece tek nesnelerdir rağmen bu özel çalışma, sadece bir tabure içine bir bisikletin bir kalkık ön tekerlek eklenerek oluşturuldu ilan eserleri olmak. Sanatçı seçtiği sürece, bu yeterli.

Kandinsky aynı krize farklı bir açıdan yaklaşıyor:

Duchamp’ın aksine, Kandinsky yaratıcı sürecin dokunsallığını korur, ancak önündeki herhangi bir özel motifin bağlantısını reddeder. Bu, aklın “serbest dolaşıma” bir örneğidir.

Neredeyse kırk yıl sonra, ABD’de Jackson Pollock adlı bir sanatçı bu fikri daha da ileriye itiyor:

Pollock’un resimleri, fizik yasaları (örneğin, yerçekimi ve sıvıların dinamiği nedeniyle ivmelenme) ve insan kinesiyolojisi hakkında, sanatçının “içsel duygusal yaşamı” hakkında olduğu kadar – muhtemelen daha fazlası.

Bununla birlikte, bütün cesur çabaları için sanatçıların sanat eseri yaratma konusundaki sınırlayıcı varsayımlardan kurtulma çabaları, Duchamp, Kandinsky ve Pollock’un hepsi temelde iki unsur olduğunu varsaydı: sanatçı ve sanat eseri (sonra seyirci).

Fakat ya sanatçı bunu bile bırakırsa? Burada Fransız ressam Yves Klein tarafından bir sanat eserinin yaratıldığını ve daha sonra sanat eserinin kendisini görüyoruz:

Bu çalışmanın sanatçısı Yves Klein’in güvenle olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Belki de o daha fazla yönetmen ya da şef; ve burada hem tehlike hem de kurtuluş yatıyor.

Mandelbrot modeli

Mandelbrot modeli – İşte pek çok insana tanıdık gelebilecek bir görüntü.

Tamamen şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel formül tarafından üretilen tam anlamıyla sonsuz karmaşıklığa sahip bir kalıptır:

u _{, n + 1} = u _{, n}² s +
u ₀ = 0
{u _{, n} }, ancak ve ancak sınırlı C ∈ M

Bu matematikte en büyük sürpriz olabilir (en azından sanatçılar için): tamamen algoritmik ve mekanik olan süreçlerin, tamamen belirleyici ve öngörülebilir olması gereken süreçler, aslında vahşi ve tahmin edilemez olabilir.

iTunes modeli

Öyleyse, belki de sanat yapıcılığını bilgisayarların gerçekleştirdiği algoritmalara bırakmalı mıyız? Örneğin, Apple’ın iTunes Visualiser’ı (hayata G-Force adı verilen bağımsız bir program olarak başladı ).

Beceri ve duyarlılık, belirli bir görüntü veya görüntü dizisinin oluşturulmasında değildir (sonuçta, bilgisayar maharetli veya hassas değildir, sadece talimatları yerine getirirken oldukça hızlıdır). Hacim, perde ve ritime cevap verecek, beklenmedik ve öngörülemeyen (yani kaotik) kalıplar oluşturmak için geri beslenecek ve henüz (çoğunlukla) bir tutarlılık duygusunu koruyacak kodun oluşturulmasındadırlar.

Bununla birlikte, algoritmik bir yaratıcı süreç insan müdahalesi ve katılımından yoksun olmak zorunda değildir. Örneğin, Sidney merkezli bir baskıcı olan George Barker, onun için imajlar oluşturmak için bir bilgisayar programlar . Sanat programlamada.

Paradoksal olarak belki de, sanatı “evcilleştirmenin” bir yolu olmaktan uzak, matematik sanatı ve sanatçıyı özgürleştirmenin bir yolu olabilir.

Adres

Türkiye — Online eğitim platformu

E-posta

Çalışma saatleri

7/24 online içerik

Kategori başlığı

Kategori arşivi Matematik

sonraki yazı Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

sonraki yazı Matematik ve Müzik

sonraki yazı

sonraki yazı Matematik ve Astronomi geleneğinin temsilcisi

sonraki yazı Uzayın Matematiği

Medeniyetlerin ve Bilim İnsanlarının Matematik ve Astronomi Çalışmaları

sonraki yazı Astronomide Matematiksel Teknikler

sonraki yazı

sonraki yazı Doğada Altın Oran

İnsan Doğasında Altın Oran :

sonraki yazı ALTIN ORAN NEDİR ?

sonraki yazı KEŞFEDİLMEYİ BEKLEYEN ALTIN ORAN

sonraki yazı

Güzellik ve oran

Matematik nedir?

Sistemden çıkma

Paradokslar ve küme teorisi

krizler

Sıfır

Olumsuz sayılar

İrrasyonel sayılar

Öklid dışı geometri

infinitesimals

Hayali (ve karmaşık) sayılar

Sonsuz sayılar

Eksiklik teoremi

Sanatta Krizler

izafiyet

Nesne-özerklik

Belirsizlik

sonraki yazı Neden matematik tarihi, aynı zamanda sanat tarihidir?